VI

Si rt <C I , elle est entraînée par

— nt'

laquelle résulte du théort-me III.

Sia>>i, et si N' désigne un nombre rationnel quelconque plu; grand que N, elle est entraînée par

laquelle résulte encore du théorème III (' ).

14. Exposants incommensurables. — Soient a un nombre incommensurable et a un nombre positif plus grand que un. Il s'agit de

définir a'^. Acel effet, désionons par— et —, deux nombres rationnels

quelconques appartenant respectivement à la première et à la seconde classe de a. Piangeons dans une première classe tous les nombres de

la forme a' et les nombres plus petits et. dans une seconde classe,

tous les nombres de la forme «' et les nombres plus grands. Les premiers sont plus petits que les seconds, en vertu du théorème II du numéro précédent. En outre, on peut trouver deux nombres de

(') On peut remarquer i|ue le nuinbre r, ne ilépeiid que île 3 li)rs(iue a csl Au contraire, si a >i, il dépend île s et N.

l4 CHAPITRE I.

classes difl'érentes aussi voisins qu'on le veut; cela résulte, en effet, du ihéorènie IV, puisque —, — — peut être diminué à volonté et qu'on

peut toujours supposer que —, reste inférieur à un certain nombre N de la seconde classe de a. Nous venons donc de faire une coupure (au sens du n° 10) et, par suite, de déterminer un nombre qui est, par définition, a'^.

Si a<< I5 on procède de la même manière, avec celte seule différence qu'il faut intervertir les rôles de — et ■^- Ouant au svmbole i*,

il est égal à i, quel que soit a.

Les exposants incommensurables jouissent des mêmes propriétés que les exposants commensurables. C'est ainsi que V identité (i), démontrée pour m et p rationnels, est encore vraie pour m et p irrationnels.

Supposons d'abord a >> 1 . Si A est un nombre de la première classe du produit a"'^ai% on peut trouver deux nombres X et Y, appartenant respectivement aux premières classes de a'" et aP^ tels que l'on ait A <! X\ (n° 9). D'autre j^art, d'après la définition de «'", on peut trouver un nombre rationnel n. dans la première classe de m tel que X ■< a^. On a, de même, Y <; a'^, t: étant un nombre rationnel de la première classe de p. On en déduit XY <; «(^«"^^^ r/!-^'*"'^, puisque [j. et 7: sont rationnels. Comme A<<X\, on a, a fortiori., A < af^+". Il en résulte que A appartient à la première classe de a"*+/', parce que pi. + — appartient à la première classe de m -\- p (n" 8).

On prouverait de même que tout nombre de la seconde classe de a"^aP appartient à la seconde classe de a"^'^P. Donc a"^aP=^a"^^P (n"6).

Pour rt <C I , démonstration analogue.

U identité (2) est également vraie pour m et p irrationnels, puisque c'est une conséquence de (i).

On pourrait maintenant faire l'extension des identités (3) et (4), ainsi que des théorèmes du n" 13. Mais cela nous sera beaucoup plus facile au Chapitre Yl, au(piel nous renvoyons maintenant le lecteur (n"^80 à m).

V,'). Exposants négatifs et nul. — Si x est un nombre positif cjuelconque, le symbole a~^' représente., par définition., la quantité — • Le symbole a" représente Vunité.

RADICAUX. EXPOSANTS. l5

Les exposants négcuifs cl nul jouissent des mêmes propriétés que les exposants positifs.

1° On a, quels que soient x et )',

Cela a été |)rouvé pour .r et j'positifs. Supposons maintenant ;r >> o etjK < t), soit^' ^ — y' (r'^ o). L'égalité (lo) devient

Ceci est l'identité (2) si x '^ y' . Si x <C y\ cela revient à

ce qui est encore l'identité (2). Enfin, si x ^= y' , cela résulte de la

définition de rt".

Soit maintenant .r = — x' , y =■ — j»' (.r' >■ o^ y' > o). L'égalité

s'écrit

a-* ay a-^ ~^y'

ce qui résulte de l'identité (10) établie pour x et y positifs.

L'identité (2) n'est plus maintenant à distinguer de (1), puisqu'elle

s'écrit

2" (11) (a'-')y=a^y (37 et r lalionnels),

Si .r >> o et y = — y <. o, il faut prouver que

ce que nous savons être vrai.

Si X := — x' <io ely^ o, il faut prouver que

ce qui résulte de ce que ( — -7 ) = - — -7— •

Enfin, si X = — x' < o et j = — y' <. o. le premier membre de (i i)

l6 CHAPITRE I. — RADICAUX. EXPOSANTS.

s'écrit successivement, en sappuyant sur le cas précédent, 1 I I

(rt*).v' (a--'-)r

a-^ .1 = rt-

Ouanl à lidentilé (4 ), son extension pour m <C o saute aux veux. Enfin, nous verrons au Chapitre VI (n'"" 80 et 8!2) ce que deviennent les théorèmes I. II, III, IV.

ANALYSE CO.MBIXATOIRK. — FORMULE DU BLNOME.

16. Permutations. — Considérons m objets distincls, dont nous n'avons pas besoin de préciser la nature, et qui seront seulement supposés tels qu'on sache les distinguer les uns des autres. Nous les représenterons, par exemple, par des lettres, ou bien par les numéros I, 2, 3, ..., m.

Cela posé, imaginons qu'on range les lettres représentatives «, b^ c, ..., /sur une ligne horizonlale, et cela dans un ordre déterminé. Nous dirons que nous avons formé une permutation de nos m lettres, ou des m objets correspondants. Il est clair que, dès que m est plus grand que i, on peut former, de cette manière, plusieurs permutations différant entre elles par l'ordre des lettres. Si nous écrivons les unes au-dessous des autres toutes les permutations possibles, chacune d'elles n'étant écrite qu'une fois, nous dirons que nous avons construit le tableau des permutations des m lettres. Voici, à titre d'exemple, le tableau des permutations des trois lettres «, 6, c:

17. Règle de formation du tableau des permutations. — Voyons comment on peut former le tableau r,„des pcrinulalions de m lettres a^ 6, c, ..., A, /. Dans ce but, nous allons emplover une méthode derécurrence et déduire T„, du tableau T,„, des m lettres a, 6, ..., h. De chaque permutatioti (/?) de T,„,, nous pouvons déduire m permutations distinctes de Y^n en écrivant suc'cessivement la lettre / à JIaag. — Cours, I. 2

l8 CHAPITBE II.

gauclie de la première letlre de (/>), puis enlre la première el la deuxième, puis enlre la deuxième et la troisième, etc., et enfin à droite de la dernière. Si nous faisons de même pour loules les per- •muLalions de T„,|, je dis que nous obtenons le tableau ï/„. En eflet : 1° Nous n'avons obtenu que des permutations de T,„ ; o." Toutes les permutations obtenues sont différentes, car deux quelconques d'entre elles diffèrent soit par l'ordre relatif des lettres <7, b, ...,/(' [si elles proviennent de deux permutations (p) dilférentes], soit par la position de l vis-à-vis de celles-ci [si elles proviennent de la même permutalion (/?)];

.)" Toute permutalion {p') de T„j a été obtenue, car, en j supprimant la lettre /, on obtient une permutation (p) de T,„,, dont on a forcément déduit (/>'), d'après la façon même dont il a été procédé. Maintenant qur nous savons déduire T,„ de T„,,, nous n'avons plus qu'à partir de T,, lequel se compose de l'unique permutation a; nous en déduirons To, puis Ta, puis T-, , et ainsi de suite, de procbe en proche, jusqu'à r,„. C'est au moyen de cette règle que le tableau (i) a été déduit de To.

18. Nombre des permutations de m lettres. — ]3ans de nombreuses questions d'Algèbre et d'A-iialjse, on voit intervenir le nombre des permutations du tableau T,„. Ce nombre, qu'on désigne ordinairement par le symbole P,„, se déduit immédiatement de la règle de formation ci-dessus. Celle-ci montre, en effet, de façon claire, qu'entre P,„ et P,,,., on a la relation de récurrence

Celte relation étant linéaire et homogène, on en déduit, conformément à une méthode générale (Note 1),

( 3 ) P,„ = I . •^ . 3 . . . ( /n — \).ni =^ m\

Ce produit des m premiers nombres entiers se désigne souvent par la notation m!, qui s'énonce j'aclorielle m.

19. Arrangements. — Reprenons nos m lettres «, b^ c, ...^ l. Choisissons au hasard pi^plkni) d'entre elles et écrivons-les sur une ligne hoiizonlale, dans un ordre déterminé. Nous dirons que nous avons formé un (irrangenient de nos m lettres p à p. Si nous écri-