II. - NOMBRE e

90. Limite de ( i -i- — ) . — A Félude de la fonclion exponentielle

se rattaclie étroitement la question suivante : Trouver la limite

I H 1 = J'w lorsque, x restant Jixe, m augmente indejini-

ment en valeur absolue.

Observons d'abord que cette limite n'est pas évidente et donne lieu à une indétermination. Nous avons en effet, en nous bornant au cas de m entier >> o, le produit d'un nombre de plus en pbis grand de facteurs qui deviennent déplus en plus voisins de i. On ne peut

rien dire a priori d'un tel produit. D'ailleurs logj^,rt= m log f i H \

se présente à la limite sous la forme indéterminée ccxo (n" 1126, III). Il s'agit alors de lever cette indétermination.

i" m augmente indéfiniment par valeurs entières et positives. — Nous pouvons développer j',„ par la formule du binôme, soit

m X m (m — i ) .r- mi m — i ) . . . ( rn — /> -t- i ) xp

\ .' ) J iri— ^- ^ ^^^ ' j ,^ ^^^.y ■■• i.i...p ml'

Le terme général de ce dévelo|q)ement peut s'écrire, en divisant par m chacun des /> facteurs du produit m (m — i), . . . , (m — p -+- i).

Si, laissant /> fixe, on fait croître /«indéfiniment, il tend évidem-

ment vers — ,• Comme, d'autre part, le nombre des termes augmente

indéfiniment, le développement (i-) se présente à la limite sous la forme de la série