FONCTIONS DE PLLSIELRS VARIABLES

/(Xa-, Ày, À5) = A//

ifig

Pour avoir A, faisons À= i, ce qui ne change pas sa valeur; il vient

A=/(jr,r, s); d'où l'identité

f{\x, \y, As) = '-'" f(3c,y, z). c. Q. F. n.

133. Fonctions implicites. — So\\.f{x^y) une fonction de deux variables, continue dans un certain domaine D et j admettant des dérivées partielles du premier ordre. Considérons l'équation

Supposons qu'elle soit vérifiée en un point Mq (.ro,}'o) du domaine D pour lequel la dérivéey^. n'est pas nulle. Donnons maintenant à x une valeur voisine de Xo\ on démontre que l'équation (12) admet alors une racine y et une seule qui soit voisine de y^. Cette racine est évidemment une fonction bien déterminée de x, au voisinage de Xa'i d'une façon précise, dans un certain intervalle comprenant a^o, pourvu que cet intervalle soit choisi assez petit ( ' ). On dit que c'est une fonction implicite àe x.

Nous ne pouvons donner ici une démonstration rigoureuse de la proposition que nous venons d'affirmer. Observons néanmoins qu'elle

Fig. 23.

est rendue tout à fait intuitive par les considérations géométriques suivantes. L'équalion (12) représente une certaine courjje C {fig- 23)

(') Il ne faudrait pas croire, pour cela, que cet intervalle est toujours très petit. Par exemple, léquation x -^"iy ^i =0 détermine une fonction définie quel que soit X.

du |)lan O^')' (t. II). Cette courbe passe par Mq et admet en ce point une tangente non parallèle à Oj', en vertu de Vhypolhèse f'^.(xu-,yo)^o. Dès lors, nous |)Ouvons cSioisir sur C un arc a[j comprenant Mq et assez petit pour qu'il ne soit rencontré qu'en un seul point par toute parallèle à Oy passant entre a et ^. Cet arc est la courbe représentative d'une fonction de x parfaitement déterminée dans l'intervalle (a, [3), en appelant a et [i les abscisses des points a et [j.

Dans le cas de la figure ci-dessus, on peut prendre a en Aet^enB. On voit que la courbe tout entière se compose des deux arcs AMoB etAM'^B, qui définissent chacun une fonction de x bien déterminée dans l'intervalle («, 6), en appelant a et b les abscisses de A et B. On dit que ces deux fonctions sont les deux biancJies de la fonction mulliforme définie, dans ce cas, par l'équation (12).

Il est évident géométriquement et l'on démontre rigoureusement que la fonction implicite F(^) correspondant à l'ar»- aM,, ,3, par exemple, est continue et admet une dérivée dans tout l'intervalle (a, j3). Il est d'ailleurs facile de calculer cette dérivée, lorsqu'on a établi son existence. En effet, imaginons que, àinns f{x^ y), on remplace y par F(x); on obtiendra évidemment un résultat identiquement nul et dont la dérivée par rapport à x sera, par suite, également nulle. Or, cette dérivée nous est donnée par le théorème des fonctions composées (n" 130) ; on a

()f ôf dy

d'où (i3)

puisfpie, sur l'arc a M,, |j, —^ ^ o.

En dérivant plusieurs fois de suite, on a les dérivées successives dej^, en admettant toutefois leur existence.

Dans le cas où l'équation (12) est de la forme x — f(y) = o? O'^ retrouve les fonctions inverses (n" 72).

On peut, de même, définir une fonction implicilt; z des deux variables a: et y p^r ré([uation /'(:r, y, ::) = o, où l'on suppose la fonction /'continue et admettant des dérivées au V()isinai;e du point

Mo {-X^ui J'o, ^n)i sa valeur en ce point étant nulle, lamlis que -^ ne l'est

âx

ôy

âx ôy