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ÙM At"
Ly Aa" \x
Si ^.v tend vers zéro, A;< et A.v tendent aussi vers zéro, — et —
Av tendent vers ii' el v' : le numérateur de — tend donc vers vu' — uv', et
son dénominateur vers (-. I^ar conséquent — a bien une limite énale
, i'u' lli'' / 1 / , Trirx
a (théorème Vil).
Théorème IX. — La dérivée logarithmique d\in quotient est égale à la dérivée logarithmique du numérateur moins celle du dénominateur.
Cela résulte de la formule (9), ou bien, si l'on admet l'existence dej>^', du théorème V appliqué au produit u = vy.
71. Fonctions de fonctions. — Soit la fonction yz^fi^u) de la variable u. Supposons maintenant que u soil fonction de x; il est clair que }' est aussi fonction de x\ on dit que c'est une fonction de fonction.
Théorème 1. — Si u est fonction continue de x et y fonction continue de u, y est fonction continue de x.
En effet, si l'on donne à x un accroissement Ix, il en résulte l'accroissement ^u pour u et, par suite, l'accroissement Ajk pour j'. Or, si Ax tend vers zéro, il en est de même de Aw, à cause de la continuité de u par rapport à .r, et par suite aussi de Aj)', à cause de la continuité de y par raj)port à u. Donc, )' est bien continue par rapport à X.
Théorème II. — Si u possède une dérivée par rapport à x et y une dérivée par rapport à u, y possède aussi une dérivée par rapport à x, donnée par
dx
dy du du dx
Cela résulte manifestement de l'identité
A^ Xy Au Sx \u Sx
Généralisation. — On peut imaginer que }' dépende de x par jintermédiaire de plusieurs fonctions ?/,, U2, ..., u,i- Par exemple, on supposera jK fonction de «1; Ut fonction de Wo, ...; u,i fonction de X. Les deux théorèmes précédents s'étendent sans difficulté et l'on a
dO
dy dx
dy du I dui dui
du,i dx
72. Fonctions inverses. — Soit y ^ f\x) une fonction définie et continue dans un certain intervalle (<7, a). Supposons en outre que, dans cet intervalle, elle varie toujours dans le même sens; admettons par exemple qu'elle soit croissante. Soit PP' l'arc de courbe correspondant {fig- i5). On voit, sur la figure, que toute parallèle
Fis. i5.
à Ox, dont l'ordonnée y est comprise entre b z=f(^a) et b' = f(a'), coupe cet arc en un point M et un seul. L'abscisse x de ce point est donc une jonction bien déterminée de y., dans V intervalle {b^ 6'), soit X = ¥ i^y). C'est évidemment une fonction croissante. De plus, si f{x) admet une dérivée pour une certaine valeur de a:, la courbe admet une tangente au point M correspondant; donc F(jk) admet aussi une dérivée pour la valeur correspondante de y. Si l'on remarque
FONCTIONS n'rXF VARIABLE RÉELLE. 87
enfin que, par l'échange des deux axes de coordonnées, le coefficient angulaire d'une droite se transforme en son inverse, on voit que
Ces diverses propriétés, évidentes sur la figure, se démontrent rigoureusement par les raisonnements suivants :
1"^ A toute valeur de y comprise entre b et b' correspond une valeur bien déterminée pour x. — En effet, il en correspond au moins une, d'après le corrollaire du théorème 11 du n" 59. H ne peut en correspondre plus d'une, car si l'on avait y(x) =/(:c'), la fonction proposée ne serait pas croissante dans tout l'intervalle («, a').
2" La fonction F(j^) est croissante. — En effet, siy >>y', on ne saurait avoir x^x'^ car, d'api'ès la croissance de /(a:), ceci entraînerai t/( a:) ^/( a?'), c'est-à-dire y'^y' ■
3" La fonction F(y) est continue. — En effet, soient y^ une valeur quelconque de l'intervalle (6, b') et ^-q la valeur correspondante de X. Il faut montrer qu'étant donné £ positif aussi petit qu'on veut, on peut trouver tj tel que l'inégalité \y — Jo | <C '^i entraîne \x — o^o I < £, ce qui revient à dire que si y reste compris entre jo — 7, et j'oH- r,, X doit varier entre Xq — e et Xo-h £• Or, soit
J'o— ■rii=/(-î-o- 0 et jKo -+- ■'i -2= /( -2^0-4-0 •
A l'intervalle (J'o — '"n , JKo + ''"12) pour JK, correspond exactement l'intervalle (^0— s, -^0+ ') pour x. Si donc on prend -^ égal au plus petit des deux nombres positifs Tj, et r,o, on est assuré que tant que j restera compris entre jo — '^i et j'o+'',, x sera intérieur à l'intervalle (^0 — ï, -^^o + s)- C.Q.F.D.
4° Si f{x) admet une dérivée pour r = Xo, F(j) admet aussi une dérivée pour y^=yQ. — En effet, donnons à y l'accroissement A-; il lui correspond l'accroissement h pour x. 11 nous faut
chercher la limite de j quand /c tend vers zéro. Or ce rapport s'écrit
^- D'autre part, si /. tend vers zéro, il en est de même
de A, d'après 0°. Dans ces conditions, = " ^ , — '—^ tend, par
hypothèse, vers /'(>ro). Donc, le rapport inverse tend vers ,
(théorème \ 1 du n" 70). La fonction F( v) admet donc bien une dérivée pour j'=ro; <^^<^ plus, on a {^)
OU encore
dT I
dy dy dx
J^a fonction 1' = F(:r) est dite la fonction invc/se de y = f{x). Ajoutons aux propriétés précédentes que, si l'on rapporte les deux fondions aux mêmes axes de coordonnées, leurs courbes représentatives ( r) et (y) sont symétriques V une de Vautre par rapport à la première bissectrice de Vanglc des axes. En effet, au |)oint m{x^y) de (y), on peut faire correspondre le point M(X, \ ) de (F) tel qu'on ait
puisque
X=/(Y) et y=f{x).
Or, ces deux points sont Jjien svmétriques par rapport à la bissectrice de xOy.
73. Tout ce que nous venons de dire peut se répéter, avec des modifications évidentes, en parlant d'une fonction /"(.r) constamment décroissante dans l'inlervalle (a, a). Au contraire, les choses se compliquent si f[x) varie tantôt dans un sens tantôt dans l'autre. Par exemple, si f{x) présente un maximum, on voit, sur la figure i6, que tant que y reste compris entre b et b' , il lui corres|)Ond une valeur déterminée jjour ^, comprise entre a et a" . Mais si T' se trouve entre b' et [i, il lui correspond deux valeurs de x comprises : l'une .r, entre a!' et a, l'autre x^ entre a et a' . On dit alors que x est une fonction non uniforme de y dans l'inter\alle (/>', [ii); a;, et x-2 sont
(') Dans le cas où f'{x^)-—o, F'(;Ko) est infini et n'existe, par conséquent, qu'autant qu'on admet l'extension dont il a été convenu un peu plus haut (p. 72, note I ).
FONCTIONS d'iNK VARIABLE RlilM.I.E. 89
les deiiju branches de cet/e fonction ; elles correspondent respeclivement aux deux arcs RQ el QP'.
Pour éviter toule difficullé, ch;ique lois que nous voudrons définir
une fonction inverse, nous clioisirons 1 intervalle de variation (a, a') de telle manière que la fonction y(x) qui sert de point de départ v varie constamment dans le même sens.
