V- + ' ce
1+ ont pour limite i , ils tendent encore vers r. ( )uel que soit le
signe de :c, ( 1 H j reste compris entre deux nombres qui tendent
vers y\ il tend donc lui-même vers I'.
(') A di(,iLe, on suppose m assez grand pour que i -l- — soit j)osili(. uliii (ju'on
puisse passer de la première ligne à la seconde. Pour faire ce passage on s'appuie, d'ailleurs, sur la variation de la fonction exponentielle (n° 83) et sur celle de la fonction x"^ ( n" Sli).
FONCTIONS KXPONENTIliLLE ET L0GAR1TH.M1QI E.
3" ?n tend vers — x. — Soit m = — a. On a
Si m tend vers — x. y. tend vers + x, ainsi que jj. — x. Donc
I H ) ' tend vers r. En outre, ( i H ^^ — ) tend vers i-^
(n° 89), c'est-à-dire vers i. Par conséquent, (iH j tend encore
vers j)^
Finalement, quelle que soit la manière dont m augmente indéfiniment^ y,n tend vers la somme y de la série (i8).
91. Nombres. — Le nombre e. base des logarithmes nénériens, est la valeur que prend r pour ^ = i. C'est donc la limite, pour jn
infini, de ( i ^ | > ou encore la somme de la série
Cette dernière expression du nomljre e permet d'en avoir aisément des valeurs approchées. Si on limite le développement à ses n -J- i premiers termes, on commet une erreur
f n — II- R ' ^
Pour calculer e avec une approximation donnée, il suffit alors d'appliquer les principes généraux du calcul numérique des séries (Chap. IV). On trouve ainsi
Le nombre e est incommensurable. En effet, si une fraction -
était égale à e. on aurait
^=H 1 r-h...H fH f - (O<0<l).
gr 12! 9 ■ ^J ■ Q
En multipliant par ql et résolvant par rapport à -, on voit que -
serait un nombre entier, ce qui est impossible puisque 9 est compris entre o et i .
Hermite a démontré que le //ombre e est t/rinsce/idant, c"esl-àdire qu'il n'est racine d'aucune équation algébrique à coefficients eutiers.
92. De la limite de | i +— j > on peut déduire la lintite de toute expression de la forme (1 + a)!^, lorsque a tend \ers zéro et [i vers l'infini positif ou négatif. En effet, posons a = — ; nous avons
aS
Lorsque a tend vers zéro, m augmente indéfiniment, (iH j
tend vers e. D'autre part, supposons que le produit a|j tende vers une limite déterminée A. Je dis que l'expression proposée tend vers e^. En
effet, si l'on pose w = ( 1 H j et r = aj^, on a
Quand a tend vers zéro, 11 tend \ers e, tlonc log?/ tend vers loge=i, |)uisque la fonction logariliimicpie est continue. D'autre part, V tend vers a; donc v log?/ tend aussi vers A ( n" 68), et par suite e'''"^" tend vers e^', puisque la fonction exponeulielle est continue.
Comme on le voit, la recherche de la limite en (picstion se ramène à celle de la limite du produit aTi, c'esl-à-dirc à un problème, en. général, beaucoup plus simple et |)0ur la résoliiiion ducpiel on possède des méthodes précises ( n" 126, 111). En particulier, on peut calculer
de celte manière la limite j^ de (i+— j • Ici, le ju'oduil ali est cons-
lammenl égal à x] donc y ^ e'". Nous avons donc ridentilé très im-
FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHMIQUE. ri3
portante
