IV. - FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
74. Dans les n^^ôT à 73, nous avons décrit des procédés permettant d'ol)lenir des fonctions nouvelles et leurs dérivées en partant d'autres fonctions connues et à dérivées connues. Nous trouverons d'autres procédés analogues dans le Chapitre X. Il ne nous reste plus qu'à indiquer les fonctions simples qui servent de point de départ et qu'on doit étudier directement. Ces fonctions que nous appellerons les ■fonctions élémentaires, sont en nombre très restreint. On peut y ramener néanmoins, à quelques rares exceptions près, toutes les fonctions qu'on pourra rencontrer dans cet Ouvrage. Par contre, lorsqu'on fait une étude plus approfondie de l'Analyse, en |)articulier des équations ditlérentielles, on rencontre fréquemment des transcendantes nouvelles irréductibles, c'est-à-dire qui ne peuvent se déduire des fonctions élémentaires. Mais, comme cela ne nous arrivera pour ainsi dire jamais, nous pouvons considérer les fonctions élémentaires comme la base de toutes les applications dont nous aurons à nous occu|)er.
7o. Fonction r'". — La plus simple est )':^.r"', où l'on sujjpose m entier et positif. Elle est définie [)our toutes les valeurs de x. Si
on la consiclèi'e comme le produit de m fonctions égales à x, on en conclut (n° 68) qu'elle est continue et a une dérivée (') égale à /?ix'"^', ce qui peut aussi s'établir directement en développant (x H- Ix)'"^ par la formule du binôme. Lh dérivée ^'™'' s'en déduit de proche en proche; elle est égale à
elle est nulle dès que p >> m.
La fonction x"^ est paire ou impaire (n^Gô) en même temps que ni. Ses variations sont évidentes et sont représentées par Tune ou l'aulre des deux cour])es suivantes {fig. 17^ qui sont symétriques, la pre-
mière par rapport à Oj', la seconde par rapport à O. Pour m = 2, on a une parabole. Pour les valeurs plus grandes, on dit cpi'on a une parabole de degré ?n; eu particulier, pour m = 3, on a une parabole cubique.
V la fonction x'" se ratlachent, en première ligne, les polynômes, qui sont de la forme
j = Ao ••r '« + A 1 ;r'"-i -t- . . . -1- A,„ ,
OÙ les A désignent des coefficients constants. D'après ce qui précède et d'après le théorème I du n" (57 on voit (pi'///? polynôme est une joncLion définie et continue pour toutes les valeurs de x. Ses dérivées successives se déduisent de celles de x'" et du ihéorème II du
{') Il fii'il toutefois admettre (|ue la fonction y =z x a pour dérivée i, ce qui résulte dir(;clement fie la di'finilion de la dérivée.
FONCTIONS DUNE VARIABLE RÉELLE. 91
n" 67; la dérivée yr)'*'"<= est un polynôme de degré m — p\ dès que p déjDasse ///, elle est nulle.
Le quotient de deux polynômes porte le nom Ae fraction ou fonction rationnelle. G esl une fonction définie et continue pour toutes les valeurs de x, sauf pour les racines du dénominateur, qui portent le nom de pôles et qui rendent la fraction infinie ('). La dérivée se calcule parla formule (9); c'est encore une fraction rationnelle.
On peut enfin considérer la fonction x"^, oii l'on suppose que m est un nombre fixe quelconque, rationnel ou non, positif ou négatif. Mais elle n'est alors définie que pour les valeurs positives de X (Chap. I).
Tant que m est commensurable, on peut aisément la rattacher au cas où ni est entier et montrer qu elle est continue. En eflTet, soit m =z —, p cl q étant deux entiers positifs. Posons
x'/ = u ; on a
(l4 j y z= x1= uP.
D'autre part, (i5) X = uf.
Si l'on fait varier u de o à -\- oc, x est une fonction continue de u et croissant de o à + ce. Donc, inversement, u est une fonction continue de X dans l'intervalle (o, + ce) (n° 72); et par suite aussi y,, qui est fonction continue de u (n" 71).
Si maintenant m est rationnel, mais négatif, la fonction x~"^ est continue dans l'intervalle (o, +00), mais s'annule pour x = o. Donc, la fonction x'"^= est continue dans l'intervalle (o, +00), sauf
pour la valeur zéro, qui la rend infinie.
On pourrait, grâce aux remarques précédentes, calculer la dérivée p de x"/. Mais nous indiquerons |)lus loin {n° 94) un moyen plus rapide
et (pii conviendra au cas où m est incommensurable.
(') On suppose, bien entendu, la fraction irréductible, c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur n'ont aucun facteur commun, ce qui équivaut (n° "203) à supposer qu'ils ne peuvent s'annuler en môme temps.
76. Fonctions circulaires. — Ce sont les fonctions j'^sinx, y = cosx, y ^lAn'^x, y = colx, où le nombre x représente un arc quelconque évalué en radiants. On les a|)[)elle aussi fonctions trigonojyiélriques. KWes sonl périodiques et admettent respectivement pour périodes 2-, 2-, -, 7:. Elles se déduisent de la première d'entre elles par les formules bien connues
cosir = sin —
tang.r =
cota" =
Étude de ûnx et cosx. — Les fonctions sin.r et cosx sont définies et continues pour toutes les valeurs de x. Montrons, par exemple, la continuité de sin ^. On a
(17) sin (a: -H /«) — sin.r = 2 sin — cos ( .t -1 j •
Comme |cos.r |^i quel que soit .r, on a
I sin(a7 + //) — sina7|£2
sin —
Donc, si II tend vers zéro, il en est de même de
sin(a" -+-/*) — sina".
La continuité de cos^r peut s'établir de manière analogue; on peut aussi la déduire de celle de sin.r par l'application du théorème I du n° 71, en se servant de la première formule (i<J).
Les fonctions sin.r et cosx admettent respectivement cos.r et — sin:r pour dérivées., quel que soit x. Calculons, j)ar exemple, la dérivée de sinx. On a, en se servant de (17),
s\n{x -+- h) — sina:
Ti
. h I h 2 sin —cos \ X ^
Lorsque // tend vers zéro, cos ( :r + - j Icnd vers cos.r, d'après ce
sin —
qui précède. D'autre part, ■ — -r— = -—r^ tend, comme on sait, vers
,, • , ,, , sin(37-f-/0 — pin.r ,. r -, ^
I mille. Donc, le rajiport — ^- y' ^ h\v.\\ pour limite COS X,
pour // = (>.
FONCTIONS d'lNE VARIABLE RÉELLE. gS
La dérivée de cos^r se calcule pareillement. On peut aussi appli- (juer Je théorème II du n° 71, ce qui donne
d(coscp)
dx
./[sin(^-.r)] ./(j
dx
ces I X \ = — sin j7.
Les dérivées n"'"'^^ se calculent aisément si l'on leinarque que
(sinif )'= sin ( :(? -t- — ) , (cosa;)' = cos ( .r -t- —
En dérivant une nouvelle foi-;, on a (théorème 11, n" 71)
(si
n^/'= sin ( :r -I- - J = siii ( ar -+- -
?in( :r -t- Tt);
le même
( co'sxf^ cos(a7 -H ~).
En continuant ainsi, on arrive évidemment aux formules
d'Hco'ix)
c?"('sin.r) '^'•'^ dx'^ = ^'" I ^ ^ » - 1 ^
dx"-
ce? \ X -T- n —
Les variations de la fonction }==sina; s'étudient très simplement. D'abord, il suffit de les connaître pour un intervalle de longueur 2—, et même de longueur —, parce que le changement de x en ^H- - ne fait que changer le signe de >'('). Prenons, par exemple,
lintervaile ( — -> -+-•-)• Nous remarquons maintenant que la fonction est impaire; cela réduit encore notre inler\alle de moitié, par exemple à |o, -)■ Dans cet intervalle, la fonction est croissante; cela se voit géométrifpiement et aussi sur la dérivée cos.r, qui est |)0sitive. Si x croît de o à -. j^ croît de o à i .
On peut alors tracer l'arc de courbe Oi\ {ftg- i8). Une symétrie par rajjport à O nous donne ensuite l'arc OA'. Une translation de -
(') Quand une f<inclion jouit d'une toile propriété, on dit (]u"elle est semipériodique.
suivant Ox, suivie d'une symétrie par rapport à cette droite, nous donne lare ABC, d'ailleurs symétrique de AO.V par rapport à Art. Le reste de la courbe s'obtient eutin par des translations successives, parallèles à Ox et d'amplitudes ± 2-, ± 4". =t: 6-, . . . (n" 66).
Fig. 18.
Cette courbe s'appelle la sinusoïde. La tangente en O est la première bissecti'ice, car la dérivée cos:r est égale à i pour x = o.
Les variations de cosa; peuvent s'étudier directement ou bien se ramener à celles de sin.r, par lune ou l'autre des formules
cosa; = sin \ x ~.
cpii montrent que la courbe représentative se déduit de la sinusoïde par une symétrie relativement à la parallèle à Oy qui a pour
abscisse ^j ou hien par une translation de - suivant Ox, ce qui
donne la courbe tracée en pointillé sur la figure 18. Remarquons que la fonction cosx est une fonction paire.
11 . Etude de Vàn^x et col.r. — I^a formule tangx =:= ^^ — ^ montre
