LUE

ou

Or ceci résulte de (5) et (4)-

13. Voici maintenant des théorèmes qui nous serviront plus lard.

Théorème 1. — - -S"/ « > i , on a r/' > i ; 5f « < i , on a a''i^ i .

En elTet, si dans la première hypothèse, par exemple, on avait «''^i , on en déduirait, en élevant à la q'^""" puissance, aP'^i, ce qui est contradictoire avec « > 1 .

t t. H EL

Théorème II. — Si -> —., on a a' > a' ou a' <:a' , suiicint

que a >■ I ou a ■< i .

En effet, la première inégalité, par exemple, s'écrit

ce qui résulte du théorème 1.

TnÉoiikME 111. — Etant donnés un nombre fixe a et un nombre positif î. aussi petit qu'on veut, on peut toujours déterminer 'r\ tel que L inégalité — < r^ entraîne

En efi'et, supposons d'abord « ]> i . L'inégalité à vérifier s'écrit

D'après le théorème II, il suffit de ijrendre r sous la forme — ?

n étant un nondjre entier tel qu'on ait

Or la formule du binôme (n°2o) montre immédiatement qu'on a (')

(i-f- £)"> I -H ne.

Il suffit donc de prendre

ce qui est toujours possible.

Si a -< 1 , il faut vérifier l'inégalité

ou, en divisant par a'^,

ce qui est entraîné par

On est donc lamené au, cas jjrécédent.

(') <Jii peut aussi établir cette inégalité /?«/■ voie de récurrence, c'est-à-dire monlier que, si elle est vraie pour n, elle est vraie [)()ur n ^- i.

RADICAUX. EXPOSANTS. l3

Théorème IV. — Etant donnés un nombre positif z aussi petit qu'on veut et un nombre positif N aussi grand qu'on veut^ on

peut toujoufs trouver tj tel que les inégalités ^ — — <C'^, - < A <" ÎN entraînent

En effet, celte inég-alilé s'écrit