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définies dans tout le plan. Elles offrent, grâce aux formules (33), la plus grande analogie avec les fonctions circulaires. Au reste, elles s'y ramènent très aisément. On a, en effet,
= i = i sh^.
Ceci montre que les fonctions hyperboliques n'ont aucun intérêt propre quand on admet des variables complexes, puisqu'au fond elles ne diffèrent pas des fonctions circulaires. Elles n'ont une raison d'être que pour les valeurs réelles de z. Dans ce cas, elles sont elles-mêmes réelles et constituent des fonctions de x dont l'allure diffère entièrement de celle des fonctions cos.r et sina:. En particulier, elles ne sont plus périodiques (').
Elles sont évidemment, comme la fonction exponentielle, définies
(') Au point de vue des variables complexes, elles admettent, comme c-, la période imaginaire 2- i.
l4o CHAPITRE VII.
el continues quel que soit x. Leurs dérivées se déduisent des formules (3G) :
l (cli^) = = slir,
ng)
(shr )' =
La fonction cli^r est une fonction paire et toujouis positive. La fonction sh.r est impaire et possède le signe de x. Pour x = o, elles sont respectivement égales à i et à o. Pour j:* = + tc, elles deviennent
infinies comme l'exponenlielle — ? car e^^ tend vers zéro. Les variations des deux fonctions sont dès lors évidentes et sont représentées par les deux courbes ci-contre (//i?. 21).
Fie. 2t.
Les fonctions hyperbolJc/ues donnent lieu à des formules analogues à celles qui existent pour les fonctions circulaires. On peut d'ailleurs les en déduire très rapidement par lemploi des formules (38). Par exemjile, la relation
co?,' X -)- sin-a? = 1
devient, en v remplaçant x par ix,
ch-a" -+- {i ^\\x )- = I .
OU
clr-a- — sli^a; = i (' ).
De même, les formules cpii donnent cos^a -\- b) et ?,'\n{a-\-h)
(') C'est à celle relation (juc les fondions liypciholiqiies doivent leur nom. telles pcrmellent en elTet, d'exprimer les coordonnées d'un point quelconque ISI de l'Iiyperbole équilatère x' — j'^ =1 ( l. II) par les formules x — cli 9, y = sli 9, tout à fait analogues aux formules a; = ces 'f, t' = sin 9, qui expriinent les coordonnées d'un
SKHIES ENTIERES.
(le\ leniienl
ch( a -^ ù) ^= ch a c\\ 0 — i sha.ish b = cha c\\b -h ?li a sli 6,
i sh( a — b ) = isha chb -h i sli b cha,
sh( rt -r- i ) =r sh a cil b -{- shb ch c/.
Le lecteur découvriia sans [)eine, de cette nianirre, toutes les formules de la Trigononiélrie hyperbolique. Mais, il convient d observer que le procédé que nous venons d'indiquer ne peut être considéré comme une démonstration que si Ton a, au préalable, étendu aux arcs imaginaires les formules établies pour de.-i arcs réels. Comme celte extension s Opère au moven des formules (33), on voit que la véritable démonstration des identités de la Trigonométrie hyperbolique consiste simplement à les vérifier en partant des formules de la définition (36). Néanmoins, le procédé indiqué ci-dessus est un moyen mnémonique commode [)our retrouver les formules quand on les a oubliées i M, ou pour les découvrir quand on les ignore.
Signalons enfin les tangente et cotangente hyperboliques,^ définies par
coth j" =
et dont nous laisserons au lecteur le soin d'étudier les propriétés.
point quelconque du cercle Irigonoméliique. La variable s peut d'ailleurs s'inter-
prêter, dans les deux cas, d'une nianicre identique ; c'est le double de l'airedu secteur OAM {ftg. 22).
(') Nous conseillons même au lecteur de n'essayer de retenir (|ue les formules ( 4")' ( 4' ). ( '(2 ) et aussi les dérivées ( 3r) ).
