XX- X
qui nous donne le développement de la fonetioii e'" en série entière (Chap. Vil).
On peut en déduire le développement de a^ en remarquant que l'on a
donc
/ „s 'ofr<7 „(lo£r<7)- (loça)"
I il n !
93. Dérivées des fonctions exponentielle et logarithmique. — Une autre application des considérations qui précèdent consiste dans le calcul de la dérivée de la fonction exponentielle. Il nous faut la
(fX+ll fiX (lit I
limite pour h = o, du rapport = a^ . — -. Tout revient
fi II [
donc à calculer la limite de — -, — • On peut l'obtenir immédiatement
Il '
par le développement (28), qui donne
— = logrt -H Ap,
p désignant une quantité qui reste finie quand h tend vers zéro ('). Quand h tend vers zéro, le second membre tend vers log r/.
On peut aussi se passer du développement (a8), en raisonnai! comme il suit. Posons «^ — i =z a ; d'où h = Iogrt( 1 + a). JNotre rapport s'écrit , = ; — : • Or-, le crochet tend vers e
' loga(n-a; L '
Iog„L(i-^a;°'J
(n" 92); donc — ; — tend vers ■. ^ loga (n" 86).
^ ' h logtt^
Finalement, on a
(•^9) («•'■)'= a-^logv/.
( ' ) Si l'on sup[iosc, par exemple, | A | <C ■ , I p I est plus polit (|ue la sonuiie de la
, . I loKa r- I locc< V
série convergente - — — — - + - — |-^ — ■ — h . . . .
IIaag. — Cours, I. 8
Il4 CIIAIMTRE VI.
En particuliet-
La théoi'ie des l'onclions inverses nous donne mainlenani la dérivée de kl fonction logarillnnique. Soil r = Iog„.r. On a ( n" 72)
-p- = -— • Or, X = cû : donc ax a.r
/-. \ dy \ I
(il)
clx a.' luga a'Ioga
En parlicnlier, si a ^ e, on a
(3?.) (I,)ga")'=^.
i)4. Dérivée de x'". — En uldisant la formule (H)), nous avons
(3:5) (x"^)' = {e'"^'^'^)' = e"'^^'^-x( in\o^x)' = x>" ~ — //ix"'-^,
c'esl-à-dire la même formule que [)()ur m enlier posilif (n" 75). On en déduit, toujours comme pour m entier positif,
di'(x">) { 34) = mini — i). . .( m — p -+- i).t"'-/'.
Mais, si m n'est pas enlier positif, celle dérivée p'''""' nesl jamais nulle, si grand que soil/?.
9o. Dérivée logarithmique, — Si ii est une fonction continue de jc, possédant une dérivée u\ la fonction y = log | u \ est aussi continue et possède une dérivée (n" 7J ). Suivant ([ue ii est >> o ou «< o, on a
Donc, ladérivéede\o'^\ u\esl ladérivée logarilliniiquede u (n"68). On s'explique maintenant la dénomination employée pour désigner
le rapport —, ainsi que les propriéti's établies an Chapitre V pour la
dérivée logaritlimiquc d'un |)roduit ou d'un (juolienl. Ces dernières sont, en elïct, des conséquences manifestes des théorèmes du
FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LO(iARITHMIQUE. Il5
96. Limites se rattachant à la fonction exponentielle. — Il existe toute une catégorie d'expressions, fondions de x, se présentanl, pour cerLaines valeurs de celle variable, sous une forme indéterminée et dont on peut trouver aisément la limite grâce aux propriétés delà fonction exponentielle. Elles se ramènent loiites à la suivante :
La limite de — > pour x = -{- zc, est infinie.
En efl'el, si x est positif, on a évidemment, grâce à la formule (2G),
2 ce
d'où résulte manifestement la propriété annoncée. On déduit de là les limites suivantes :
1° Limite de v = — ' pour ^ = rt oc. — On peut écrire
Si m >> o (commensurable ou non), il n'y a indétermination que
pour J7 =H- oc. On pose alors — = ;, d'où ^ 'm
pZ / gZ \ m
Pour j" = -f- oc, on a :; =: + X, — = + gc\ f — j = + 00, ^■)- 1= 4- x.
Si m <C o, il n'y a indétermination (|ue pour x =^ — oc. / L'expression n'a alors un sens que si m est commensurable et de la forme • — I- Ln posant toujours — := ;, on a, pour j" = — x : ; ^ + x,
gz / e-\"'
— =-T-cc, — =o,r=o.
2" Limite de y = -p — - > pour :r = + x, \*{x) étant un polynôme. — Si m est le degré de ce polynôme ( ' ). on peut écrire
gx X'"
X'" P(.rj
(') On peut très l)ien supposer que m n'est pus entier et que P (.z") est une expression de la forme ilAa:'', les exposants y> étant quelconques; m sera alors le plus grand de ceux-ci.
1 l6 CHAPITRE VI.
Le premier facteur tend vers + ce, le second vers l'inverse du premier coefficient de P(^) (n" 126, 11), donc j' vers + ce.
3° Limite de y = e-'^P(x), pour x = — ce. — On peut écrire
Le premier facteur tend vers zéro, le second vers le premier coefficient de P(.t:), Aonc y vers zéro.
4" Limite de y =z — ^, pour x=±cc. — On pose ^logrt = 3; d'où
Si rt >> I , logrt >> o, :; tend vers rt co en même temps que x\ la
limite est donc la même que celle de Si « << i , logrt<<o,
z tend vers =p oc ; la limite est zéro ou + ex;, suivant que x^-\~co on X ^ — co.
On peut déduire de là les limites de :;^; ou de œ^V{x).
Remarque. — On peut constater que, dans chacun des cas précédents, la quantité étudiée a même limite que l'exponentielle qui y figure. On peut alors résumer tout ceci en disant que toutes les fois fju'une exponentielle est contrariée par un polynôme (*), c^est l'exponentielle qui V emporte. C'est là un moyen commode d'apercevoir tout de suite la limite cherchée. Ceci s explicpie d'ailleurs par le fait que V exponentielle est une fonction à croissance très rapide^ plus rapide que celle de n' importe quel polynôme.
5" Limite de y= — ^^— j pour ^ ^ -|- ce et nt'^o. — Posons = e^, d'où .:; =
Pour .r =H- oc, on a lo" a; = -1- ce, :; = -1- oc, -^ = o, donc >' = o.
f'j Le mol polynôme peut èlre pris au sens plus large ex[>li<iué dans la note (Je la page précédenic.
m log57, puis
FONCTIONS EXPOXENTIKLLK KT KO(iARITH.MlQUE. II7
()" Limite de ■y = :r'" log\2", pour x^=o et //i >- o. — Posons "= e~^, d'où z =:i — m logo-, puis
Pour X ^ o, on a logJC = — oc, j == + oc, -^ = o, donc)^ = o. Comme plus haut, on peut déduire de là les limites d'expressions de la forme -^-^^ ou P(.r)loox.
Remarque. — On peut constater cette fois que la limite de y est toujours inverse de celle de log^. Autrement dit, toutes les fois qu' un lo^^aritlinie est contrarié par un polynôme.^ cest le polynôme qui l'emporte. Ceci s'explique |)ar le fait que la fonction logarithmique est une fonction à croissance très lente., plus lente que celle de n importe quel polynôme.
97. Imaginons une séi'ie dont chaque lerme soit une fonction de x. Supposons qu'elle soit convergente tant que x reste intérieur à un certain intervalle (rt, 6), qu'on peut appeler intervalle de convergence. Il est clair que la somme de la série est une fonction bien déterminée de x dans cet intervalle. Voilà donc un moyen commode de construire un nombre illimité de fonctions. Ce procédé est très usité en Analyse et a donné lieu à des recherches savantes qui ne sauraient trouver place dans cet Ouvrage. jNous nous bornerons à examiner un cas très simple et d'ailleurs fondamental; c'est celui des séries entières. On appelle ainsi toute série de la forme
(l) J' = ao-H «1^ -r- a2^'--r-. . .H- ««X"-l-. . .,
où les Gi sont des constantes, qu'on appelle les coefficients de la série.
98. Intervalle de convergence. — La première chose à faire est de s'occuper de la convergence. Suivant la nature des coefficient'^, il
peut arriver que la série soit convergente quel que soit x ( lî!x. : — ;• )> ou bien divergente quel que soit x (Ex. : n\ x" \ le rapport
tend vers + ce, donc le terme général ne peut tendre vers zéro )> ou
tantôt convergente, tantôt divergente (Ex. : i -^ x -\- x- -\- . . . ^ qui converge pour.|.r| -< i et diverge pour |a7|^i). La classification des valeurs qui font converger la série repose sur le théorème suivant:
Théoiu;me L — Si la. série converge pour x = Xq, elle est absolument convergente pour toutes les valeurs de x dont la valeur absolue est inférieure à \xq\.
En edet, la série a,ix'^ étant convergente, son terme général tend vers zéro. Par suite, on peut trouver un iioniljre positif fixe A tel qu'on ait, pour loutes les valeurs de /«,
d'où
a,ix" I < A
Or, si \x\ ■< |:ro|, on a \^—
est une progression
<< I ; la série A
convergente ; donc |a,^x"| est aussi convergente (n" 42) et la série (i) est absolument convergente (n" i7).
Remarque. - — Il n'est pas nécessaire que la série converge pour.ro ; il suffit que son terme général soit box'né supérieurement en valeur
Corollaire. — Si la série diverge pour .r=:.ro, elle diverge pour I X I >> I cT,, I . Car si elle convergeait pour une valeur Xi de module >> ^o, elle convergerait pour \x\ <iXi, donc pour x = To.
Remarque. — Pour |.r|^ \-'Xo\i on peut même dire que le terme général croît indéfiniment en valeur absolue ; cela résulte de la remarque faite plus haut.
Cela posé, rien n'est plus facile (du moins théoriquement) que de trouver l'intervalle de convergence de la série. Rangeons dans une première classe tous les nombres positifs qui rendent la série convergente et, dans une seconde classe, ceux qui la rendent divergente. Je dis que nous faisons une coupure (au sens du n" 10). En effet, aucun nombre positif n'échappe à la classification car, quel que soit x^ la série est soit convergente, soit divergente. En second lieu, tout nombre .r, de la première classe est inférieur à tout nombre x^ de la seconde classe, car si X{ était plus grand que .^o, il ferait diverger la série, en vertu du corollaire ci-dessus. Cette coupure définit un nombre W. Je dis <jue r intervalle de convergence est (-R, +R).
En effet, si x est com[)ris dans cet intervalle, on peut trouver un nombre x, delà |)remière classe de \\ qui soit supérieur à |.r|. Comme la série converge pour x^., elle est absolument convergente pour x (théorème 1).
120 CIIAPITRIi VII.
Au contraire, supposons x exlérieur à l'inlervalle précédent. S'il faisait cotiveiger la série, on pourrait Irouver un nombre :r.. de la seconde classe de R qui serait inférieur à \x\ et rendrait par suite la série convergente, ce qui est contradictoire avec la définition de Pv.
Finalement, nous avons |)rouvé (pie la série converge absolument pour toute valeur comprise entre — R <?/ H- R ('Z quelle diverge pour toute valeur extérieure. Mais, nous ne pouvons rien affirmer pour les limites — R e^ + R âfe V intervalle ('). Le nombre R sera appelé rayon de convergence.
Remarcjue. — Il peut arriver évidemment que le nombre R soit nul ou infini. Dans le premier cas, la série est toujours divergente (sauf pour .r ^ o, ce qui est sans intérêt); dans le second cas, elle est toujours convergente {voir les exemples cités plus haut).
99. Calcul du rayon de convergence. — Pour calculer R, il suffit, la plupart du temps, d'appbquer à la série des modules les règles ordinaires de convergence des séries à termes positifs. Posons
\^\^\> I «« I = "^n, a«^''= Un-
Appliquons la règle de d'Alembert, nous avons
Si -^^ tend vers une certaine limite À, — ^ tend vers ),H ; d'où il
résulte manifestement que le rayon de convergence est , • On peut aussi appliquer la règle de Cauclij :
Si \/y.ii tend vers une limite u.. le rayon de convergence est —•
(') On peut trouver des exemples pour lesquels la série eonvcrge aux deux extrémités de l'intervalle, par exemple w„=— ^ ; d'autres pour lesquels elle diverge aux deux extrémités, par exemple m„ = x" ; d'autres enfin pour lesquels il y a convergence à une extrémité et divergence à l'autre, par exemple m„ = — •
Ceci nous prouve en passant que si ces d-eux limites existent simultanéuienl, elles sont nécessaireinetit égales (cf. n° 43).
Si aucune d'elles n'evislc. <>n a le théorème suivant, dû à .M. Hadamard :
Tm•;onK^fl•: II (Hadamard ). — Le rayon de convergence est l'inverse de la plus grande des limites de la suite ai, y/^ï- V 5^3- • • •' \^i^ • • •■ En efl'et, soit ). celle plus grande des limites ( n" 39;.
i" Si ; < -> la série u,, est convergente. — En effet, si ijetit que soit s. nous
savons qu'à partir d'un certain rang, y'a„ reste plus petit que À -t- £ ; donc V Un < Cl "/- -T- £ I. Or. on peut choisir £ assez petit pour que ;(). ^£)<;i, car
cela revient à £<- — /.., inégalité possible pour une valeur positive de £,
grâce à l'hypothèse y > /.. Dans ces conditions, la règle de Gauchy prouve la convergence de la série.
i" Si ; > ,- » la série u„ est divergente. — En effet, si petit que soit £ et si
grand que soit N, on peut trouver n>N tel que \ ï/z > À — £, d'où y^M,i>-^(). - — £ ). Or, on peut choisir £ assez petit pour que ;( X — £)>i. On aura alois, pour des valeurs de n aussi grandes qu'on le voudra, \ «<«>i, d'où »„> 1. Le terme général ne peut donc pas tendre vers zéro; la série est <livei gente.
100. Convergence uniforme. — Imaginons une série dont tous les termes soient des fonctions de x telles que la série soit convergente -dans un certain intervalle («, b) . Appelons R,((:r) le reste iin-i^\ -i- fin+'> — • ■ ■■ Etant donnés un nombre positif s et une valeur x de l'intervalle (V/, b). on peut toujours trouver un nombre naturel Nx tel que ii > Nj- entraine
Cela résulte simplement de ce que la série est convergente pour la valeur de x considérée. Si nous donnons maintenant à x une autre valeur de l'intervalle (a, b) et si nous gardons la même valeur pour s, on pourra encore satisfaire à l'inégalité (2), mais à partir d'un rang (jui pourra très bien ne plus être N^.. Autrement dit, le nombre IN^ dépend non seulement de î, mais encore de la valeur attribuée à x. Il est clair, d'ailleurs, qu'on peut toujours le remplacer par un nombre supérieur quelcoucjue. On peut alors se demander si, pour
une valeur donnée de £, il u'esL pas |)Ossible de trouver un nombre fixe N supérieur à tous les nomlu^es N.,-, c'est-à-dire tel que n/^N entraîne (2), mais quelle que soit la valeur attribuée à x dans l'intervalle {a, b). S'il en est ainsi, on dit que la série est uniformément convergente dans l'intervalle (V/, b).
Théorème. — Toute série entière est uniformément convergente dans tout intervalle intérieur à F intervalle de convergence.
Eu edet, ou peut trou\er un nombre /• plus petit que R el supérieur au plus grand des deux nombres |<7| et \b\. Quel que soit x dans lintervalle (a, Z/), on a alors |.r j <C /' ; d'où
Or, le second membre est le reste de la série convergente (a/,/*"). On peut donc trouver jN tel que, si /2>>N, ce reste soit plus petit que £; l'inégalité (2) sera alors, a fortiori, vérifiée, quelle que soit la valeur attribuée à x dans lintervidle (a, b).
Remarque. — On voit (|ue la déiuonstralion ne serait pas valable si l'un des nombres a et b était H- Pi ou — R (')■ " îi\\\\- bien remarquer que l'intervalle (rt, b) doit être tout entier intérieur à Vintervalle de convergence.
101. Continuité. — Théouéaie (-). — Uiw série entière est une fonction continue pour toute valeur de x intérieure ti l'intervalle de convergence.
En effet, soit S(.r) la somme de la série (1). Etant donné s, il faut trouver r, tel (|ue |/' | < r\ entraîne
(3) |S(a--4-A) - S(ir)i < £,
le nombre h devant, en outre, (Hre tel que x -\- h soit dans lintervalle de convergence.
On a, en apj)elaiit S,^(.r) la soniuie des n premiers termes de la
(') Il fiiiiilruit, pour (]u'elle le fût, (|ue la série fût absolntncnt convergciilc pour X ^=±\\. (Jn prendrait alors /• = W el Ton reniplucerail les signes < par ^.
(^) Voir un ihéorème analogue pour une série de fonctions quelconques dans Leçons ( t. II, n" 'J24 ).
série,
Nous allons tâcher de rendre chacun des crochets inférieur à ^ en valeur absolue. Commençons par imposer au nombre h la condition
Ao étant un nombre positif inférieur à Pi — |.r|, de telle sorte que .r -+- h soit constamment dans Tintervalle (x — //„? x-\-h(,), intérieur luimême à l'intervalle de convergence. Nous pouvons maintenant déterminer n de manière qu'on ait
pour toute valeur de h vérifiant (5), puisque la série est uniformément convergente dans l'intervalle (\ro — A , .Vq-^ h). Le nombre n étant ainsi choisi, nous (l'y touchons plus et nous sommes assurés de l'inégalité (6) et par suite de la suivante, obtenue pour h = o,
Considérons maintenant le premier crochet. S„(x) est un polynôme en X] donc (n" 7o), on peut trouver A, tel que [//[<</?, entraîne
Dès lors, si nous prenons pour •/■; le plus petit des deux nombres Ao et A,, nous serons certains que l'inégalité j/'l <C '^ entraînera (6), (7), (8) et par suite (3) (').
Remar(ju<;. — La démonstration n'est pas valable pour x = riz R. Et d'ailleurs, on ne sait même pas si, pour ces valeurs, la série est convergente. On démontre néanmoins que, si elle Test pour .r ^ R par exemple, sa somme est la limite vers lar/uelle tend S{x) lorsque X tend vers \\.
(') Le lecteur ne manquera pas de remarquer lanalogie entre celle démonstration et celle du n° UO.
17 \ fHAPITRE VII.
Corollaire 1. — Si une série entière est nulle pour toutes les i^aleurs de x d'un intervalle (a, h) donné et comprenant zéro^ tous ses coefjicients sont nuls.
En etTet, craboid S(o) = o; donc «„= *J- io\l ap le premier coefllcienl non nul, en admettant qu'il existe. On a
S(a"; — ^'/•'(«/j-J- a ii^^x -t- ap+'^x'-^ . . .) = x'' I.{x).
La série S(^) est continue pour x = o. On peut donc trouver r, tel que 1^1 ^T, entraîne {"^(x) — ap\<^e, si petit que soit e. Si l'on suppose t<i\ap\y on voit que 'E.îx) ne peut être nulle pour aucune des valeurs de lintervalle ( — T,,+ri). 11 en est donc de même de S(.2'), si 1 on excepte la valeur zéro pour x. On met ainsi en évidence une infinité de valeurs de l'intervalle (a, b) qui n'annuleraient pas S^x). Il n'y a donc pas de premier coefficient non nul dans la série: autrement dit, tous les coefficients sont nuls. c. q. f. d.
(corollaire II. — Si deux séries entières prennent les mêmes valeurs dans un intenalle comprenant zéro^ elles ont les mêmes coefficients.
Car leur différence s'annule dans cet inter\alle. Il revient au même de dire <:\\x une fonction ne peut être développée en série entière que d'une seule manière.
102. Intégration des séries entières. — La fonction S (.2?) étant continue dans l'intervalle ( — R, + R), on peut l'intégrer entre deux valeurs quelconques de cet intervalle (' ). Proposons-nous de calculer
par exemjile / S(x)dx. Il est tout naturel de se demander si,
comme pour les polynômes, on ne [)eut pas intégrer terme et terme: Essayons donc de démontrer l'identité
^ll-hl
(9) / S(x)dr = aox -^ ai l-...-f-r/„
en stqiposant | jc j << K.
(') Nous anticipons ici sur le Chapitre \II. Le lecteur pourra, dans une première lecture, passer ce numéro, tout en en admettant le résultat pour le numéro suivant.
Appelons i]«(:r) la somme des n + i premiers termes de la série (9). Si nous prouvons qu'étant donné s, on peut trouver N tel que /î >> N entraîne
x) dx — -«(a?)
nous aurons évidemment démontré (pie la série (9) est convergente et a pour somme / S{x)dx. Or, quel que soit n, on a
donc
I ii„(x)dx = Za{x); j S(x)dx — -:^r,(-r)= f R„(x)dx.
Mais, d'après la formule de la moyenne (n" lio ), on a
l\ni^) dx = xR„(f^x) fo<6<i).
D'autre part, eu ^el•lu de la convergence uniforme de S(j:), nous pouNons trouver N tel ([ue /« >> N entraîne
cjuel que soit x' compris entre — ■ ;r et -^x. Comme O.r satisfait à cette dernière condition, on aura certainement
d'où
d'où Tinégalité (10).
Finalement, nous voyons que toute série entière peut être intégrée terme à ternie à V intérieur de l intervalle de convergence.
I{eni(ir(jues. — I. Pour avoir une primitive quelconque de S(.r), il siiKit d ajouler un terme constant (pielconque à la série (9).
II. La série des primitives admet un intervalle de convergence au moins égal à celui de la série proposée.
103. Différentiation des séries entières. — Posons-nous mainte-
nanl le problème inverse du précédeot. Clierchons la dérivée S'(x) de S (a:), si elle exisle ( ' ).
Considérons, celle fois, la série des dérivées
(il) <7i -H 2a2^ -1- 3a3"f--r-. . . -H nanX'-^'^ -4- . . . .
Je dis que celle série esl absolument con\ergenle pour toute valenr x
de l'intervalle ( — R, +R). En etTet, soit /• un nombre positif plus
petit que R et plus grand que ç = |^|. La série (i) est absolument
convergente pour x=^r\ donc, en répétant un raisonnement déjà
faitin" 98), on peut lrou\er un nombre fixe A tel qu'on ait, quel que
soit /?,
'j-ii < — ; /•"
d'où
Or, la série a termes positiis est convergenle, comme le monli'e
■ I fil ~ '
la règle de d'Alembert. Donc aussi la série ny.,i^"~'* (n" 42); et, par suite, la série (ii) est bien convergenle dans V intervalle ( — R, + R). Mais alors, d'après le numéro précédent, on peut linlégrer terme à terme, ce qui redonne la série (i), mais aussi une primitive de la somme 5-(.r) de la série (i i). On a donc a-(:r-)^ S'(;r).
Finalement, nous voyons que toute série entière peut être dijjérentiée terme à terme à V intérieur de Vintcrvalle de convergence.
Remarque. — Nous avons vu que la série des primitives a un rayon de convergence p au moins égal à R. R en est de même pour la série des dérivées. Mais la série des dérivées de la série des primili\es est la série pro|)osée; donc R^i^p. En comparant, on voit (|ue 0 = R. Donc, la série des piiniitives et la série des dérivées ont exactement le même intervalle de convergence que la série proposée.
iOi. Série de Mac-Laurin . — De ce qui précède rc'sulle évidemment (pion peut, en dillerentiant terme à ternie, calculer de
(') On ne pi;ul encore l'affirmer, car une l'onclion continue n"adinet pas forcément une dérivée.
si;rii:s ENiiiiRES. 127
proche en proche loiites les dérivées de S(.r), jusqu'à un ordre quelconque. Aous sommes ce/ tains que toutes ces dérivées existent à l'intérieur de rintervalle de convergence. Calculons en parliculier leurs valeurs pour x = o, on a
S(o) = «o. S'(o) = ai, S"(o) = 2a2, ..., ?>'■"'>( o) = n\ a n, ....
11 suit de là que, si une fonction f{x) est développable en série entière dans un cerlain intervalle, ce dévelo[)penient est nécessairement
Ceci nous montre de nouveau que le développement n'est possible que d'une seule manière. I^a série (12), que nous retrouverons plus loin, porte le nom de séfie de Mac-La iirin .
105. Addition, multiplication et division des séries entières. — Etant données plusieurs séries entières, si on les additionne en réunissant les termes de même rang- (c'esl-à-dire renfermant la même puissance de x), on obtient évidemment une série entière, dont l'intervalle de convergence est au moins égal au plus jietil des intervalles de convergence des séries proposées.
De même, si l'on multiplie deux séries entières, suivant la règle de Cauchy (n" o2), on obtient encore une série entière dont l'intervalle de convergence est au moins égal au plus petit des intervalles de convergence des séries proposées, car, à l'intérieur de eet intervalle, celles-ci sont absolument convergentes.
Enfin, soit à développer eu série entière, si possible, le quolient
«o-t- «1-2" -t- «oa?^ -H. . . ,, ^ ^
1 7 , ," ., (ôoT^o).
On emploie la méthode des coefficients indéterminés, c'est-à-dire qu'on désigne le quotient par Cq 4- C| J7 + c^^- +■•• •; on le multiplie par le diviseur, suivant la règle de Cauchj; puis on identifie le résultat obtenu avec le dividende. En égalant les coefficients des puissances successives de x (n° 101, corollaire II), on obtient des équations qui permettent de déterminer de |)roche en |)roclie tous les coefficients inconnus Cq, c,, c-2, •••• Ee lecteur apercevra aisé-
laS CHAPITRE VII.
menl qu'il revient au même de considérer les deux séries proposées comme des polynômes illimités ordonnés suivant les puissances croissantes de x et de diviser l'un par l'autre ces polvnomes, suivant la règle ordinaire (n" 202).
Quelle que soit la façon de procéder, il faut bien remarquer que le résultat obtenu est purement formel. Pour qu'il ait une valeur effective, il faut prouver que la série obtenue est convergente dans un certain intervalle. Celle-ci représente alors le quotient cherché dans le plus petit de cet intervalle et de l'intervalle de convergence du diviseur.
100. Méthodes diverses de développement en série entière. — Etant donnée une fonction y(.r), on peut se proposer de trouver une série entière, convergente dans un certain intervalle ( — H, + R), et ayant pour somme /{or) pour toutes les valeurs de cet intervalle. C'est ce qu'on appelle développe?' la fonction en série entière.
A priori^ pour que ce développement soit possible, il faut que., dans le voisinage de x^=o, la fonction soit continue et admette des dérivées de tous les ordres., car toute série entière jouit de ces propriétés à l'intérieur de son inleivalle de convergence. Ce n'est pas ici le lieu de rechercher si ces conditions sont suffisantes. Nous voulons seulement indicpier quelques méthodes de développement en série applicables à certaines catégories de fonctions.
I. Méthode par dérivation. — On calcule la dérivée f (x). Si la fonction obtenue a un développement connu ou calculable par une méthode quelconque, il suffit d'intégrer terme à terme ce développement pour avoir celui de f{x), à une constante près qu'on détermine en faisant ^ ::= o. Il peut arriver qu'on n'obtienne une fonction dévelo|)pable qu'a|)rès plusieurs dérivations successives. On remonte alors iif[x) par un nombre égal d'intégrations successives.
II. Méthode par intégration . — On calcule une |)rimitive de f{x). Si la fonction obtenue peut être développée |)ar un procc'-dé quelconque, on aura le développement de f{x) |)ar une diflV'rentialion terme à terme. (>omme plus liaiil, il peut se; faire (pie la méthode ne réussisse qu'après |dusieiirs intégrations successives de J {x).
III. Méthode par ét/uation différentielle — On lùche de trouver
SÉRIES KNTIÈRES. l'it)
une équation dlfTérenlielle simple, linéaire autant que possible (Cliap. XV ), à laquelle satisfait y. On écrit alors le développement cherclié avec des coefficients indéterminés et on le substitue dans l'équation. On écrit que celle-ci est vériliée, c esl-à-dire qu on annule les coefficients de toutes les puissances de x dans le résultat de substitution supposé écrit tout entier dans un même membre. On obtient ainsi des relalioiis entre les coefficients inconnus, qui permettent de déterminer ceux-ci de proche en proche en (onction du ou des premiers, les(|ucls se calculent au moyen des valeurs de )'et, s'il va lieu, de ses dérivées, pour :r =o ('). Il faut ensuite s'assurer que la série est convergente dans un ceitain intervalle non nul, à l'intérieur duquel le développement est seul valable.
[\ . Méthode par la formule de Mac-Laurin. — Nous démontrerons, au Chapitre suivant, que si f{x) admet, dans l'intervalle (0,37), des dérivées finies jusqu'à l'ordre n + i , on a
Supposons alors que les dérivées existent jusqu à un ordre dliiuité; nous pourrons prolonger la formule indéfiniment, ce qui nous conduira à la série de Mac-Launn
Mais, pour que cette série représente bien f{x), il faut d'abord qu elle
soit convergenle et ensuite (jue le /x'A^e R«= - — — — (-/"'""^"(O J") tende
vers zéro |)our /? infini. Celte dernière condition est d'ailleurs suffisante à elle seule, car si elle est remplie, la somme S« des /^ + 1 premiers termes de (l'o) tend vers /*(.r)pour n infini, puisqu'elle est égale àf{x) — R„.
Ceci a toujours lieu lorsf/ue les dé/'ivées successives de f\x) sont toutes bornées supérieurement en valeur absolue dans l'intér-
im} On c^l cerlaiii que le développement obtenu représente bien lu fonclion proposée, en vertu du théorème fundamental des équations dillercutieilcs ( n° 18G).
Haag. — Cou/s, I. !)
|3o CHAPITRE VII.
salle [o^x). On a, en effet, dans celle hypothèse,
|/("+i'(ea7)l<A,
A étant un ceiiain nombre fixe. Donc
Or, quel que soit x, la quantité — — ' ? tend vers zéro pour n infini,
car elle est le terme général d'une série convergente. Par conséquent, R« tend aussi vers zéro.
Cette métliode n'est pratique que si l'on peut avoir aisément l'expression générale de /"'"^(j:); et, même dans ce cas, elle peut encore présenter de grandes difficultés à cause des questions de convergence de la série et de limite du reste.
107. Développements classiques. — Nous allons indiquer maintenant quelques développements classiques qu'il est indispensable sinon de connaître par cœur, du moins de savoir retrouver rapidement.
1. — Tant que | j; | <; i , on peut considérer cette fonction
comme la somme d'une progression géométrique de raison x. On a donc
développement valable entre — i et + •• On en déduit le dé\eloppemeat suivant
, , . I II i / X x'^
valable entre — « et + a.
Par diirérentialions successives, on a les dévclop|)ements de
On peut déduire de là le (léveloppement de n importe quelle fraction ralionnelle. 11 sulfii de décomposer celle-ci en éléments
SÉRIES ENTIÈRES. ÏOI
simples (Cliap. XVII); on a alors une expression de la forme
A, \.2 Ax Bi L)
où E(:r) désigne un polynôme. On développe, par la méthode cidessus, chacun des ternies du second membre; puis, on ajoute terme à terme. La série obtenue a pour ravon de convergence le module du pôle le plus voisin de zéro ( ' ).
II. log(i -t-.r). — En changeant j: en — x dans (i4)j intégrant et se rappelant que log i = o, on a
dévelo|)pement valable entre — \ et + i .
Pour a: = — I, on obtient, au second membre et au signe près, la série harmonique (n° 4-i). Le premier membre devenant égal à — ac, on peut encore considérer la formule comme valable. Pour .r = i , on a, au second membre, la série harmonique alternée. Comme celle-ci est convergente, elle a pour somme loga, en vertu d'un théorème admis au n" 101.
ITI. arc tanga;. — La dérivée de arc tanga: est -• Or, d'après (i 4),
d'où
(17) arc tanira; = a? — ! — h...,
développement valable entre — i et + i, comme celui de - — — -•
IV. e-^. — Ce développement a déjà été obtenu au Chapitre VI (n"92). Ou peut le retrouver par la série de ^Nlac-Laurin. Toutes les
(') Ceci s'applique quand bien même certains des pôles a, b, ...,/ seraient imaginaires. Mais, dans l'addition, toute trace d'imaginaires doit disparaître, si toutefois la fraction rationnelle proposée a ses coefficients réels.
Observons encore qu'on peut se borner à développer l'inverse du dénominateur, quitte à multiplier ensuite par le numérateur; car il est toujours facile de multiplier une série entière par un polynôme.
dérivées de e-^ sont égales à e' et par suite elles sont bornées. C^onime elles sont égales à i pour .r = o, on peut écrire immédiatement
(18) C-^ = I -h- 37 -i- ' h Vt +■ • •-^- ^ -^•••»
et cel;i quel cpie soit x.
I'2ii(in, on peut encore remarquer fpie y' z=z y (M. Si Ton pose
j/ = rto -f- «1 a^ -r- . . . + a,i :r" -i- . . . , on a
y ^= (ii-h -la^x -h . . .-h na„ .r"-i -t- . . . .
D où la formule de récurret)ce
na,i— a„-i.
Si Ton remarque que «o^ e" := i , on voit (jue au^= — f (n° 314-).
Y. sin.r et cosx. — Prenons la série de INIac-Laurin, car toutes les^ dérivées sont j)lus j)elites (pie i, donc bornées. On a (n" 76)
(sin.r )("' = è\n(x -\- ?i—]; d'où Ion déiluit la formule
(19) sina7 = 37 — — -+- "t-7 — ... + ( — i)"-
(3n trouverait île même, ou en dérivant siuj?,
(7.0) cos.r~i — — T -t- 7^ — . . .-+-( — !)"•
Ces deux dé\elopj)ements |)euveiit aussi s'obtenir en remarquant que sin.r et cos.r satisfont à Téquation difTérentielle r"H-jK = o.
Ou |)cut en déduire le (]é\ cloppeuu'ut de toute lonclion se présentant sous la forme d'un polynôme par rapporl (iiix sinus et cosinus de mullijyies quelconques de X (entiers, fractionnaires ou incommensurables). Nous verrons eu effet (n'' lOV)) (pi'une telle expression
('; Les seules fonctions qui vérifient celle équalion sont, ainsi qu'on le verra au Chapitre XV, ^ — ce", où c est une constante quelconque. Si, pour a: = o, on ay = i,. il faut i|ue c soil égal à i et ^ se réduit à c''.
SÉUIES ENTIÈRES. I 33
peut loujolirs se mellre sous la forme
y = I.(\ cosaa- -+- A' sina^r),
les A, A', a désif^nant des constantes. Il suffît alors de développer clia(|ue terme de la somme et d'ajouter ensuite terme à terme.
VI. (i -\- x)"\ — INous connaissons le développement pour m entier, |)Ositif ou négatif. Supposons maintenant m absolument quelconque. On peut appliquer la formule de Mac-Laurin, mais on rencontre des difficultés à propos du reste. Aussi, préférons-nous la méthode suivante :
On a(n°94)
y = in{\ -r- X )"'-^ =
OU
{21) y{x-hi) — }ny = o.
La fonction la plus générale qui puisse vérifier cette équation est {n° 191) y = C(i -h x)"^, en appelant C une cot)stanle arbitraire. La fonction ( i + x)"^^ que nous voulons développer, est caractérisée par la condition d'être égale à i pour x =^ o.
Soit alors
y = a<i-\- ayx -k- . . .-{- a^x'^ -\-..,,
y' ^= a^-h- ia=>x ^ . . .-^ nanX"-^ -^-. . . . Portons dans (21); annulant le coefficient de x" ^ nous avons
nun -h (yi -i- I J «n+i — ma„ = o, ou
ni — n
formule de récurrence d'où l'on tire (n" 314), en remarquant que
in( m — \) (m — -i). . A m — /i -i- i )
n 1 On a donc
{•XI) ( I -I- a: )'" = ( -i X -^ j a-"- -i- . . .
ni ( m — \). . .( m — n -i- i ) ■ X''
développement valable dans l'intervalle de convergence de la série
l34 CHAPITRE VII.
qui est au second membre. Cherchons donc celui-ci. Prenons la règle de Dalembert
rapport qui Lend vers — x, pour n infini. Donc (n° 99), l'intervalle de convergence est (■ — i, + i) et la formule (22) n^est exacte que si\x\<\ (').
Rlle constitue, comme on ie voit, une généralisation de la formule du binôme; aussi la série (22) est souvent appelée la série du binôme. Elle peut servir, si l'on veut, pour le développement en série des fractions rationnelles (I).
On peut encore en déduire ie dévelo|)pement de (a-i-b)'", quels
que soient les nombres a et b, pourvu qu'ils ne soient pas égaux, cas
qui serait d'ailleurs sans intérêt. Soit en efiel, pour fixer les idées,
|rt I > I />|. On a
/ b\ '" r />i b ni (m — \) b- ~\
( a -H 6 )'" = rt'" H = a'" H 1 ^ j h . . . ,
puisque
•< i . Dotic
mim — \~) . . .{ m — « -l- i ) H ■ a'"-"b>^
ni
sous la seule condition | « | > | 6 |. \U. arc s\nx. — On a (n° 78)
y= = (1 —xi)"^.
Si I X I <^ I , on peut dévelop|)er par la série du binôme
ar4
(24 ) y'= iH x--\ -X* ->. — -ar«-i-. . .H ; x-" + . . . .
(') C'est du moins tout ce que nous pouvons affirtner. En réalité, elle l'est aussi pour^= I, /n> — I et pour x =: — i, /»>o. Mais la démonstration, qui peut se faire d'après la formule de .Mac-Laurin, est trop longue et dénuée d'intérêt pour trouver place ici.
SÉRIES ENTIÈRES. l35
Intégrons et rappelons-nous que arc sino = o :
(25) arcsinj7 = .rH —h -— — i ; — h...
développement valable pour | j? | << i .
108. Séries entières à variable complexe. — Dans tout ce qui précède, il n'a été implicitement question <|ue de quantités réelles. Mais, on peut étendre aux imaginaires la théorie des séries entières.
Soit le nombre complexe z^=^ x -\- iy, où x et y sont regardés comme deux variables indépendantes réelles ; c'est ce que nous appellerons une variable complexe. On peut la regarder comme l'affixe d'un point (;) susceptible d'occuper n'importe quelle position dans le plan xOy. Soit maintenant une suite infinie de coetlicients imaginaires tto, rt,, .... Nous appellerons série entière relativement à la variable complexe z la série
Cette définition est parfaitement légitime, puisque nous savons ce que c'est qu'une série à termes imaginaires (n" oO). Considérons la série des modules
(27) ao-l- xi ^ H- Xo-'-f-. . .-+- a„ !;"-f-. . ..
C'est une série entière réelle; elle admet donc un certain rayon de convergence R. Si Ç << R, elle est convergente; donc (n° 50), la série (26) est absolument convergente. Si C ^ R, son terme généracroît indéfiniment avec // (n" 98); donc, la série (26) est divergente- Si V ^ R, on ne peut rien dire.
Ces résultats sont susceptibles d'une représentation géométrique très simple. Appelons cercle de convergence le cercle de centre O et de rayon R. On peut dire alors que la série proposée est convergente à V intérieur du cercle de convergence et divergente à l'extérieur; sur la circonférence il y a doute.
109. Fonctions de variable complexe. — SoitZ la somme imaginaire de la série (26). A toute valeur de ^, de module inférieur à R,
l36 CHAPITRE VII.
correspond une valeur bien déterminée de Z. On dit que Z est une fonction de z, définie à Vintérieur du cercle de con^'ergence. On peut étendre à cette fonction toutes les définitions et toutes les propriétés relatives aux fonctions de variable réelle dévelopjiables en série entière. Mais, cela ne rentre pas dans le cadre de cet Ouvrage et nous nous bornerons à indiquer les exemples classiques suivants :
