partie principale de la fonction
Si. en effet, \hP désiyue cette jiartie principale, la limite de la fonction, quand x tend vers Xq el, par suite, h vers zéro, est o, oc ou A, suivant que p est >- o, -< o ou = o.
Remarques. — J. Le choix de Vinjiniment petit principal e^l seulement subordonné à la condition qu il s annule pour x = ^g
(ou x^^cc). Ou le prend généralement égal à x — Xq (ou -|;
mais, quelquefois, il vaut mieux le choisir autrement pour avoir des calculs plus simples.
II. Dans certains cas, // suffit d'aK'oir f ordre infinitésimal de f{x), ou même seulement le signe de cet ordre. Si Ion reconnaît en effet que p est ^ o ou <^ o, on saura que la vraie valeur cherchée est o ou ce.
III. Il arrive qu'on ne peut pas choisir h de manière à obtenir pour f {x ) un ordre infinitésimal déterminé. Ceci provient presque toujours de la présence de fonctions exponentielles ou logarithmiques, auquel cas il suffit d'appliquer les principes du n" 90.
IV. Il est assez fréquent que f{x) se trow^e compliqué de facteurs ne donnant lieu à aucune indétermination . Il faut alors les mettre de coté, en les remplaçant immédiatement par leurs limites.
(') Quand x^ est iiilini, ou peut aussi, si l'on veut, ciioisir un infiniment grand principal; mais c'est généralement moins commode.
l58 CHAPITRE IX.
126. Les indicalions qui précèdent sont suffisantes, croyons-nous, pour permettre au lecteur de lever les indéterminations courantes. Toutefois, il est utile de lui signaler les cliff éventes formes indéterminées qu il pourra rencontrer.
1. Forme - (' ). — C'est le quotient de deux infiniment petits. La
vraie valeur est obtenue en les remplaçant par leurs parties principales ( n" 12Î2). Observons à ce propos qu'il convient, si l'on veut éviter des calculs pouvant être inutiles, de mener de front la recberclie de ces deux parties principales, comme il a été expliqué au n° 122 au sujet de l'addition des infiniment petits. Dès qu'on obtient un résultat non nul à l'un des termes de la fraction, la question est visiblement résolue; car si, à l'autre terme, on a encore un résultat non nul, cela prouve qu'il est d'un ordre infinitésimal supérieur au premier, et l'on est ramené à la Remarque II du numéro précédent.
Citons encore une règle classique, connue sous le nom de règle de l'/Iospital. qui est quelquefois commode :
La limite d un rapport "■ qui se présente sous la forme -
' ' g yx) ^ ' •' o
est es aie à la limite du rai) port • , , des dérivées de ses
fermes.
On peut donner de cette proposition une démonstration directe basée sur l'exercice proposé n" 3 relatif au Chapitre \ . Nous nous contenterons de faire observer qu'elle n'est efficace que si l'une au moins des dérivées, y (^) par exem|tle, ne s'annule pas à la limite, auquel cas elle résulte de ce qui précède, car la paitie principale de f{x) est hf (Xq) (2).
IL Forme -■ — C'est le quotient de deux infiniment grands, que
( ' ) Ce synibolf n'a aucune signification par lui-mùme, puisque n'importe quel nombre multiplié par zéro donne zéro et peut cIodc être considéré comme étant égal au quotient -• On peut faire des remarques analogues pour les symboles suivants.
(') Quand les deux dérivées s'annulent, on prend le rapport des dérivées secondes, et ainsi de suite. Mais, cela revient manifestement à chercher les parties principales [lar la formule de Taylor, ce qui est loin d'être toujours le moyen le plus simple. Il ne faut donc pas, nous sembic-t-il, attacher une importance exagérée à la règle de rHospital; d'autant plus que chaque fois qu'elle est d'une application aisée, les autres méthodes sont presque toujours au moins aussi simples.
INFIMMENT PETITS. FOIOIES IXDÉTEHMIMiES. I Sq
l'on remplace, comme précédemment, par leurs parties principales. On démontre que, sous certaines conditions, Ja règle de 1 Hospital est encore valabh'.
Cette forme se ramène, si l'on veut, à la précédente, en vertu de
l'identité —
111. For/ne o X X. — C'est le produit d'un infiniment petit par un infiniment grand, qu'on remplace toujours par leurs parties principales. On peut aussi se ramener à - ou —, en vertu des identités
IV. Forme X) — x. — C'est la difltnence de deux infiniment grands. On en cherche la partie principale comme il a été expliqué au n" i!2;2. à propos de l'addition de plusieurs fonctions. On peut aussi écrire y — :; =J'{ ' — ~ ) ^^ -• {~ — ■ ' ) ! puis chercher la limite
de "^j qui est de la forme — • Si cette limite n'est pas égale à i, la limite dey — • z est infinie. Sinon, elle se présente sous la forme oo x o, étudiée précédemment.
A . Formes déduites de a''. — On les reconnaît par leur logarithme p'IogM (n° 8o), qui doit se pu-ésenter sous la forme o x oo. D'où les trois cas suivants :
i" r = o, f/ = -I- -jz, forme yz'> ;
2° f = o, ;/ = — o, forme o" ;
3° f = a;, // = I : forme i^^.
Pour le\er l'indétermination, on cherche la limite ), de logj^ (^H)» la limite demandée est alors e'-, d'après la continuité de la fonction exponentielle.
A propos de la forme i*", rappelons qu'on peut aussi mettre j' sous la foriue ( i -i- a)? et chercher la limite de ajii (n" 92). Celte règle 9e ramène immédiatement à la précédente, car logy = [B log(i -f- a) a même limite que [iia, puisque a et log(i + a) sont deux infiniment petits é(|ui va lents ( n" 107, II).
