XX- X'' (l8) H i --h...-\ r -t

La règle de d'Alembert nous apprend que cette série est

FONCTIONS EXI'ONKNTIELLE ET LOOVRITHMIQUE. I09

absolument convergente quel que soit .r, car le rapport

—^^ = tend vers zéro. On est donc conduit à penser (lue la

u„ n -^ i II

limite cherchée est la somme r di: la série (i8). Mais, il ne faudrait pas considérer ce qui précède comme une démonstration sulfisante, car, si deux sommes variables sont composées de termes tendant deux à deux vers les mêmes limites, on ne peut affirmer que les deux sommes ont même limite que si le nombre des termes reste fini, ce qui n'est pas le cas pour la somme jK/» et pour la somme S„i des (/?i -h i) premiers lermes de la série (i8).

Néanmoins, la propriété annoncée est exacte et nous allons en donner une démonstration rigoureuse. Je dis ([u"à lout nombre positif z on peut faire correspondre un nombre entier M tel que linégalité m >> M entraîne la suivante

(19) \ym—y\<--

Le nombre entier /> étant au plus égal à m. considérons les sommes Sp et S^* des {p -\- i) premiers lermes de y et de j',„. Nous pouvons écrire

Nous allons tàclier de rendre chacune des parenthèses inférieure à ^ en valeur absolue ; nous serons alors assurés de l'inégalité (19)-

La série (18) étant convergente et ayant pour somme r. nous pouvons déterminer un nondjre naturel P tel que /^ >• f* entraîne

Considérons maintenant la dilTérence (y'm — ^^)- Chacun de ses lermes est le produit du terme correspondant de (18) par des facteurs plus petits que 1. Donc, la valeur absolue de (j',„ — S^'') est inférieure à la somme des valeurs absolues des m — p ternies de (18) qui suivent le (/> + ,y'"i<- et, a fortiori^ inférieure au reste Op de la série —7 • Comme cette dernière est converi;enle, on iieul trouver l*'

lel que y;* >> l" entraîne p/j <C 7 et, i)ar suite (en suj)[)osant, bien entendu, m :^/>),

Choisissons alors le nombre p supérieur à la fois à P et P' et /i^y touchons plus. La différence (-/?— S^) est un polynôme en —, qui est nul pour — = o. Comme tout polynôme est une fonction continue (n" 7o), on peut déterminer y, tel que — < "^ entraîne

Dès lors, si nous jtrenons M supérieur au plus grand des deux

nombres /i et -> nous serons certains que /?< >> M entraine (aS) et

(22). Comme nous avions déjà (21), nous aurons (i()). c. q. f. d.

2" m augmente indéfiniment par valeurs positives quelconques. — Soit u. la partie entière de m. Suivant que x est positif ou négatif, on a les inégalités de ganche ou de droite écrites ci-dessous (') :