Dérivées partielles. — Supposons la fonction z continue

en Mo. La fonction f{x, J'o), tjtii est une fonction de la seule

variable x, est évidemuient continue pour x^ Xq. Supposons qu'elle

admette une dérivée pour cette valeur. Celte dérivée sera appelée

dérivée partielle de z par rapport à x. pour le point Mq. On définit

de même la dérivée partielle |)ar rapport à j)/-, en considérant j' comme

seul variable. Si ces deux dérivées existent pour tous les points

de (R), elles constituent deux nouvelles fonctions de x et ')', définies

dans celte région et qu'on désigne respectivement par les notations

.., ,., I . df Of , . dz dz , ,

/ ^ et /^, ou bien -^ cl ^- , ou bien — et — ( ' ).

^ .v j y. da- df dx dy ' '

l^es dérivées partielles de f'^ sont désignées par fl^ et y^^., ou —^

d- f II I /•/ /•« /■'/ à- f à- f f^ j

et — :— > et celles de /„ par /^.,. et /,., ou - — v- et — -• L-e sont les

dx dy ■' ? ' ^ J-^ •' ■' ' dy dx ày''-

dérivées partielles du second ordre de ;. Elles sont, en apparence, au nombre de quatre : fl-^ifxyif'yxify"-- ^'^ réalité, il n'y en que trois distinctes, car nous allons prouver que

( ^-} J xy^^ J yxi

en admettant du moins certaines conditions de continuité. Nous emploierons, dans ce bul, rartifice suivant :

En appelant k et k deux nombres constants qu on peut supposer aussi petits qu'on le veut, considérons les deux fonctions

?(^) = /(^, JK + />■) — /(^, JK), ^{y) = f{^-^h, y) — f{x, y).

Introduisons les quantités

ô = cp ( ar -I- A ) — V "^ -'^ )

= f(x-\- h, y -^ k) — fi^ ^ II, y) — /('>; y -+- ^0 + fi^, y), = /(^ ■+- '^ y -+- k) — ./(^) y -^ /'■) — .A^' + ''> y) -^ f(^^ y >•

(') 11 faut ici employer des d ronds; c'est une convention adoptée pour éviter toute confusion entre les dérivées partielles et les dérivées totales, ou dérivées d'une fourlion d'une seule variable {cf. n° 130, II), lesquelles s'écrivent avec des d droits.

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. l63

Comme on le voit, ces deux quanlilés sont égales. Or, sous certaines conditions de continuité (n'^62), on peut appliquer à 8 la formule des accroissements finis, relativement à x^

?j = h^'{x + ^h) = h [f'A^ + OA, y ^ k) - f'^{x -4- 0A, y)].

Mais, dans le crochet, on a l'accroissement de la fonction de j)', f'j.[x-\-^h^y). On peut encore, sous certaines conditions, lui appliquer la formule des accroissements finis, ce qui donne

r, = hkf"^y{x-^-^h,y-^Wk).

On trouverait de même

o=khfyA^ + %"h,y + b"'k).

En comparant, il vient

f%,{x + 0//, y -f- eVc) = fyjx + 0"/^ y + if k).

Comme ceci a lieu si petits que soient h et A" et par suite 0/^, H' k\ 6''A, H" k, il en résulte nécessairement, si les fonctions y^' et Z'^.^. sont continues au point considéré, que l'on a

f'xyi^. y) = f'yxi^, y)- c. 0- r. n.

Comme on le voit, cette démonstration n^est valable que si Von admet l'existence et la contin uité des dérivées/' elf'^.^ au voisinage du point [x^ y).

Nous n'avons, en définitive, que trois dérivées secondes

/^', Jxy. Jy^- OU —, — -^, —,

l'ordre relatif de x el y étant indifférent pouryj.^. ou

dx ày On peut chercher maintenant les dérivées du troisième ordre.

Nous avons d'ahord — ( fU)^ ou f''L ou —^, et — ( fri), ou /'l.,

ou ——-—• Je dis maintenant que

ox- dy '

En eflet, le premier memhre est ohlenu en dérivant y'^. par rapport ày, puis par ra[)port à x; le second est obtenu en dérivant y^. par

l64 CHAPITRE \.

rapport à x^ puis par rapport à }'. Nous savons que le résultat est le même. Donc, f'j.^ ne donne qu'une nouvelle dérivée troisième, qui

est — ( f'S), ou /,"v«i ou : — -• Enfin, on verrait de même que /,', ne

donne comme nouvelle dérivée que ;t- (/>')' ou f],^ ou -—^•

On constatera de même l'existence de cinq dérivées du quatrième ordre

ôx'* dx^ ôy dx"^ ây'^ dx dy^ dy* '

de six dérivées cinquièmes, etc.

Tout ce qui précède s'étend aux fonctions d'un nombre quelconque de variables. En particulier, on peut monlrer, en s'aj^puyant toujours sur /^^■=/"^ que, quel que soit le nombre des variables, une dérà'ée paj'tielle quelconque est indépendante de l'ordre dans lequel on effectue, pour V obtenir^ les dérivations successives. C'est pourquoi

on peut désigner, par exemple, par /'"'s r,'^ ou ^ la fonction

^ » 'r I 5r J X y^^'t ()x^ôy'>dzldl^

obtenue en dérivant y(:r, j^, :;, t) a fois par rapport à x, [ii fois par rapport àj^, y fois par rapport à ;, o fois par rapport à t.

Les théorèmes relatifs à la continuité et à la dérivation d'une somme, d'un produit ou d'un quotient (n°* 07, 68, 70) s'étendent, sans difficulté, au cas où il s'agit de fonctions de plusieurs variables.

130. Fonctions composées. — Soit une fonction y=y(;/, c, (v) des trois variables indépendantes «, c, tv. Supposons qu'on v remplace //, v, (V par trois fonctions données de x\ y devient alors éj^alement une [onction de .r, qui est i\\\ç, fonction composée.

THÉ0Rr;MK I. — Si y est continue par rapport à u, v, <r et si m, i', iv sont continues par rapport à ^, y est continue par rapport à X.

En effet, à l'accroissement A:r correspondenl les accroissements A//, At-, Aw et par suite l'accroissement \y. Si Ax tend v<m-s zéro, il en est de même de A«, Ai', A(V, d'après la continuité de ?/, v', u' ; donc aussi de Ay, grâce à la continuité dey par rapport à //, r, kv.

THr<)ni;.\iE 11. — Si y admet des dérivées partielles continues par rapport à u, t', iv et si u, v, iv ont des dérivées par rapport

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. l65

à X, y admet aussi une dérivée par rapport à x, donnée par la for m u le

au ôv ôw

En effet, gardant les notations du théorème précédent, nous avons l'identité

Aj' = f( u -+- \u, ^' -+- Al', w -+- Aw) — f( u, v -H \v^ w -t- Atv )

Appliquons à chaque ligne le théorème des accroissements finis et divisons par Aa7, il vient