I. — FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHMIQUE
80. Fonction exponentielle. — Soit « un nombre positif quelconque différent de l'unité. Nous savons (Chap. 1) ce que représente le symbole r/'^', pour toute valeur de x, positive ou négative, commensurable ou non. La fonction J' = a-^ est donc une fonction parfaitement déterminée dans l'intervalle ( — ^,4- ^). On l'appelle yo/ic^io/? exponentielle. Le nombre a sera appelé la base de la fonction.
Des définitions successives que nous avons données pour a^ (Chap. I), il résulte que la fonction exponentielle est toujours positive.
TnÉORiiME I. — La fonction a^' est croissante si « >- i , décroissante si rt << I •
En effet, soit d'abord « >- i . Je dis que si a? >> x' ^ on a rt^ >> a^' . Cela a été démontré dans le cas où x et x' sont rationnels et positifs (n° 13, théorème II). Si x et x' sont irrationnels et positifs, on peut
toujours trouver deux fractions - et ^j tels que ^ > — >—,>> 2^'.
D'après la définition de a'' et a'-' (n" 14), on a a-^>- a'i, a-^' <C. at' .
'- El
D'après le théorème II du n° 13, on a a'' >> a'/' . En comparant ces
trois inégalités, on voit bien que a** > a-^' .
Si X et x' ne sont pas tous deux positifs, on peut trouver un nombre positif h tel que .r -f- A > .2?'+ /( >> o, et, par suite, a^+h^ a^'+h. En divisant cette inégalité par le nombre positif a^., et s'appuyant sur l'identité (lo) du n" lo, on obtient a' >> a^'.
Pour rt <^ I , démonstration analogue.
lOO CHAPITRE VI.
Théorème IT. — La fonction a' est continue pour toutes les valeurs de x.
Soit d'abord ^o^o- Kl^int donné z, il faut Iromer Tj tel que Il I <C r, entraîne
Nous savons (ihéorème IV, n" 13) (|u'on peut trouver deux
nombres rationnels positifs - et — , » comprenant Xq et assez voisins
I - - 1 pour qu'on ait | cil — a'i \ <^ s. Prenons alors pour y) le plus petit des
nombres
et
Si jAj<<rj, Xa et x^^-]- h sont
compris entre — et —.; donc, rt*oet ci'^'"-*-'' sont compris entre a'> et a'/, ([ <l
puisque la fonction a^ varie toujours dans le même sens quand x croît (théorème précédent). Mais alors, l'inégalité (i) est certainement vérifiée.
Soit maintenanlXp < o. On peut trouver / tel que .ro + A' = J?i>o.
La fonction étant continue pour j; = X|, on peut trouver r\ tel que I /i I ■< r, entraîne | a''i+'^ — «•'■ | << s, ou, en divisant par le nombre
positif «^, I rt*"+^' — rt'" I << ^' Comme z peut être pris aussi petit
qu'on veut, il en est de même de -^ et la fonction est encore continue pour ,r = iPo-
81. Identités fonctionnelles. — On a les identités suivantes : Elle a été démontrée, quels que soient x^ y\ «, au Chapitre î.
2° (3) (a-f jj— ^a-y.
Elle a été établie, au Chapitre I, pour x et }' i-ationnels. Voici comment on peut en faire I extension.
Supposons d'abord )' rationnel et x irrationnel. Si x' est un nombre rationnel (jMelc<)n<|iie, nous pouvons écrire
Supposons maintenant (pie x' tende vers JC", tout en restant rationnel.
