COS.T

(théoi'ème Vil, n" 70) que la fonction j' = taugx est définie et continue pour toutes les valeurs de x., sauf pour les valeurs

qui annulent cos.-c et rendent, par suite, y infini. La formule (()) nous donne ensuite

cos.r cos j- — sin.Tf — sin a")

= I -i- taiîiï-a;.

cos'^.r cos-.T

Celte déri\<'e étant essentiellement positive, /^ /"o/k7/o/? lang".r f5/

FONCTIONS d'une VAIUABLE RÉELM-:. 95

croissante dans tout intervalle oii elle est continue, j)ar e\einj)le entre — - et -f- -> intervalle dans lequel elle est représentée par la courbe suivante (//" A'. 19). L'origine est centre de symétrie, car /«

Fig. 19.

fonction est impaire ; la tangente en ce point est encore la preiîiière

bissectrice; les droites parallèles à Oy, qui ont pour abscisses zb — »

sont des asymptotes de la courbe. i-,e reste de la courbe s'obtient |)ar les translations ± "n:, ±271, ±071, ..., suivant Oo^.

La fonction cotjc est définie et continue pour toutes les valeurs de X, sauf pour les valeurs ^ = nT., qui la rendent infinie. Sa dérivée peut se déduire de la formule

cota? = t

ano {-

elle est ésale à

— (i -f- cot-a").

Donc, la fonction est décroissante dans tout intervalle ni/ elle est continue, par exemple entre o et -. Sa courbe représentative (tracée en pointillé sur la figure 19) se déduit de la |)récédente par une

symétrie relativement à la parallèle à Or qui a pour abscisse '- ■

78. Fonctions circulaires inverses. — i" Fonction j' := arc sin J".

g6 CHAPITRE V.

La fonclion de )', x = siny, est définie, continue et croissante dans

1 intervalle ( — —, -r - ) i aux limites duquel elle prend les valeurs — i

et H- I . Donc (n" 72), on peut en déduire une fonction inverse, définie, continae et croissante dans V intervalle ( — i, 4- 1)- Cette (onction se désigne par la notation j' = arcsin:r {énoncez : arc

sinus x). On peut la définir comme étant l arc compris entre — -

et -] » c/ont le si/ius est x. Elle est impaire. Sa dérivée est donnée

par la formule (i3) ; on a

dy 1. i I I

dx dx d('^\ny) cosj' j/, rj.'i

dy dy

Il faut d'ailleurs prendre le signe + devant le radical, car cosy est positif tant que j' reste compris entre — - et + -•

1° Fonction y zi= ?iYC Qosx. — La fonction .r ^ cosj)/ est définie, continue et décroissante dans l'intervalle (o, -n). On en déduit la fonction inverse j)^ = arccos^, définie, continue et décroissante dans Vintervalle ( — i, + i). C'est V arc compris entre o et t:, dont le cosinus est x. Sa dérivée est

dx d{co%y) —^'\ny \/ 1 — x'^

dy

le radical étant encore pris avec sa valeur arilhméti(|ue.

3" Fonction y ^^nvc\nn^^x. — J^a fonclion ^^tang f est définie, continue etcroissanle dans linlervalle ( — -> + -)' aux extrémités

duquel elle prend les valeurs — oc, H-ac. On en déduit la fonction inverse j' = arc tangjc, définie, continue et croissante dans l'intervalle ( — Gc, +co). C'est l'arc^ coinpiis entre o et tz, dont la tangente est x. C'est une (onction im|)alre. Sa dérivée est

(23) dv , , ,

dx d( lan^y) n- lang-^^ i -\- xdy

FONCTIONS d'une VARIABLE RÉELLE. 97

4° Fonction y = ave colx. — La fonction x ^=: co\.y est définie, continue et décroissante dans Tintervalle (o, t:). On en déduit la fonction inverse r = arc col^, définie, continue et décroissante dans V intervalle ( — oc, + oo), qui est Varc, compris entre o et ?:, dont la cotangente est x. Sa dérivée est

dx d{coly} — {i + col-y ) i -\- x''-

dx

Les courbes représentatives de ces quatre fonctions se déduisent de celles des n"' 76 et 77 par sj'métrie par rapport à la première bissectrice (n° 72).

Les fonctions circulaires et leurs inverses sont des transcendantes élémentaires. Il en existe encore deux autres : \esfonctions exponentielle et logaiithmirjue^ qui seront définies et étudiées au Chapitre suivant. Ces transcendantes et la fonction x'"- constituent toute la catégorie des fonctions que nous avons appelées fonctions élémentaires.

79. Fonctions imaginaires. — Dans tout ce qui précède, la variable x et les fonctions y qui en dépendaient ont été supposées ne pouvoir prendre que des valeurs essentiellement réelles. Cependant, il est possible d'étendre aux quantités imaginaires la notion de fonction. (]ette extension, qui a été faite depuis longtemps, a conduit à la belle théorie des fonctions de variable complexe, qui s'est révélée si féconde à divers points de vue.

Jl ne rentre pas dans le cadre de cet Ouvrage d'aborder, en cjuoi que ce soit, cet intéressant sujet. Néanmoins, il nous sera commode, dans certaines circonstances, d'envisager Textension suivante de la notion de fonction de \ariable réelle. Si/(^) et g{x) sont des fonctions réelles de la variable réelle x, l'expression

sera d\le fonction imaginaire de cette \ariable.

Par définition, '^(x) sera continue, pour une valeur donnée de x

ou dans un intervalle riélerniiné. si les fonctions f{x) et g{x) le

sont séparément. De même, si ces dernières admettent chacune une

dérivée, soienty"(x) et ^''(^), nous conviendrons de dire cjue ^(^x)

Haag. — Cours, I. 7

gS niAiTruE V. — FONCTIONS d'ine variabli: réelli:.

admet aussi une dérivée^ donnée par la formule

Le lecteur vérifiera aisément que les règles établies j)Our le calcul des dérivées des fonctions réelles s'appliquent aussi pour le cas des fonctions imaginaires de la nature précédente.

En jiarticulier, si u et v sont des fonctions réelles de a?, admettant des dérivées u' et p', la dérivée de {u -h «V)'", en supposant m entier, positif ou négatif, est m{u -\- U')"'~^ {u' -r- iv'). Autrement dit, si l'on pose 5 ^ «f + /('. la dérivée de z'" est mz"'~^ z', comme si z était une fonction réelle.

Nous reviendrons sur les fonctions imaginaires aux Chapitres VU et XII.

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOG VRITH.MIOUE. — NOMBRE e.