DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

HO. Développements d'ordre n. — Dans le Chapitre précédent, nous avons vu que certaines fonctions peuvent être développées en série entière, tant que x reste compris dans un intervalle de la (orme ( — K, H-R). Mais cela n'est pas toujours possible. D'autres fois, il est impraticable d'arriver à l'expression du terme général de la série. Or, le cas est très fréquent où il n'est pas utile d'avoir le développement tout entier, mais seulement ses premiers termes.

D'une façon précise, nous appellerons développement d^ordre n de la fonction y =y(^), au voisinage c/e :r = o, toute expression de la forme

(i) y = Gq-^ ciix -^ a^x"^-^. . .-\- a^x" ^ }.t"+'^,

égale à y pour toutes les valeurs de x d'un certain intervalle ( — /', H- /•) comprenant zéro, et où les a/ désignent des constantes dont certaines peuvent être nulles et \ une fonction de x dont on ne connaît pas la valeur explicite, mais dont on sait seulement quelle reste finie lorsque x tend vers zéro (n" 38). Le terme )wr"+' sera appelé le reste. Il tend vers zéro avec x (n" 68, note de la page 82).

L'utilité de semblables développements apparaîtra à plusieurs reprises dans le cours de èel Ouvrage. Nous ferons seulement observer ici que, si l'on considère :r comme un infiniment petit principal ou du premier ordre (n° 120), le développement {\) pern^et de remplacer y par un polynôme de degré x, avec une erreur hx'^"^^ d'ordre infinitésimal au moins égal à /t-j-i, comme il résulte de ce que A reste fini pour :r = o.

Si un développement d'ordre n existe pour une fonction donnée et une valeur donnée de n, il est unique. En eU'et, imaginons un

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS. l43

deuxième développement

y = o'q -1- a', .r -+- . . . -f- a'„ x" -+- X'a?"-*-'. On aurait identiquement, dans l'intervalle ( — /■, + /"),

(2) «9 -i- a'j ar -(-... -f- a"i x" -f- )/'.r"+i => o,

en posant d[ = a\ — «,-,

Faisons a; = o ; comme à" reste fini, tous les termes s'annulent, saut le premier; donc, il faut déjà quca^ soit nul. Soit alors a le premier coefficient non nul. On a

Or, si X est très voisin de zéro, la parenthèse est très voisine de a ; car c'est la somme d'un nombre fini de termes qui, sauf le premier, tendent vers zéi'o avec x (n° 07). On peut donc trouver un intervalle ( — p, + p), intérieur à ( — /•, + /'), pour lequel elle est comprise entre a — z et a" -h s, z étant choisi plus petit que \ci„\- Dans ces conditions, elle ne peut s'annuler et, par suite, si l'on excepte la valeur .2; ^o, l'égalité (3) ne peut avoir lieu, ce qui est contraire à l'hjpothèse. Donc, a',= o, et par conséquent,

L'égalité (2) se réduit alors à )/'=: o. Finalement, on voit que «i = «u, «', = ai, ..., a'n^an\ X'=X (»).

111. On peut aussi considérer des développements au voisinage dhine valeur quelconque x^^ de la variable. On pose x — Xo = h et Ton aj)pelle encore développement d ordre n une expression de la forme

(4) /(-ro-^- h) = bo^bi/i -h ô-./i^-t-. . .-h b„/i"-+- a/;''-^',

(') Le lecteur comparera cette démonstration avec une démonstration analogue donnée au n° 101.

l44 CHAPITRE Vlll.

OÙ les bi sont des conslanles et u une fonction de li qui teste finie quand Ji lend vers zéro.

Eullii, on peut considérer des dcveloppenienfs au voisinage

de X = X. On pose - = h et l'on appelle développement d^ ordre n

une expression de la forme (4), ou

X X''- Xn X"--

V restant fini pour x infini.

Chacun de ces développements permet de représenter y (j:) par un

polynôme en x I ou en — I > avec une erreur dorure au moins égal

à /? H- I , si X — Xo (ou — ) est pris pour infînimenl petit principal (n- 120).

ll^. Les développements précédents ne sont pas toujours possibles. Ils exigent, en particulier, que la fonction soit finie pour .r = o, x^ ou oc, sui\ant qu'on a affaire aux développements (i), (4) ou (5). C'est pourquoi il est utile d'envisager Vextension suivante :

Imaginons cpi'il existe un nombre a, fractionnaire ou irrationnel s'il est ])Ositif, quelconque s'il est négatif, lel que le produit yx~'^ admeile le dévelojipement (i) au voisinage de .r = o. Nous pourrons alors écrire

(G) j = «oar^-f- ('7i,r*-+-' + . ..+ a„a7='+«-+-X:r*+"+'.

Ce développement difTèie de (i) en ce cpf/V renferme des exposants soit fi actionnaires.! soit négatifs. Il ne permet plus de représenter approximativement y par un |)olynome, mais par le produit d'un polynôme par j"*. L'erreur Â.r^+""'"' n est infiniment petite que si 'j.-\-n-\-\ est >■ o.

Dans le cas particulier où a est entier négatif, le développement

comprend (abstraction faite du reste) un polviioine en - et, si n est assez grand, un polvnome en x.

Pour une fonclioii (loiuK'e et iint; valeur donnée de //, le développement est unique. \i.u effet, d'abord le nombre a est caiactérisé par la pro|)riété que le produit yx '^ tende vers une limite finie et non

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS. l45

nulle pour ^ = o (' L En second lieu, nous savons que yx^^ ne peut être développé (jue d'une seule manière (n° 110).

On peut envisager la même extension au voisinage de Xq ou de l'infini. Dans ce dernier cas, on a un développement, de la forme

(7) j^ = «o^r^-f- ai j-î^-i-f-. . .-I- a,ix'^-" -^ Xx'^-"-^,

ordonné suivant les puissances décroissantes de x, le nombre a pouvant être soit positif, soit fractionnaire.

Quelle que soit la forme de développement qu'on ait à calculer, on peut toujours, d'après ce qui précède, se ramener à un développement de la (orme (i). Nous allons donc voir comment on calcule ceux-ci.

113. Méthodes directes. — 11 s'agit de résoudre le problème suivant :

Etant donnés une fonction de x, finie et continue pour ^ = o, et un nombre naturel /?, calculer le développement cV ordre n de cette fonction. C'est-à-dire (pie nous voulons calculer les coefficients rto> <^)î •••■! ^11 ^t nous assurer que A reste fini quand x tend "vers zéro.

La marche à suivre diffère suivant la fonction à laquelle on a aflalre. \Jn premier cas, très simple, est celui où Von connaît le développement de la fonction en série entière., soit

(8) y = «0-!- oix '^. . .-h a„x"-i- r/„+, 37"+' -f-

On peut alors écrire

y = ao-+- aix -h. . .-\- a„x"-\- x"-^U rt/i+i -+- a„+2^ -+-...).

La parenthèse A est une série entière de même intervalle de convergence que la série (8). Elle est donc continue pour x = o (n° 101) ; elle tend vers «„,., lorsque x teud vers zéro et, par conséquent, reste finie. Donc, pou/- avoir le développement d'ordre n de r, il sufiit de prendre les premiers termes de la série entière, jusqu au terme en x" inclusivement.

(') Cela le détermine coiiiplelemeiil, cai- si deux nombres a cl a' jouissaient de celle propriété, le quolient — : = x^'-^ devrait tendre vers une limite finie et non

yj-'"-

nulle, ce qui n'est pas j)cissiljle pour a' /; 2.

Haag. — Cours, I. 10

1 46 CIIAI'ITUK Mil.

lli. En verlu de la foi'iiiiile (114) du (ùliapilrc ^ 11, on peul écrire, SI 1 on \eut,

(9) .A.r)=/(o) + r/'(o) + ^/"(o)-4-...^^/^«)(o)-HÀ:r«-^i.

Nous sommes condiiils à nous demander si ce dévelopj)ement n'esl pas valable, quand bien même on ne sérail pas assuré de la convergence de la série de Mac-Laurin.

Jl esl clair que, quel que soit x eL pourvu que les déi'ivées /"'(o), ..., /'■"'(o) existent, on a toujours Je droit d'écrire la formule (9). quitte à déterminer A par cette équation même. Mais, on ne sait pas si A restera fini lorsque j: tendra vers zéro. Nous allons montrer qu'il en est certainement ainsi si, au voisinage de zéro, la J onction admet des dérivées finies j usqu à V ordre n + 1 inclusivement.

D une façon précise, adinetlons l'existence de ces dérivées finies dans l'intervalle (o, x). Je dis qu'on a

6 étant un certain nombre compris entre o et 1.

Pour le prouver, nous emploierons l'artifice suivant ('). Considérons la fonction

(II) Y(z) = f{z) + ix-z)f\z)^^''^^^ f"{z)^...

+ , fi'\z)^...^ — -j f^'Hz) + {x-z)"^^\.

On a identiquement et, en vertu de ( <)),

D'autre part, la fonction F(:;) est finie et continue dans l'intervalle (o, x) et y admet constamment une dérivée finie; cela résulte en effet de l'existence, dans cet intervalle, des dérivées de/(:;) jus- (ju'à Tordre n -\- 1 . On peut donc lui jipplitpicr le théorème de liolle (n" 61) et écrire <pie F'(:;) s'annule pour une valeur comprise

(') f^oir une déinonslriilion un peu ilidcrcnlc dans Leçons (n"î?32). Comparer aussi avec la démonslralion du n" 150.