FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

J27. Généralités. — Soient deux variables indépcndatites x etj', c'est-à-dire qui peuvent prendre, indépendamment l'une de l'autre, des valeurs numériques arbitraires. On dit que c est une fonction de ces deux variables si à tout couple de valeurs numéritjues attribuées à 37 et à y correspond une valeur numérique déterminée de :;.

Ceci peut d'ailleurs navoir lieu que pour les couples qui satisfont à certaines conditions, se traduisant par des inégalités relatives à x et y. Pour plus de clarté, imaginons qu'à chaque couple on fasse correspondre le point M du plan xOy qui a pour coordonnées x el y. Aux couples ci-dessus correspondent alors les points d'une certaine région (R) du plan, de forme et de définition plus ou moins compliquées. Par exemple, celte région pourra être un cercle et sa circonférence, ce (pii se traduira par une inégalité de la fui'me

(.r — ,ro)^^(jK-JKo)--R-io;

ou bien un rectangle de côtés parallèles aux axes, ce qui se traduira jjar les quatie inégalités

ou bien la partie du jdan situ(''e au-dessus de Or, ce fpii se traduira pary^o. Sans insister davantage sur celte question de la forme et de la détermination de (P»), f|ui peut donner naissance à de grandes difficultés, nous dirons que la fonction z est définie dans la région (R) si elle possède une valeur nuinéri(/ue déterminée pour tout couple de valeurs de x et y auquel corresponde un point de cette région. En particulier, une fonction est déjlnie dans tout le plan si elle est définie quels que soient x et j)'.

Tout ce qui j)réc<Tl(' peut si'lcndre au cas de Irais V(f//a/des i/idé-

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. l6l

pendantes x, y, z. Mais alors la région (R) est une région de l'espace. On peut également définir des fonctions de 4i ^i ••• variables; mais la représentation géométrique n'existe plus. Il faudrait, pour cela, qu'il existât des espaces à 4? 5, ... dimensions, ce qui n'est pas ('). On est alors obligé de définir par des inégalités l'ensemble des groupes de valeurs numériques qu'on peut attribuer aux variables indépendantes.

128. Continuité. — Revenons à la fonction z de x ety, que nous désignerons par la notation f[x^y) ^énoncez :yde .r et de y]. On dit (\y\eUe est continue en un point Mo(j:'o, yo) de (R) si à tout nombre positif t on peut faire correspondre un nombre positif r^ tel que les inégalités \x — X(s\<i'i\, \y — jKo | < '^i entraînent la suivante

(0 l/(^, J')-.A^o,ro)|<£.

Il équivaut de dire qu'on doit pouvoir trouver un nombre r, tel que, si la distance MM^ est inférieure à ce nombre, les valeurs de z en M et Mo diffèrent de moins de e.

La fonction est continue dans la région (R) si elle est continue pour chacun de ses points. On définit aussi cette continuité par la condition qu'à tout nombre e on peut faiie correspondre t\ tel que les valeurs de z en M et M' diffèrent de moins de s, dès que la distance MM' est plus petite que t,, quelles que soient d'ailleurs les positions de M et M' à l'intérieur de (R). On démontre que ces deux définitions sont identiques [cf. n° 59).

Théorème I. — Si la fonction z, continue dans la région (R), prend des valeurs dijférentes z^ et Zi en deux points Mj et Mn de cette région, elle prend, en un point au moins de (R), n'importe quelle valeur comprise entre z^ et z^.

Nous admettrons ce ihéorèiiie, comme nous avons admis le théorème analogue pour les fonctions d'une variable (n° 59).

(') Les malhématiciens ont, il est vrai, inventé ces espaces, ou. comme on dit, ces hyperespaces. Mais ce sont là de pures conceptions analytiques; un point de l'espace à quatre dimensions, par exemple, n'est autre cliose, par définition, qu'un groupe de valeuis numériques attribuées aux quatre variables indépendantes x, y, z, t. Néanmoins, l'introduction de ces espaces fictifs est utile en ce sens qu'elle facilite le langage dans l'étude des fonctions de plus de trois variables et aussi pour d'autres raisons que nous ne pouvons exposer ici.

Haag. — Cours. I. II

l62 CHAPITRE X.

Théorème II. — Si la fonction z est continue dans la région (R), supposée Jinie, elle y atteint une limite supérieure M et une limite inférieure m.

Nous admettrons aussi ce théorème. La différence M — m s'appelle Voscillation de la fonction dans la région ( R).