I-S CHAPITRE XI. — UIFFÉREISTIELLES

Portons la valeur obtenue dans la deuxième équation (lo), jiar exemple (^),

(11) --— = Q — Qi.

dy ^ oy

Gomme wi ne doit pas renfermer x, il doit en être de même de Qi. Cesl ce que le lecteur devra constater dans chaque cas particulier, s'il n'a pas fait de faute dans ses calcul-^.

Opérons maintenant sur l'équation (i?.) comme nous avons opéré sur la première équation (lo). Autiement dit, intégrons ))ar rapport à )',

(i3) LOi= I Qi dy -^ i».,= G(y, z) + coj,

0)2 désignant une fonction de z.

Portons dans la troisième équation (lo), il doit rester une équation de la

forme

r/to.,

d'où l'on déduit. |)ar une dcrnièi'e intégration,

(i4) wo.= ff{z)dz = l]iz) + C,

C désignant cette fois une \érital)le constante. Finalement, on a

(i3) co = F(x,y, z) -+- G(r, z) + H( ..) + C.

(') Même ronKirquc que plus luiul.

INTKGRALES DliFIMES ET IN DEFIMES.

142. Intégrale définie. — On est coudait, dune manière très simple, à la notion d'intégrale définie par la mesure de certaines aires planes. Soit une fonction f [x) continue et positive dans rinlervalle («, 6). Traçons l'arc de courbe représentatif correspondant AB {fig- 24);

o I à m.2 ttIq Jrii^ rnt-n "în. b ^

il est tout entier au-dessus de Ox et le point A est à ganclie de B, si l'on suppose, pour fixer les idées, a <C b. Menons les ordonnées Aa, B6,et proposons-nous d'évaluer /'a/re Scomp/iseentre l'aj'c AB, Vaxe Ox et les deux droites Art, B^.

On apprend, en Géométrie élémentaire, à mesurer les aires de tous les polygones, mais non pas les aires limitées en totalité ou en partie par des lignes courbes. 11 y a exception toutefois poui- le cercle, dont on calcule l'aire en la considérant comme la limite de celle d un polvgone inscrit. Nous allons essayer un procédé analogue pour le trapèze curviligne AB^rt.

Prenons, sur lare AB, n points cpielconques, désignés, de la gauclie vers la droite, par M,, M^, ..., M„. La première idée (pii \ienl ;i l'esprit est de considérer Taire cliercliée comme la limite de celle du polygone AM, AK . . . M„ B/^ rt A, lorsque le nombre des points de division M,, AL, ..., M,, au ionien te indé/ininwnt. de manière que

l8o CHAPITRE XII.

chacun des arcs partiels AM,, M|Mo, . . ., M«B tende i^ers zéro (' ). Nous reviendrons sur ce procédé, qui a une certaine valeur pratique (n° loO). Pour l'instant, nous allons employer un moyen légèrement din'érent, qui nous donnera des calculs un peu plus simples. Menons les ordonnées M,w,, Mom^, ..., M,,/??,^. l^iis, par A, M,, Mo. ..., M/M menons vers la droite des parallèles à Ox, limitées chacune à l'ordonnée du point suivant. Nous obtenons ainsi des petits rectangles /'o, /'i, ..., /«, dont la somme a- dillere de S par l'aire couverte en hachures sur la ligure. Il est clair f|ue cette dirt'érence est d'autant plus petite (pie les points M/ sont plus rapprochés les uns des autres et qu'elle tend vers zéro lorsque le nombre de ceux-ci augmente indéfiniment dans les conditions spécifiées plus haut. Par suite, S peut être considérée comme la limite de c dans ces conditions. Or, la somme t se calcule immédiatement; si Ton appelle Xf, X21 . • 1 Xa les abscisses de M| , Mo, . . ., M„, on a

(') ^ —f{n){-r\ — a)-\-f{xx){x^—xi)-^.. .

-hfiXi){Ti^l — Xi)^. ..-+ f{x„)(b — x„).

Nous sommes maintenant ramenés à une question d'ordre purement analytique : Trouver la limite de la somme t définie par la formule (1), lorsque n augmente indéfiniment, de manière que chaque intervalle partiel .2;/^, — Xi tende vers zéro.

On peut démontrer rigoureusement, sans faire appel à rinluition géométrique qui nous a servi de point de départ, que cette limite existe effectivement toutes les fois cpie la fonction /"(.r) est continue dans l'intervalle (a, b) (-) et (\u' elle est indépendante de la loi qui préside aux fractionnements consécutifs de l' intervalle (a, h). Nous admettions celte démonslralion, bien (pTiui puisse bi présenter d'une façon assez ('lémentaire, mais un peu longue ( ').

i^a limite en question se représente par le s\mbole conveii-

(') On peut supposer, par exemple, que les points M,, M.,, ..., M,^ soient oiilcnus en partageant l'intervalle (a,b) en n parties égales, le nombre /; auj^mcnlant ensuite indéfiniment. Mais, cela n'est pas nécessaire.

(-) On peut restreindre davantage les condilions d'iiitcgiabilité de la fonction fix) pour l'intervalle (a,b), c'est-à-dire les conditions qu'elle doit remplir pour que la somme j ait une limite. La recherche des condilions strictement suffisantes est d'ailleurs une question fort difficile.

(^) Le lecteur trouvera une démonstration en i)bilic analMi(|ue et <n partie géométrique dans Leçons ( n" 303).

INTEGRALES DEFINIES ET INDEFIN'IES. loi

tionnel / f(x)dx [énoncez : somme de a à b de f{x) dx^ et se

nomme ir^téarale définie. C'est elle ijtii mesure, par définition., l'aire S du trapèze curviligne W^ba ( ' ).

Les nombres a et b sont appelés les bornes (ou limites) inférienre et supérieure de l'intégrale. L'intervalle («, 6) est \ intervalle d' intégration.

143. On peut imaginer d'autres sommes cpii ont pour limite S. Par exemple, on peut mener par les points M,, Mo, ..-, M«, B des parallèles à O^ dirigées vers la gauche et limitées aux ordonnées qui les précèdent immédiatement; on obtient des rectangles dont la somme t' a encore pour limite S. Cette somme s'écrit d'ailleurs

<^0 7' = /(^i)(.ri — a)-H. . . ^ fi xi+i)(xi^i — Xi) ^ . . .-\-f(b){b — Xn.).

Dans le cas de figure actuel, l'aire S est évidemment comprise entre a- et t', qui en sont respectivement des valeurs a|)prochées |)ar ' défaut et par excès.

On peut aussi, plus généralement, former le rectangle r, en menant une parallèle à Ox par un point quelconque |j./ de l'arc M/M/^,, ce qui conduit à la somme

(3) Z=fi:-,){x,-a)^f{U){^2-oi^i)-^---

-^-f{li){xi^,- Xi) ^. . .~f{U)(b - x„),

OÙ ;o5 i)i • • -1 \n sont des nombres quelconques respectivement compris dans les intervalles («, ^i), (a:i,^o), ..., (xn,b). On démontre que, quelle que soit la manière de choisir les ç,, - tend toujours

vers la même limite I f{x)dx, lorsque n augmente indéfiniment

dans les conditions indiquées plus haut.

m. Nous avons supposé jusqu'ici a •< b e\.f{x) > o dans l'intervalle (rt, b), et cela afin de ne rencontrer aucune difficulté de signes dans l'évaluation approchée de l'aire S. Mais, nous pouvons maintenant lever ces restrictions. Quel que soit le signe de fix) dans

(') Comme on le voit, l'existence de cette aire, que nous avons admise au début comme notion expérimentale intuitive, peut s'établir rigoureusement en s"appuyant uniquement sur la notion de nombre et sur celle de la mesure d'un rectangle.

/ intervalle [a, b ) et quel que soit le signe de la différence h — a. la somme Z définie par la formule (3) a une limite qui est^ par

définition, l intégrale définie l f[x)dx. On conçoit en eiïet que

la démonsiralion analvlique de celle proposition puisse se faire aussi aisément dans le cas général que dans le cas particulier examiné priiiiilivement.

Remarque. — On peut remplacer la somme S par la suivante :

(4) ^'= [/':o)-^£o](.r, — a) + [/(ii) + £,j(>-o— a-i)+...

où les nombres £„, £,, ..., e„ tendent tous vers zéro en même temps que les intervalles partiels. En ellet, on a

^' — ^ = Su(.ri — a) -I- £i(a^2— ^l) -!-• • •+ E/;(^ — ^n)-

Donc, SI £ est la plus grande des valeurs absolues de £oi • • ••, -m

\I.'—I.\^z[{j::i — a)^(x.2—Xi)-h...-+-(h — x„)] = z(f} — a).

La dilFérence S' — S tend donc vers zéro; par suite, !l' a même limite que S.

Praticjuement, on voit (\u' o/i peut remplacer chaque terme de la somme ^ par un in fi ni met} t petit équivalent (n" l!20).

1 io. Formules. — Voici maintenant quelcjucs fornudes très simples, qui ri'^idtent immédiatement des définitions précédentes :

1° (5) / J\x)dx^- / f{x)dx.

En ertet, on a le droit de supposer que les sommes S et ^' , qui donnent naissance à ces deux intégrales, sont obtenues par le même mode de fractionnement de l'inlervalle [a, b) et par le même choix des nond)rcs ç,, puis(|ue la limile de chacune d'elles est indépendante de ce mode de fraclionnement et de ce choix. Mais alors, il est manifeste qu'on a constamment i^ = — S', ce qui donne, à la limite, la formule à démontrer.

2" ^6) f J\x)dx= 1 f{x)dx^ j f{x)dx.

INTÉGRALES DKFINIES ET INDÉFINIES. l83

En efTet, supposons d'aljord c compris entre a et h. Nous avons le droit de choisir constamment le nombre c parmi les nombres Xi relatifs à la somme X qui définil la première intégrale. Cette somme peut alors se partager en deux sommes partielles 'El et -", l'une relative aux intervalles compris entre a et c, l'autrç relative aux intervalles compris entre c et b. On a S = S'+S"; d'où la formule (6), en passant à la limite, puisque 2C, S', S" tendent respectivement vers

j f{x)dx, l f{x)dx, / f(x)dx.

Si maintenant l'on suppose c extérieur à l'inlerNalle (a, 6), a sera

nécessairement compris entre b et c, ou bien b entre a et c.

Dans le premier cas, on peut écrire

OU [ formule ( V) |

ce qui est bien la formule (()). Dans le second cas, on procède d'une manière analogue. De (6), on déduit immédiatement la généralisation suivante :

(jomme application, on peut donner une interprétation géométrique simple de l'intégrale définie, dans le cas où f{x) prend des signes quelconques entre a et b. Supposons que l'arc AB coupe Ox en un certain nombre de points P,, P^, ..., P/^, d'abscisses ^i,

x-i, ..., Xk- Décomposons / f[x)dx par la formule (-). Si « << ^,

chaque intégrale partielle ainsi obtenue représente une aire précédée du signe -h ou du signe — , suivant que cette aire est au-dessus ou au-dessous de 0:r. Dès lors, si nous faisons la convention de regarder comme positive toute aire située au-dessus de Ox et comme négative

toute aire située au-dessous, nous vovons que l'intégrale / f(x)dx

lS4 CHAPITRE XII.

mesure Vaire algébrique comprise entre Tare AB, O^, Aa el Bb. Si rt^ b. il faut faire la convention de signes opposée.

3° f [kf(x)-^B g{x)]dx^K f f{x)dx+B f g{x)dx

( A et B == const.).

Conséquence évidente de la définition de l'intégrale.

4" Formule DE LA MOYENNE. — Si c désigne un certain nombre compris entre a et b, on a

(8) f f{x)dx = {b-a)f{c).

En eflfet, soient m et M les limites supérieure et inférieure de /(.r) dans l'intervalle [a^b)^ (u" 59). Si a <C b, on a évidemment

S > /« ( j"i — a) -^ m ( X.2 — xi) -h. . .

-4- m {Xi^i — X,) -h . . .-h m( fj — x„) = /?? ( 6 — a).

De même, S < M(^ — a).

A la limite, on a donc

m(b ~ a) < / f{x)dx <:M(b — a).

f f(x)dx Le quotient —^ étant compris entre m et INI, on sait que sa

valeur est atteinte par f{x) pour au moins une valeur c de l'intervalle {a, b) (n^oO); ce qui nous prouve la formule (8). vSi a'^b, il n'y a qu'à changer le sens de toutes les inégalités ci-dessus.

Nous verrons, au numéro suivant, que cette formule, comme sous le nom de formule de la moyenne ^ est identique, au fond, à la formule des accroissements finis.

146. Valeur moyenne d'une fonction. — A la notion (rint(''grale définie se lattache, de la façon la j)lus naturelle, celle de la valeur moyenne d'une fonction dans un intervalle donné.

Soit la fonction f{x), finie et continue dans l'intervalle («, b). Divisons celui-ci en n — i parties égales, soit a, Xi^ x-i, ••■, x,i 2:b,

INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. l85

et proposons-nous de calculer la limite, pour n infini, de la moyenne arithmétique

J'(a) -hfJTi ) -^ . . . -+-/( T„ . ., ) — /ï b )

A cet effet, comparons-la avec la somme

^„= f{(-i)(.Ti — a) -^ f(a:i){.r.2 — xi) -h. . .^f{Xn-i){b — .r„2),

dont la limite est / f{x) dx.

bi l on remarque que x , — a^ x^ — .r, = . . . = /y — Xn- ■> = '

on peut écrire

Si, dans cette égalité, on fait croître n indéfiniment, on voit que

r f{^)cix

la limite de S,/ est '-^^—r C'est cette limite qu'on appelle

valeur moyenne de la fonction f{x) dans V intervalle [a, b). On peut remarquer que, d'après la formule de la moyenne (n° lio), elle est égale à la valeur que prend y(a") pour une certaine valeur de X comprise entre a et 6, ce qui est du reste assez intuitif.

147. Fonctions primitives, intégrales indéfinies. — Le procédé indiqué au n" WlL pour calculer l'aire S est intéressant en ce sens qu'il nous a conduit à la notion purement analytique d'intégrale définie. Mais il est loin d'être pratique, car on ne peut, en général, trouver directement la limite de la somme ï. Nous allons indiquer une autre méthode, qui semble, au premier abord, un peu détournée et artificielle, mais qui nous donnera une solution plus élégante et en général plus pratique.

Soit M un point quelconque de l'arc AB {fig- ^-5), d'abscisse x. Menons l'ordonnée M. m. 11 est évident que l'aire N^ima est une fonction de x bien déterminée dans lintervalle (a^ b), soit S(;r). A'ous allons calculer sa dérivée. Donnons à x l'accroissement Ix = mm' ; l'accroissement AS correspondant est l'aire MM'/n'm, précédée du signe -+- ou du signe — , suivant que A.r est positif" ou

ciiAPimii: \ii.

négatif. Or. si ii et y-, sont les ordonnées minimum et maximum des points de Tare MM', cette aire est visi])lement comprise entre j'J A.r I et i'2|-^>2:|. Comme AS a le signe commun à j'iAj; el j'o^JC,

AS

il est constamment compris entre ces deux (luantilés; donc — ^ est

compris entre j^i et l'o. Si A^ tend maintenant vers zéro, it et j'o

AS tendent tous deux vers l'ordonnée y du ])oint M. donc aussi

Finalement, la fonction S(x) a pour dérivée y =f[x).

De celte j)roj)i-iété fondamentale résulte immédiatement le procédé suivant pour calculer S(^). Supposons que, par un moyen quelconque (nous en indiquerons au Chapitre suivant), on ait découvert une fonction ¥(^x) admettant |>our dérivée f{oc)^ ou, comme on dit, une fonction primitive de f{x). Les fonctions S(a;) et F(x) ayant même dérivée diflèrent par une constante (n" ()i). On a donc

?^ous n'avons plus (pi'à calculer C. Pour cela, il nous suffit de icmplacer .r, dans l'identité (9), par une valeur telle (pion connaisse la valeur correspondante de S(a:). (Jr, cette valeur saute aux yeux; c'est rc = rt, car le point M vient alors en A et l'aire S(.r) se réduit à zéro. jNous avons donc

o = F(rt)-4-G; •

d'où