INFINIMENT PETITS. — FORMES INDÉTERMINÉES

119. Infiniment petits. — On appelle infiniment petit, une quantité variable qui tend vers zéro.

Cette quantité variable peut être considérée comme une variable indépendante et, dans ce cas, on entend simplement par ce qui précède que, parmi les valeurs numériques atlribualiles à ,/•, on ne s'occupe que de celles qui sont voisines de zéro, ou, d'une façon plus précise, intérieures en valeur absolue à tel nombre positif t qu'on veut bien choisira 1 avance. Mais, la plupart du temps, Tinfiniment petit est une fonction d'une variable indépendaute, qui a pour limite zéro dans certaines conditions, qui sont généralement que la variable indépendante tende vers une valeur déterminée, finie ou infinie. Ce qu'il faut entendre par là a été expliqué d'une manière précise à propos de la continuité des fonctions (n° 38).

Par exemjile. sin x est un inliniment petit quand x tend vers zéro,

ou, comme on dit encore, en même temps que x. De même -,

' ' Il log(i — a")

est un infiniment petit qu^md x tend vers — i par valeurs supérieures; e" est un infiniment petit quand x tend vers — ^ ! — est un infiniment petit (juand x tend vers rtzco.

l!20. Comparaison des infiniment petits. — La fonction y est dite

infiniment petite par rapport à la (onction r, si le rapj)ort — fend

vers zéro. La fonction z est alors infiniment grande par rapport

ix y et le rap{)ort - tend vers finfini. Si l'on suppose en outre cpie y

et :; soient deux infiniment petits, on dit aussi (jue y est d' ordre supérieur ii z aX z d'ordre inférieur à y. Deux infiniment petits sont

dils de même ordre quand leur rapport lend vers une liinile finie et non nulle, ou. plus généralemenl, (inil par rester compris, en valeur absolue, entre deux nombres fixes et j)ositirs.

Deux fonctions sont dites équivalentes si leur rapport tend vers i.

THÉORf:AiF.. — Pour que deux fonctions soient équivalentes, il faut et suffit que leur différence soit infiniment petite par rapport à chacune d'elles.

En efTet, le rapport — ^, |)ar exemple, est égal à tt — i. H tend

vers zéro si - tend vers i et réciproquement.

Lorsqu'on a à étudier plusieurs infiniment petits dépendant d'une même variable indépendante, il est avantageux d'introduire ce qu'on appelle un infiniment petit principal., auquel on comparera tous les autres. Cet infiniment petit principal, que nous désignons par la lettre x, peut être choisi à volonté. On peut prendre indifleremment l'un des infiniment petits proposés ou bien un infiniment petit nouveau quelconque. Mais, bien entendu, on doit toujours, autant que possible, faire son choix de manière à obtenir les calculs les plus simples.

L infiniment petit principal x étant choisi, on peut le prendre comme nouvelle variable indépendante et calcider tous les autres en fonction de x. Un infiniment petit y est dit infiniment petit

d' ordre p si le rapport —^ tend veis une limite A finie et non nulle ( ').

Le nombre /?, qui est dit V ordre infinitésimalAey, doit être évidemment positif; mais il peut être entier, fractionnaire ou incom-

mensurable. Il n'existe d'ailleurs pas toujours. Par exemple, <> *'

est d'ordre infinitésimal infini, en ce sens que, si grand que soit/*,

le rapport — — tend vers zéro en même lenq)s (jue x., comme on le

voit en posant -- = ^, et se reportant au n" 1)6. JJe même, y = ■;

est, pour X infiniment petit j)0sitif, d'un ordre infinitésimal infiniment petit, en ce sens que, si petit tpie soit le nombre positif />, le

(') Ou, plus généralement, a une valeur aljsolue (jui reste comprise entre deu; nombres fixes et positifs.

IMIM.MKNT PETITS. FORMES INUÉTKKMINÉIÎS. I53

rappori ^ lend vers — oc pour .r = H- o (n" 96). Par contre, siii^, par exemple, est du premier ordre; ^ i — cosj? est de Tordre -> • • • •

121. Partie principale. — Revenons au cas où y est d'un ordre déterminé p, le rapport '— ayant pour limite A. On appelle partie principale de y la quantité AxP. C'est un infiniment petit équivalent^ de la forme S.xP, A.et p désignant des constantes convenables.

Il est utile d'admettre l'extension suivante. Imaginons une fonction y dont on ne connaisse pas, a priori, la limite pour j7 = o, cette limite pouvant être nulle, finie ou infinie. Nous conviendrons encore d'appeler partie principale de y toute expression de la forme A.xP telle que -^ — ^ tende vers \ pour x^ o. Mais, cette fois, V exposant p ne sera pas nécessairement positif. Il pourra être nul, auquel cas y aura pour limite A ; ou négatif, auquel cas y deviendra infini pour X ^ o et sera dit un infiniment grand. Dans tous les cas, p sera encore appelé Cordre infinitésimal de y, cet ordre pouvant donc être positif, négatif ou nul.

Au lieu de prendre comme variable de comparaison un infiniment petit, on peut aussi prendre un infiniment grand, qu'on appelle infniment grand principal. La partie principale dune fonction y se définit toujours comme étant une expression de la forme Axp telle que -tt; tende vers i pour jc^x. L'exposant p est encore dit Vordre infinitésimal de y. Mais, cette fois, suivant qu'il est >■ o ou «< o, }' est infiniment grand ou iniiniment petit.

122. Calcul des parties principales. — Nous nous bornerons au cas où la variable principale x est infiniment petite, le cas où elle est infiniment grande se ramenant à celui-là par le changement de .r en — •

Pour calculer la partie principale de la fonction jk? if- sujfit d^en chercher un développement limité, suivant l'une des méthodes exposées au Chapitre précédent, et de prendre le premier terme non nul de ce développement.

En ePTet, si \.xP désigne ce premier terme, on a

y = A^/'-i- X ar/'+i = S.xi> ( i -f- -r ^]

l54 . CHAPITRE IX.

Comme \ et. par suite, -^ restent finis (lunnd .r tend vers zéro,

— X est un inliniment petit et — a bien i)Oiir limite 1 unité.

A ' Ax'' ^

Si le dé\eloppement est calculé par la formule de Mac-T^aurin, on

voit (pie la partie j)rLncipale (le f(x) e5^ — j- / '/'^ (o), en supposant

que la première dérivée qui ne s'annule pas avec x est d'ordre p (').

Cette règle, très simple en ihéoiie, est, la plupart dn temps, jieu commode et souvent même impraticable. En outre, elle exige des conditions qui ne sont pas toujours remplies.

La véritable méthode pratique consiste généralement à employer les procédés développés aux n"^ 116, 117 et 118. 11 convient, à ce propos, de faire quelques observations.

Tout d'abord, la partie principale du produit ou du quotient de plusieurs fonctions est le produit ou le quotient des parties principales de ces fonctions.

Jin effet, si j', ^, //, par exem|)le, ont pour parties principales y\

z ^ u , tes raj)ports — ,? —'—,•> ont pour iimile i; donc aussi teur produits (n" 68), c'est-à-dire le rap|)oit — ^f — :■ En outre, y' z' u' est bien

de la forme Xxf, s'il en est ainsi de t', ;', //.

Pour une soninie^ les choses se passent d^ une façon moins simple. Soit encore, pour fixer les idées, les Irois fonctions r, :■■, m, de somme S. S'il v en a une tlont l'ordre est plus petit (jue celui des autres, soit par exemple )', la partie [)rincipale S' de S est manifestement >''. Si les trois fonctions ont mènie ordre. S' est égale à y' -\- z' -\- u\ à moins que cette somme ne soit identiquement nulle. Dans ce cas, l'ordre de S dépasse l'ordre commun à r, :?, u, et, pour avoir S', il faut pousser les di'-veloppements de r, ;, // au delà du premier terme non nul. ()n ne sait d'ailleurs pas a /j/Zo/f combien il faudra calculer de termes, car il peut arriver (jiie ceux-ci se détruisent successivement dans S, jusrpi'à un rang assez éloigné.

(') Ceci cxise. bien enlendii, les conditions relatives à la forimilc de Mac-Laurin, c'esl-à-dire que les p-hi premières dérivées existent cl soient linics au voisinage de a; = o. Toutefois, on peut ne rien supposer sur la dcri^(■c (p -t-i)''"", quand on sait que la dérivée p'''"^^- est (inic et continue. On n, en cfTct, dans cette livpolliése,

INFINIMENT PETITS. FORMES INDETERMINEES. lOO

Pour être sûr de ne pas faire de calculs inudlcs, voici comment il. confient de procéder.

On met en train tous les calculs auxiliaires^ en prenant un seul (ctme dans cli;ujuc développement. Si le résultat n'est pas nul, on a la partie principale cherchée. Sinon, on poursuit tous les calculs, en prenant un terme de plus. Si le résultat n'est pas nul, on a la partie principale cherchée. Sinon, on poursuit tous les calculs, en prenant un terme de plus. Et ainsi de suite, jusqu'à ce cpion arrive à un résultat non identiquement nul.

Il est à remarquer que tout ceci s applique à des fonctions d ordre quelconque^ positif ou négatif, entier, fractionnaire ou incommensurahle.

Si nous avons tant insisté sur le calcul des parties principales, c'est que les applications en sont très nomhreuses. Nous en avons déjà rencontré une dans l'étude des séries ( n" 55). Nous en verrons d'autres dans la suite de cet Ouvrage, particulièrement en Géométrie.

Pour l'instant, nous signalerons seulement les suivantes.

l'23. Étude d'une fonction au voisinage d'une valeur déterminée de la variable. — I^orsqu'on veut étudier une fonction au voisinage dune valeur particulière, finie ou infinie, de la variable, la méthode générale consiste, lorsque cela est possible, à la remplacer par un développement limité (Chap. ^ III ) d'un ordre d'autant plus élevé qu'on veut une approximation plus grande. Mais, dans bien des cas, la partie principale suffit. C'est ainsi que :

Pour avoir le signe d^ une fonction au voisinage d' une valeur de .r, // suffit de prendre celui de sa partie principale.

En ellet, soit à chercher le signe de f{x)i\u. voisinage de x^i. Prenant x — Xq=^ h pour infiniment petit principal, soit \hP la partie principale dey(.Z'). On peut écrire

£ étant infiniment petit avec h. En particulier, on peut limiter // à un intervalle assez petit pour que | î | «< i ; dans ces conditions, i + £ sera >> o elf(x) aura le signe de Ahf.

Nous ferons dans la suite, particulièrement en Géométrie, un usage assez fréquent de cette proposition. Son utilité résulte de la facilité avec hupielle on aperçoit le sign*; de V/?/'. S'\ p est irrationnel

l56 CHAPITRE IX.

OU do la fm-ine — ^> h doit être positif; A/«/' à le siiine de \. Si p est

de la forme — - — ' h peut être ])ositif <iu n»'*i2alif. Si a est pair, im ^ i ^ ' ^ ^ '

KIiP a toujours le signe de A ; si ^ est impair, VA/' a le signe de h on

le signe opposé, suivant que A est >> o ou << o.

Ajoutons que /"(.î ) tend vers zéro, rinlini ou une valeur tinie non

nulle, suivant que jt est >> o, << o ou = o.

1^4. On peut appliquer ceci à V élude de la variation de f{x) pour X =Xq. Si l'on suppose la fonction continue, ^/(a?) — /(^o) ^st un inHuiment petit en même temps que h. Soit A A/' sa partie principale ( /-> > o). Si Ton se trouve dans un des cas où \/if' a nécessairement le signe de A, la fonction est maximum ou minimum suivant

que A est << o ou > o (n'^ 63). Dans les autres cas, c'est '— — et par suite' — r^ qui a Je siiine de A; donc, la lonction est crois-

santé ou décroissante suivant que A est >- o ou << o (n° G3).

En particulier, si A A'' a été donné par la formule de Tajlor, p est entier et égal à Tordre de la première dérivée qui ne s'annule pas pour X =Xq (n° l!22). On peut alors énoncer la proposition suivante :

Théouèmk. — Etant donnée une fonction gui admet des dérivés successives finies et continues an voisinage de x^ Jusqu'à un certain ordre, si la première de ces dérivées qui ne s annule pas pour j; = ^r,, est d ordre impair, la fonction est croissante ou décroissante suivant que cette dérivée est positive ou négative: si elle est cVordre pair, il y' a maximum ou minimum suivant quelle est négative ou pwsitive.

En particulier, on retrouve ici les théorèmes du n" 65.

125. Formes indéterminées. — Foutes les fois (pTune fonction y" (.r) est définie dans un certain intervalle (<7, 6), sauf pour une valeur particulière jCq de cet intervalle, on dit qu'e/Ze se présente, pour cette valeur, sous une forme indéterminée ou illusoire. Lever V indétermination, ou chercher la vraie valeur de la fonction, c'est calculer la limite vers lacpielle tend y (.r) quand x tend vers x^^.

INFINIMENT PETITS. FOUMES INDÉTERMINÉES. \ Hy

Il peut d'ailleurs arriver (jue celle limite nexisle pas, ou bien diffère suivant que x tend vers Xq par valeurs supérieures ou inférieures (cf. n° 08).

L'indétermination peut aussi se présenter pourjc infiui. Ou ramène

ce cas au précédent en posant j; = - •

Règle générale. — l-'ouf trouver la vraie valeur cV une fonction pour x=^Xa, on choisit un infiniment petit principal nul en même

temps que x — Xç^iou-, si ^0=^) (')• Puis on cherche la