A ) ' A II
At' , Atv , H fviu, f -1- 6' Ar, w -I- Ùlw) h /«.(", t', M' -t- 6" Aw),
6, ô', 6" désignant trois nonibres compris entre zéro et un. Supposons
maintenant que ^x tende vers zéro, il en est de même de Aw, \.v, Atv,
f. 4 f ; 4 f f/ A Am Al' Aiv , . I f I
ilu, T Ar, T Aiv; — » i— » — tendent respectivement vers u , c , (v ; ' Aa; Aa:' A:r ^ t ■> 7
quant aux dérivées partielles, elles tendent vers /„(m, v, w),
f^{u, c', (v) etyj^,(M, p, (ï'), puisqu'on les suppose continues. Nous
avons donc bien, à la limite, la formule (4).
Remarque. — La formule (5) du n° 68 est un cas particulier de la précédente.
131. Formule des accroissements finis. — Soit à calculer l'accroissement \ =f[x -\- h, y -\- A., z -\~ l) — f(^x,y^z) qui résulte des accroissements respectifs h, A", / donnés à x^y, z. Considérons la fonction
(5) ' (:{t) = f{x -\-ht. y -^ A(, z + It),
où t est regardé comme la seule variable. Nous avons
A = cp(i)-<j>(o) = cp'(0) (n-eS).
Or, la formule (4) nous donne
(6) cp'(0 = fi/xi-r -^ ht. y -^ ht, z-^lt)^ kf'y+ If;.
l66 CHAPITRE X.
Donc
(7) f{x -r- II, y -K A-, :; + /) = f{x, y, z) -^ hf'^{x ^^h,y + 6^-, ^ + 0/)
4- kf'yix -i- Q h, y -h Q k, z -~ fi / ) -h l f.(x -\- 0 h, y -^ 0 k, z -h Q l ):
OÙ f^.(x -i- ^ /i , y -\- H /i ^ :; + 0/), par exemple, représente le résultat obtenu en dérivant y(x,j', :;) par rapport à a: et remplaçant ensuite jc par ^ 4- 6/«, y par -)' + 8â% :; par z -\- Hl.
Telle est la formule des accroissements finis pour une fonction de trois variables.
Elle donne nue limite supérieure de l'accroissement A, si Ton connaît des limites supérieures A, B, G de /^, /"^'., /^ dans les intervalles (jr, X ^ h] y, y + /.•; z^ z -^ l). On a, en effet (n" 31),
13'2. Formule de Taylor. — On peut aussi étendre aux fonctions de plusieurs variables la formule de Taylor ( n° 115). Si l'on applique à cp(/) la formule de Mac-Laurin ( n° 114), on a
cp'(o) cp"(o) ç(«)fo) o("+i'(0)
I '2 ! ii\ ( /i -h 1 ) !
Tout revient à calculer o' (o), cp"(o), ....
Dérivant la formule (G) par rapport à t, nous avons, en appliquant toujours la formule (4),
fit) = h{hf^.-i-/^':,,+ if:,^+kihf;.^ + kr;^ + ifl)-^i(hf:, + kf:^.-^ = h^f;,^+ k^-f;.+ i^-f.j-r- ihkf'^y-^-'ikif;.,-\-2ihfi^.
Cette dernière expression rappelle le développement du carré de
on la désigne symboliquement par
[énoncez : puissance symbolique 2]. On peut montrer, par voie de récurrence, que, d'une façon générale,
cp(/') (t) = i kf, + // ;. + if, fp) ,
en convenant que cette puissance symbolique représente la ciuantité obtenue en formant la |)uissancc /?"""' ordinaire de la parenthèse et remplaçant ensuite chaque terme de la forme
A(A/x;*(/./^)f^( lf,y( par A h^^k'^ r(fj^y?,, (a + 3 -i- Y = V').
FONCTIONS \}E PLISIKURS VARIABLES. 167
Nous laissons au lecteur le soin de faire cette vérification, qui est assez longue, mais sans difficulté. Portons les résultats obtenus dans la formule fS), il vient
^Kf'z)
■-^if.
■il
■^If'z)
Il :
Dans cette formule, on doit remplacer a7,j)^, ^ par a^o, 701 Sq dans les dérivées partielles qui figurent dans les n -f- i premiers termes. Quant à R„, c'est ce que
devient ; — ■ -5 quand on v remplace x.y, z par a-Q-t-O/;,
( rt -f-i ) ! * " ^ ■> J ■ i " '
Il est manifeste que le (/? -h i )'"'"* terme est un polynôme homogène et de degré/? (n° 136) par rapport à A, k\ l. De même R„ est un polynôme homogène et de degré n-\-i, mais ses coefficients dépendent encore de h, /r, l\ néanmoins, ils restent finis lorsque h, k, l tendent vers zéro. On remarque l'analogie avec les développements d'ordre «des fonctions d'une seule variable (n" 110).
Il est bien entendu que tout ce qui précède n'est valable que sous certaines conditions de continuité, que nous laissons au lecteur le soin d'énoncer, en se reportant aux conditions d'applicabilité de la formule de Taylor pour une seule variable.
133. Fonctions homogènes. — J.a fonclion f{x^y,z) est dite homogène si l'on a identiquement, quels que soient x,y^ z^ A,
(10) /(X.r, Xjr, A-) = À'"/(^, r, z),
m étant un certain nombre constant, qui est appelé \e degré d' homogénéité de la fonction, et qui peut être positif, négatif ou nul, commensurable ou incommensurable.
En faisant À = - > on voit que le quoLient de la fonetion par x'"
ne dépend plus que des rapports- et -• liéciproquement^ toute
fonction de la forme x"'o (—, -\ est homogène de degré m, car elle
vérifie visiblement l'identité (lo).
Théorème. — Si une fonction est homogène de degré m, ses dérii'ées partielles d^ ordre p sont homogènes de degré m — p.
En effet, dérivons les deux membres de (lo) par rapport à x\ il
l68 CHAPITRE X.
vient, en remarquanl que ). est une constante arbitraire indépendante de X, et en appliquant le théorème des fonctions de fonction
ou
Donc/j, (.r, y\ z) est homogène de degré m — i . On démontrerait de même que/"^. etyi le sont également. En dérivant de nouveau, il est évident qu'on arrivera, de proche en proche, à prouver que toute dérivée partielle d'ordre p est homogène de degré m — p.
