I. e~. — Par définition, nous jioserons
Cette fonction est définie dans loul le plan. Lorsque z est réel, elle coïncide avec la fonction exponentielle ordinaire.
Comme pour cette dernière, on a Tidenlité fondamentale
En effet, nous savons que le théorème lelatif à la multiplication des séries est encore \rai quand il s agit de séries imaginaires. Oi", les séries e^ et e~' étant absolument convergentes, quels f|ue soient :; et :;', on peut les multiplier suisaut la règle de Cancliv. l^e terme général du produit est
(3oi — r-f-, r '~ ; r ~r'+'- • -"i" 7 ~r — r-H.-.-i r*
Or, on sait (jue ( n" 24)
de sorte (pie rex[)ression (3o) peut s'écrire
Le produit e' .e^' esl donc bien é"al à e^"*"^'.
CoivoLLAiiiic. — (e^)"'=e"'', pouf ni entier et positif. Car il suffit de multiplier m facteurs égaux à e^.
Formule d'Euler. — (calculons e'-^'. en siqiposant x réel. On a
ix x^ ix^ r'' ix^ i 'x\ 3 ! 4 ! j !
SÉHlliS E.NTlÈltES. l37
La partie réelle est le développement en série de coso:; le coelficient de f est le développenient de sin:r; donc
(3i) e'-* =: cosa" H- / ?in :r.
Celte formule très importante est connue sous le nom de formule d^ Euler. On peut en tirer bien des conséquences.
D'al)ord, elle permet de séparer simplement la partie réelle et la paitie imaginaire de e-^+'-^ . On a, en effet (' ),
(oa) e-J^-i-'r = e-^ eO'= e-''{c.oiy -i- t sinjK) = e^ cos y -+- i(e-^' sinjK).
Au n" 79. nous avons dit qn d était quelquefois utdc de considérer les dérivées de certaines fonctions imaginaires d'une \ariable réelle. Supposons alors que x et y soient deux fonctions réelles de la variable réelle t et cherchons la dérivée de e-^+'-^ par rapport à t. La formule (Sa) nous permet d'écrire, conformément à la définition du n" 79,
(e-r+o)'^ e^ co?^y .x' — e^ sin j^. r'-f- i( e-^ siny .x' -r- e"^ cosy.y'} :^. e^{cosy -^ i ?'iny)( x' -^ iy' ) — gj^'+M-Car'-t- iy' ).
Autrement dit, que z soit une fonction réelle ou imaginaire de la variable réelle t, on a toujours
Si, dans la formule dEuler. on change x en — x, il vient e~''^ = cosT — / sin a".
D'où l'on tire, par addition et soustraction avec (3[),
g/'x| p—ix ^'.< f>—i.r
(34) cosr = '■ y ■s\nx = ; -•
■?. JL l
En partant de ces formules, qu'on appelle aussi les formules d^ Euler^ on pourrait établir toutes les formules de la Trigonométrie. Nous conseillons au lecteur d'en vérifier quelques-unes à lilre d'exercice. Nous nous bornerons à signaler rim])ortante application suivante :
(') On obtient e'~^>'sous la furine trigonométrique, de sorte que e"" est le module et y est l'argument.
Imaginons u?ie fonction y qui se présente sous la forme cV un polynôme quelconque par rapport à des quantités telles que cosax et sinax, a désignant une constante quelconque, commensurable ou non. Remplaçons-y ces quantités par leurs valeurs tirées de (34). l\ous obtiendrons évidemment un poljnome relativement à des exponentielles de la forme e'"-^ et e"'"-^'. Développons-le et ordonnons-le. Un terme quelconque s'écrira (')
A( e''"''')=^(e'''^)? . . . (e''''-»')>-= A eiiaa+ip+...+/>v).»;
= A{cosmx -+- i ^\ninx).
On voit finalement que la fonction y sera mise sous la forme d'une somme de cosinus et sinus de multiples Incommensurables ou non) de Varc x. Nous avons déjà indiqué une application de cette propriété (n" 107, théorème V). Nous en verrons encore une autre plus loin (n" 169).
En particulier, on a
(cos:r -I- i sin.r)"' = (e''^)'" = e'"^-^ — coirnx -i- / i\nnix. On retrouve \a formule de Moivre [n.° 3o).
11. cos;; et sin:;. — Par définition, on a, pour :; complexe,
l COSS = 1 — ^^ — t- ^ — . . ., 2 4 !
Ces deux fonctions sont définies dans tout le |)lan. Lorsque ; est réel, elles coïncident avec les fonctions circidaires ordinaires.
Avec cette définition, la formule d'Iùder et, par suite, les formules (34) sont valables quand l)ien même x serait imaginaire. Ceci donne un moyen commode pour étendre au cas d'un arc complexe toutes les formules de la Trigonométrie, telles (jue cos-^H-sin-.r= i , cos(a H- ^) = cosa cos6 — sinasin^, etc. Nous laissons au lecteur le soin de faire toutes ces vérifications, qui ne nécessitent que des calculs très élémentaires. Il pourra aussi, à titre d'exercice, en faire
(') Dans celte expression, a, Jb, . . . , a sont des entiers positifs.
SÉRIES ENTIÈRES. I Bg
quelques-unes direclemenl en s'appuyant uniquement sur les développements (35) et sur la règle de multipHcalion des séries. En s'appiijant sur la formule (33). on vérifiera que
(cos^)'=: — sin;;.^' et ( sin :;)' = cos^.^'.
Quant aux fonctions lange et col^, elles sont égales res|)ectivement et par définition à et —. — - • Les formules qui les concernent Quand
^ COS5 Slll^ ' '■
z est réel sont encore vraies quand ; est imaginaire.
III. Fonctions hyperboliques. — On appelle cosinus et sinus hyperboliques de la variable complexe e les fonctions
(o6) ch^ = -, sli-:; = ,
ou encore
