Identité d'Euler. — C'est l'identité suivante

(II) xfx-^yfy-^ ^f'z^rnf(x,y,z).

Pour la démontrer, dérivons (lo) par rapport à A, considéré comme seule variable indépendante ; il vient, en appliquant le théorème des fonctions composées (n" 130),

f^ÇKx,\y,\z)x+fy{\x,\y,\z)y^fl{\T,\y,\z)z = mV" ^f(x.y, z).

Faisons maintenant A = i , nous obtenons l'identité ( i i).

L'identité dEuler est très importante et nous en ferons un fréquent usage en Géométrie analytique. On peut démontrer sa réciproque, c'est-à-dire que si une fonction satisfait à Videntité (i i), elle est homogène et de degré m. En effet, remplaçons x^ y, z par À 37, AjK, Xs; (il) devient

xf'^Ckx, >-r, A::) -4- r/j-(Xa-, Xy, \z)-^ zf.Çkx, ly,Xz) ^ m

ou

d{f(\x,ly,Kz)]

dX m

f{lx,ly,lz) l

Lesdeux membres sontrespectivement les dérivées de logy( Ax,)vy,A:;) et de log(A'") par rapport à ). ; donc, ces deux logarithmes ont une différence indépendante de A, que nous pouvons écrire logA, A étant une quantité inconnue dont nous ne savons qu'une chose : c'est (ju'elle ne dépend pas de A. Nous avons alors

\o^/(lx, ly,lz) = log(>."') -h logA = log( A//«);

d'où