DEVELOPPEMENTS LIMITES. I

entre o et x, cest-à-dire de la forme hx. Or F'(:;) se calcule aisément

Y\z) = {T-zr

Ail -^ l 1

En faisant z =hx, et remarquant que (x — z)" ne peut s'annuler, on a la formide (i o).

Finalement, si. entre o et x, la fonction fi x) admet des dérivées finies jusqu'à l'ordre n ^- \ inclusivement, on a la formule

Cette formule s appelle /o/7?îw/ê de Mac-Laurin.

Si les n -t- I premières dérivées existent et sont finies clans l'inlervcdle { — /■, -h /■), elles constituent, pour cet intervalle, le développement cV ordre n de la fonction^ car lorsque x tend vers zéro, /'f"+'^('îlx) reste fini.

i lo. Si nous supposons maintenant l' existence des ( /? -|- i ) premières dérivées dans V intervalle {x^-^. Xa-{- A), nous pouvons appliquer la formule de Mac-Laurin à la fonction C5( ; i = / ( .To ^ - ) et [)Our l'intervalle (o. h), car les dérivées de 'H z) sont évidemment /'(Xq-t- •3), f"\ Xn-r- z) Nous obtenons alors la formule de Taylor

l f(^o^ h) =/(-2"u I ^ hfix^,)— ^f"ix^)-^.. .

Elle donne un développement d ordre n au voisinage de x^^.

liemaïques. — I. Dans le cas où la fonctlony(>r) est un j)olvnome de degré n, la formule de Tavlor est évidemment applicable. Seulement le reste est nul, puisque la dérivée /*'"''■' (j;) est identiquement nulle. La vérification directe n'offre d'ailleurs aucune difficulté et

l48 CHAPITRE VIII.

oonslilue une application très simple de la formule du binôme (n" 2o). Nous laisserons au lecteur le soin de la faire.

II. Pour /? == o, on retrouve la formule des accroissements finis

IIG. Méthodes indirectes. — Nous venons d'indi([uer deux procédés directs pour calculer les développements limités. Nous allons montrer maintenant comment on peut en déduire d'autres méthodes, rpie nous qualifierons de /??e^/iOf/e5 indirectes. Elles consistent toutes à regarder la fonction y(,r) comme provenant de fonctions, dont les développements sont connus, par la combinaison des opérations suivantes :

Addition. — Pour avoir le développement d'ordre n de la somme de plusieurs fonctions., il suffit d ajouter terme à terme les développements d'ordre n de ces fonctions. Cette règle est évidente.

Multiplication. — Soit à multiplier les deux fonctions

I y = ao -+- ai :r -t- . . . H- rt,2 a?" -t- X x"+ ' , I - — ^0-4- 6,a7H-. . .-H 6,4 3"' + [JLX"+'.

Considérons ces deux développements comme des polynômes et formons leur produit, en l'ordonnant suivant les puissances croissantes rie ,r. Il est évident ({ue, jusqu'au terme en x" inclusivement,

les coefficients de ce produit ne dépendent que de a^, a , f//,,

^0, •••, f^n'i ce sont des constantes parfaitement connues. Quant aux termes suivants, nous les réunissons pour y mettre x"+' en facteur. Nous obtenons ainsi

yZ = Co+ Ci^" -1-, , .4- c„a7"-i- pa7" + '.

Le coefficient p se présente sous la forme d'un poljnome en .r, A, [o.; donc. lors(|U(^ .x tend vers z«'ro, il reste fini, puisqu'il en est ainsi de A et <).. l' inalement, nous avons la règle suivante : Pour avoir le développement d'ordre n du produit de deux fonctions, on multiplie les développements d'ordre n de ces deux fonctions et Von fait rentre/' dans le reste tous les termes de degré supérieur à n.

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS. j49

117. Division. — Soit maintenant à diviser^ par 5, en supposant ba^O' Considérant toujours les développements comme des polynômes, divisons le premier par le second, suivant les puissances croissantes de x (n'^ 202). Il est manifeste (|ue les coefficients A et tj. ne pourront s'introduire au cpiotient qu'à partir du terme en .r"+'. Dès lors, arrêtons notre division au terme en x" , et écrivons l'identité de la division. En appelant Q le quotient, on a (n" 202),

^ = Q 4- ar"+i - , z z

R désignant un polynôme en x^ A, a, qui reste fini pour x = o^ puisqu'il en est ainsi de A, [j.. Celte identité est de la forme

le coefficient p = — ■ reste fini pour a? =: o, puisqu'il en est ainsi de R

et que z tend vers bo^ o. D'où la règle suivante : Pour avoir le développement d'ordre n d'une fraction dont le dénominateur ne s'annule pas pour x^o, on divise le développement d'ordre n du numérateur par le développement d'ordre n du dénominateur^ suivant les puissances croissantes de x et en s' arrêtant au terme en x" .

118. Fonction de fonction. — Soit enfin j =/(-). ^ étant une fonction de x, nulle pour ,r = o. Supposons qu'on ait les développements

(i6) Z = l)\X ^ b-2X'^-\- . . .-f- b,iX"-T- iix"-^K

Nous voulons le développement d'ordre n de y par rapport à x. Portons (i6) dans (i5), développons les puissances de :; et ordonnons suivant les puissances croissantes de x. Les coefficients X, u. ne peuvent évidemment s'introduire qu'à partir du terme en x"'^* . Nous aurons donc, en groupant tous les termes qui renferment x"'^' en facteur,

y = Co-i- Cix -\- CiX--i- . . .^c„x" -h çi x"-^^,

pétant un polynôme en x. A, u, donc fini pour x = o. D'où la règle :