FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. I7I

pas. On peut étendre tout cela à un nombre quelconque de variables.

136. Polynômes ('). — Un polynôme en x^ i', z^ par exemple, provient de x^ y, z par des multiplications et additions en nombre (ini. Comme ces trois variables, regardées comme des fonctions de :r, y, z, sont toujours continues et admettent des dérivées partielles de tous les ordres, on voit f|ue tout polynôme f{x, y, z) est une fonction continue et admettant des dérivées de tous les ordres, quels que soient x, y, z; ce qu'il est d'ailleurs facile d'établir directement.

Toutes les propriétés établies dans les numéros précédents sont, dans ce cas particulier, très faciles à vérifier. C'est ainsi que le lecteur vérifiera sans peine la proposition y'^^^y^.^..

Si le polvnome est de degré m, toutes les dérivées partielles d^ordre supérieur à m sont nulles. On peut donc appliquer la formule de Taylor (n" 132) en prenant /i = m et R/i= o. Nous conseillons au lecteur de vérifier directement la formule dans ce cas; il lui suffira de le faire pour chaque terme du polynôme, tel que h.x'-^ y'^ ^T,

Un polynôme est évidemment homogène si tous ses termes ont même degré m. C'est même souvent la définition que l'on donne des pol\ nomes liomogènes. Nous laissons au lecieur le soin de prouver que les polynômes ainsi définis sont les seuls qui soient homogènes au sens du n" 133 (-).

Si, dans l'équation (io),f{x, y) désigne un pohnome, de degré m en I', la fonction implicite correspondante est dite algébrique ; elle possède m branches distinctes. Toute fonction qui ne peut être définie de cette manière est dite transcendante (cf. n" 06).

(') r.e lecieur trouvera une élude plus détaillée des polynômes à plusieurs varialiles dans Leçons (t. I, n"' 44 à 49).

(-) En remplaçant X, j', z par T^^r, ).r, a- dans un polynôme de degré m. on obtient un polynoine de degré «i en "k. qui doit se réduire à un seul terme. Ordonner / (x, y, z) [>ar groupes liomogènes.

137. Définitions. — Imaginons un certain nombre de variables indépendantes, par exemple x^ y, z. On appelle différentielles de ces trois variables trois nouvelles variables, indépendantes entre elles el des précédentes, qu'on désigne respectivement parafa:, dy^ dz ('), et auxquelles on se propose de faire jouer un rôle particulier qui va être défini dans ce Chapitre.

Soit maintenant w une fonction de x^ y, z, (|ui admet des dérivées partielles premières. On appelle différentielle totale de cette fonction l'expression (-)

^ ' dx dy -^ ôz

C'est une fonction des six variables indépendantes x, y, c, dx^ dy^ dz] mais elle possède la propriété particulière, d'ailleurs non caractéristique (n*" 141), d'être linéaire et homogène par rapport à dx^ dy, dz.

Dans le cas d'une fonction d''iine seule variable^ on a

(i) cho = -7— dx ;

de sorte qu'on peut considérer maintenar)t, si l'on veut, la dé/ivée -7- comme le quotient des différentielles dio et dx. C'est pourquoi

('; Dans ces symboles, la IcUre (/ est inséparable de la lettre qui la suit; c'est ainsi que dx forme un tout indivisible, représentant une variable au même titre que X, y, z. Ajoutons que la lettre d doit toujours être un d droit et non pas un à rond.

(") Si l'on applique cette définition aux fonctians a:, jv', z, on trouve dx, dy, dz. Nos notations ne sont donc pas contradictoires.

l'on peut, sans confusion possible, employer des <^/ droits dans la notation -T-i tandis qu'il n'en est pas de même quand on a plusieurs variables, car, dans le cas de la formule (i), par exemple, on n'a

' ôx dx

138. Une première propriété très importante résulte du théorème suivant :

Théorème. — Supposons qu'on donne à x des accroissements infiniment petits du premier ordre^ que nous représentons par dx, dy, dz. L.'' accroissement correspondant Aoj de la fonction m diffère de la différentielle totale dhi d'' une quantité infiniment petite d^ ordre supérieur à un.

En effet, d'après la formule des accroissements finis, nous avons (n° 131)

(3) Au. = hf'^(x + e/i, y ^- 6Â-, z -^ 0 /) + kf-\- Ifl,

où l'on a posé, pour faciliter l'écriture, dx = A, dy :=. k^ dz=^ l.

Mais, si nous supposons nos trois dérivées partielles continues, nous pouvons écrire

f;,(x -^\)h,y + bk,z^ 0 /) =/,. (.r, y, z) + t,

où £ désigne un infiniment petit, et les deu-a égalités analogues. D'où il lésulte que

Aw = diM -^ ( ht ^ kt' -r- Ie").

Chacun des infiniment petits Aï, kz', W est d'ordre >>i, comme étant le produit d'un infiniment petit du premier ordre par un autre infiniment pelit. Donc, il en est de même de la parenthèse

Corollaire 1. — Pour avoir la partie principale de Aoj, il suffit de prendre celle de do), à condition toutefois que diû soit du pre-

(') Si les dérivée? secondes existent au voisinage des valeurs considérées, on peut appliquer la formule de Taylor ( n" 132) el voir que Ato — rfw est un infiniment petit du second ordre au moins.

mier ordre. En particulier, si co ne dépend que de x et si dx est V infiniment petit piincipaL dto est exactement la partie principale de Aw.

Le théorème précédent est d'une application courante en Physique, en Astronomie et, d'une manière générale, dans toutes les Sciences où se présentent des calculs portant sur des quantités qui ne sont connues qu'avec une approximation limitée. Si certaines de ces quantités subissent des accroissements très petits (provenant de corrections à efTecluer ou de variations quelconques), on peut avoir besoin 'de connaître les accroissements (pii en résultent pour d'autres quantités dépendant des premières. Il suffît alors, la plupart du temps, de calculer les différentielles de ces dernières et de les confondre avec les accroissements cherchés. L'erreur commise est, en général, négligeable parce que inférieure à l'approximation avec laquelle sont connues les quantités sur lesquelles on opère.

139. Changements de variables. — Soient trois fonctions w, r, w des quatre Nariables indépendantes x.,y^ ^, i et lo une fonction de m, V, w. Calculons t/to. Nous avons, par définition,

/ , X , diù dM . dto , duj ,

< 4 ) «w — -— dx H ar -i — -— ac h — — ai.

^^^ dx dy -^ dz dt

Or, d'après le théorème des fonctions composées (n^ 130),

diu ~ dTi

du do) dx dv

dr dx

diV

âx

di)} dy

do)

~ dn

du dui dy ■ di-

dto dw

dw dy

doj

du doi

dto

~ du

dz Ce

' dw

doi

du d(jj

do)

'dt

'di ~^ Jv

dï

~ c/tr

~dï

Multiplions la première ligne par c^.r, la seconde |)ar dy, la troisième par c/c, la quatrième par dt et ajoutons en colonnes, il vient

r>w dhl do)

(5 ) ao) = — au H dv -+- — ffw.

du dv dw

Comme on le voit, on arrive à la même formule que si u, r, w étaient les iHiriables indépendantes. C'est là une pioj)riété d'im-

niFFKRENTIELLES. IJJ

portance loul à fait capilale. C^esl sur elle que repose le principal avantage de V introduction des différentielles en Analyse. Elle montre que la différentielle d^une fonction ne change pas quand on fait un changement de variables indépendantes. Il suffit, pour avoir son expression en fonction des diflérentielles des nouvelles variables, de remplacer les différentielles des anciennes variables par leurs valeurs en fonction des différentielles des nouvelles variables. De là résulte que, dans le calcul des différentielles., il n^y a jamais lieu de s'occuper de ce cjue sont les variables indépendantes; on différentie toujours suivant les mêmes règles. Ceci présente un avantage considérable dans bien des questions. C'est ainsi que, dans bien des problèmes de géométrie., on a à calculer des différentielles sans savoir à V avance comment on choisira les variables indépendantes ; ce n'est qu'à la fin du problème qu'on fait ce choix. On peut néanmoins, sans aucune difficulté, introduire toutes les difféientielles dont on a besoin et obtenir toutes les relations qui les lient, quitte à les exprimer toutes, en dernier lieu et si cela est nécessaire, en fonction des différentielles des variables qu'on aura finalement choisies pour variables indépendantes.

140. De même, en Analyse, la théorie des différentielles facilite le calcul des dérivées. Elle permet d'abord de se passer de toutes les formules que nous avons établies à propos de ce calcul dans les Chapitres précédents. C'est ainsi qu'on peut écrire immédiatement, en appliquant la formule générale (5),

<:/( H H- (■ -h «• ; = du -i- dv -+- dw,

d{in'iv) = l'w du -h Uiv dv -*- uc div, , ( ii-\ du u dv V du — u dv

d'où l'on déduit, en supposant u. r, tv fonctions d'une même variable X, les formules qui donnent la dérivée d une somme, d'un produit ou d un quotient.

De même, si ^et y sont deux fonctions données de t^ soit

on a immédiatement la dérivée àc y par rapport à x ( ') en prenant le

( ' ) j' esl une fuiiciiun de x par rintennédiaire de t.

quotient des différentielles

<lv ^ ^'(Odt g'it) ^ '/^ ~ S"{t)dt ~ f'{t)'

Soit encore à calculer la dérivée d'une fonction implicite définie

par

La fonctionydevant être identiquement nulle quand on y remplace^ par sa valeur en fonction de .r, il doit en être de même de sa différentielle; donc

-^dx -\- -^dy = o:

<jx dy -^

doù l'on tire le quotient — , qui est la dérivée cherchée.

Plus généralement, soient n \ariables Xi^ jto, •••, oc,i liées par p relations

I fïi3C\-,^2, ■••,3Cn) = O, . 1 /2(a^l, 372, . . . , a7„) = O,

^ fp{x\,xi, .■•■,Xu) = o (p<n).

On peut considérer p d'entre elles, par exemple T), x^. Xp^

comme fonctions implicites des n — p autres. Si l'on veut calculer leurs dérivées partielles, il suffit de difféientier totalement chacune des équations (6), ce cpii donne

On résout alors ces p équations linéaires par rapport à dxx, dx2, ..., dxp] les expressions olitenues se présentent sous forme linéaire et homogène relativement à dxp^^, .. ., dxn- Elles donnent simultanément toutes les dérivées partielles cherchées, car pour

avoir, par exemple, la dérivée ——'— ? il sullil de pre/ul/c le coe/'/icient de dxpj^k dans dx^.

dx 1 H dxi -1- . .

'■^' dxr-^^-^'dx.-^..

ôXi dx^

àx,i àft ,

—!- dxi -i dx^^ -\-..

(JXi <)x^

..-^ -j-!-dXn= 0.

ox„

141. Conditions pour qu'une expression soit diflFérentielle exacte. — Soit, par exemple, 1 expressioti

(8) Pdx^Qdy-hRdz,

où P, Q, R désignent trois fonctions données de x, y, ::. Nous voulons savoir si elle est une différentielle totale exacte, c'est-à-dire s'il est possiiîle de trouver une fonction (o de x, y, z telle que l'on ait

flfoj = p <r/:p -H Q dy -i- R dz,

t/oj =

c'est-à-dire

dx '

dy ^' dz

On aperçoit de suite trois conditions nécessaires pour que ces équations soient compatibles, à savoir

dl^ d q dq dK àR à\'

dy dx dz dy dx dz

obtenues en calculant de deux manières chacune des dérivées par-

• Il 1 / ,> JC\rv\ à-M O'-M d-0)

tielles secondes (n" IsV)) , ———, — — — •

^ ^ dx dy dy dz dz dx

Ces trois conditions nécessaires sont également suffisantes. Mais nous ne pouvons le démontrer dans cet Ouvrage. Nous nous contenterons d'indiquer au lecteur le moyen de le vérifier directement dans chaque application particulière. C^e moyen consiste tout simplement à calculer la jonction oj.

Partons, par exemple f ), tie la première équation (lo). Intégrons-la par rapport à x^ nous avons (Gliap. XII)

/ P dx -^ oj,= F(5;,jK, -)

(il) w= / P f/j7 -h oj] = F(5;, ;K, ^) -t- W],

toi désignant une constante vis-à-vis de .r, c est-à-dire une certaine fonction de y et c.

(') Prali(|U('ineiU. on coiiiniencc par celle qui semble devoir donner les calculs les plus simples pour l'inlégralion.

IIaac;. — Cours, I. 12