FONCTIONS KXPONIÎNTIELLE ET LOGARITHMIQUE. ICI

ce qui est possible (n° o). L'égalité ne cessera pas d'être vraie; donc elle le sera encore à la limite. Or, a^' tend vers «"*', grâce à la continuité de la fonction exponentielle. Si maintenant l'on pose a^'= a' et a^= u, lorsque a' tend vers «, n'y tend vers m>, grâce à la continuité de la fonction x'", établie pour m rationnel (n" 7o). Donc, la limite du premier membre de (4) est («•^)^. D'autre paît, x'y tend vers ay; donc a-^'y vers cr^'y. Finalement, on a bien («-*).>= a-^y.

Supposons maintenant x et y irrationnels. Si y' est un nombre rationnel quelconque, nous pouvons écrire (^a^)y' = a-'^y , d'après ce qu'on vient de voir. Faisons tendre y' vers y, par valeurs rationnelles : {o.-^)y' tend vers {a-^)y et a^y' vers a^y. Donc, on a encore l'identité (3) qui, maintenant, est tout à fait générale.

3° (5) «-f af . . . c7^ = (rt) «2 . . . Op)'^.

Nous connaissons cette identité pour x commensurable (Chap. I). Supposons maintenant x incommensurable. Si x' est un nombre rationnel quelconque, nous pouvons écrire

a^^ aX . . . a]', = («, «j . . . a,,}"''.

Faisons tendre x' vers x par valeurs rationnelles: «|', «.'', ..., a^p tendent respectivement vers «"[, <rr^, . . ., a'^:, donc, leur produit tend \e^sa^^ai. . .a-^ (n°68, théorème III). D'autre part(a,rt2' • •'^p)'^' tend vers (ufa^- • -ap)-^. L'égalité (5) est donc générale.

En efiet, multiplions les deux membres par h-"' . Le second devient rt''. Le premier devient, en tenant compte de (5), \l>j) = «•*. En particulier, on a

82. Théorème III. — aS^ a > i , a'" augmente indéfiniment pour X =z-\-co et tend vers zéro pour x = — ce. Si a<Ci, conclusions inverses.

Soit d'abord a >> i . Posons a = i + t (£>>o). Soit // la partie entière de x, supposé positif. On a

a^'> «"= (i-i- £)"> 1+ rt£ (n* 13). —

Quand X tend vers H- oc, il en est de même de /?, donc de i -f- /îe, donc de «", donc de a*".

Si X tend vers — x, — ii? tend vers + oc, a~-^ également; donc

rt-^= tend vers zéro.

Si Ton suppose maintenant rt ■< i , il suffit de poser rt = y> d'où a^ =^ \7] ^^Tx^^^ ^^ ■' ? poui' se ramener au premier cas.

83. Variations. — Les variations de la fonction exponentielle sont évidentes, après tout ce qui précède. Lorsque x croit de — ce à + oc, y croît de o à H- ce, si «^i, et décroît de +00 à o, si a -< i . La courbe représentative a la forme ci-après, dans le premier cas ^fig' 20). Dans le second cas, elle est symétrique par rapport à Oj/"(')

de la courbe j^= \)i P'^'isque ( - | =^ a ■''. Onel que soit «, elle

coupe Oy au |>oinl d'ordonnée + i , puisqu'on a toujours «*'= i .

Lorsque a est plus grand que 1, sans en être très voisin, la fonction a^ crott très rapidement. Pour s'en rendre compte, il suffit de prendre un exemple numérique. Soit, par exemple, a^=Z. On a le Tableau suivant :

-f- oc

(') Plus généralement, la couilic jk = 6' se déduit de la courbe y — a' en multipliant les abscisses par le nombre constant log^a ( n" 8<j), sans changer les ordonnées.

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHMIQUE. Io3

On voit que l'ordre de grandeur de y cesse rapidement d'être comparable à celui de x. La courbe représentative s'élève très vite à droite de Oy et se rapproche immédiatement de Ox à gauche de Oy.

84. Fonction logarithmique. — La fouction exponentielle de base a est définie et continue dans l'intervalle ( — o), H-oo). De plus, elle varie constamment dans le même sens. Elle peut donc servir à définir une fonction inverse (n" 72), qu'on appelle la fonction logarithmique de base a et qu'on désigne par la notation j^^log^jr (énoncez : logarithme base a de x). On dit aussi que y est le logarithme du nombre x dans le système de base a. W est défini par l'équation

( 8 ) X — aï.

La fonction exponentielle variant entre o et + go (n" 83), la fonction logarithmique est définie (') dans l'inlervalle (o, -\- ce). Les nombres positifs ont donc seuls des logarithmes.

La fonction logarithmique est continue (n" 72). Quand x croît de o à +GO, j^ croît de — ^ oo à -t- «>, si a >> i ; y décroît de + co à — oo, si a <; I (n" 83).

Quel que soit «, on a log^ i ;= o e^ log^rt = i . .S'^" « >> i , les logarithmes des nombres >> i sont > o, les logarithmes des nombres <C. i sont << o. Si rt <; I , conclusions inverses. ,

La courbe représentative de la fonction logarithmique se déduit de la courbe exponentielle de même base par une symétrie par rapport à la première bissectrice (n" 72) {fig. 20, en pointillé). Si a n'est pas très voisin de i , la fonction log^a; est très lentement croissante ou décroissante.

80. Identités fonctionnelles. — Vojons ce que deviennent les identités (2) et (3) quand on les transforme au moyen de la fonction logarithmique de base a.

V Partons d'abord de l'égalité

(9) ayay' == ay-^y' .

(M I'2lle est uniforme (n''73), c'est-à-dire que tout nombre jr a un seul logarithme dans un système donné. Inversement, si deux nombres ont même logarithme dans un ème système, ils sont égaux.

I04 CHAPITHE VI.

Si l'on pose

a.> = a", ay' = x\ ay-^y' = X, on a

D'autre pari, (9) s'écrit

X = û:x' ; donc

(10) loga(a7a;') = log,,ir-Hlogaa:'.

Autrement dit, le logarithme (Jun produit est la somme des logarithmes de ses facteurs. De même que l'identité (()), cette propriété s'étend à un produit dun nombre quelconque de facteurs. On en déduit aussi que le logarithme d\in quotient est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur, ce qui résulte d'ailleurs directement de l'identité

ay

— r = ay-y .

ay

2" Partons maintenant de l'égalité

(11) (ar)'"=: «'".V,

qui est vraie quels que soient m et j'. Posons

ay — 37, a"'r= X; d'où

y = logaX, my = log„ X.

L'égalité (11) s'écrit

donc, on a

(12) loga(a;-'«) = /;? log,,^.

Autrement dit, le logarithme de la puissance m^''"^'' d' un nombre {m quelconque) est égala jn fois le logarithme de ce nombre.

80. Comparaison des systèmes- — Une application immédiate de la formule (i 2) consiste en la comparaison des logaritlinies d'un même nombre dans deux systèmes de bases diflérentes. Soit à comparer

y = log<,ar, z — \og/,x.

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHMlyiE. lOO

On a

l^renons les logarilliines des deux membres dans le système b :

(i3) logi!,a? = r log/^a = log„^^o^/,n.

Donc, pour avoir le nouveau logariliune^ on multiplie l'ancien par le nouveau logarithme de l'ancienne base.

Si, dans (i3), on fait x = b^ on a

(i4) I = Ioga^»log6a.

La formule (i3) peut donc aussi s'écrire (i5) . log^-r = logaa- •

Le facteur constant M ^ log7,rt = . -. par lequel il faut multiplier

les anciens logarithmes pour avoir les nouveaux s'appelle le module du système b par rapport au système a.

87. Logarithmes arithmétiques. — Une façon élémentaire de définir les logaritlimes consiste, comme on sait, à considérer deux progressions, l'une géométrique (de raison positive et différente de i), l'autre arithmétique, qu'on écrit lune au-dessous de l'autre, de la manière suivante :

... — 3 r — ir — r o /• i /• 3 /■ ...

Les nondjres de la seconde ligne sont dits les logarithmes des nombres correspondants de la première ligne. On étend cette définition, d'une manière plus ou moins pénible, aux nombres qui ne sont pas compris dans les progressions. Enfin, on appelle base le nombre qui a pour logarithme l'unité.

Les logarithmes ainsi définis prennent quelquefois le nom de logarithmes arithmétiques. Par opposition, ceux que nous avons déduits de la fonction exponentielle sont alors appelés logarit/imes algébriques.

11 est possible de démontrer Fidentité de ces deux espèces de logarithmes, quand la base est la même. Mais nous ne le ferons pas, car les logarithmes arithmétiques ne présentent plus guère, à notre avis, qu'un intérêt historique (').

88. Systèmes usités. — Les logarithmes possèdent deu\ sortes d'applications. Les unes sont purement théoriques et proviennent de l'introduction en Analyse de la fonction logarithmique. Quand on se place à ce point de vue, on prend ordinairement pour base un certain nombre qu'on désigne j)ar la lettre e et qui sera défini un peu plus loin. Ce choix siinj)lifie certaines formules relatives à la fonction logarithmique et présente un intérêt théorique considérable. Les logarithmes correspondants ont été imaginés par Néper, et, |)Our cette raison^ sont appelés logaritlunes népériens. On les appelle aussi logarithmes naturels ou hyperboliques (-). Nous les désignerons par le symbole ioga? sans indice. On les représente aussi par la notation L.r ou \^x.

Une autre catégorie d'applications des logaritbmes a pour origine les théorèmes relatifs aux logarithmes de produits, quotients et puissances. On conçoit en ell'et que, si Ton possède une Table donnant le logarithme de n'importe quel nombre et donnant réciproquement le nombre qui admet pour logarithme tout nombre donné, les multiplications, divisions et élévations à une puissance sont remplacées par des additions, soustractions et multiplications, c'est-à-dire ])ar des opérations plus simjiles. De là résulte que les logarithmes sont un auxiliaire puissant du calcul numérique. La l)ase la plus avantageuse à ce point de vue est la base lo. Llle donne naissance aux logarithmes

(') C'est, en efl'el, sous (^cllc forme que Néper a introduit les logarilliines clans la Science. Mais l'introtluction |)ar la fonction exponentielle est actuellement beaucoup plus commode et éléf;anle. On pourra objecter que bien des personnes se servent des logarithmes dans les calculs numériques sans connaître pour cela la fonction exponentielle. Mais, à ce point de vue, il suffit d'admettre que les Tables ont \n\ être construites de telle manière que les règles relatives aux logarithmes de produits, quotients et puissances soient exactes; lesquelles pourraient d'ailleurs faire partie des instructions générales données pour l'usage des Tables.

(') La raison de cette dernière dénomination provient de ce que logj; mesure l'aire comprise entre Ox, l'ordonnée -i-i, l'ordonnée x et riiyperboic c([uilatcre

d'équation y = — (Exerc. : t;hap. \IV; exercice résolu n" 4.)