V.n ])arliculier, l'aire S du trapèze curviligne \)M)a est
148. Nous pouNfms aisf'-ment nous passer maintenant de la Céomi'--
INTKCIRALES DKFIMKS ET INDÉFINIES. l!^7
trie et inlerpréter ce qui précède en nous plaçant à un point de vue p uremen t analytique .
Soil une intégrale définie 1= / f(t)dt ('), dont la borne inférieure est fixe et la borne supérieure variable. Il est clair que c'est une fonction de x, puisque, lorsqu'on donne les deux bornes de I intégrale, celle-ci prend une valeur parfaitement déterminée. Soit donc I = C5(jr). Clierclious la dérivée z>'(x). On a [formule [iV)]
-, J- -+- Ax „ A- ^ a- -t- A.r
^{x^\x) — '^{x)=l f{t)dt— f(t)dt= i f{t)dt,
ou
ç ( ^ -f- Ar ) — 'j ( .r I = \Tf( .r H- 6 Ar ) ( o < 0 < i ),
d après la formule de la moyenne. D'où
o( X -^ A.r ) — œ ( JT )
f{x-\- 0 Ix).
Si Aj7 tend vers zéro, le second membre tend versy'(.r), puisque celle dernière fonction esl continue. Donc C2(.r) a pour dérivée f{x).
Si maintenant l'on désigne par F(.r) une fonction primiti\e quelconque de fix-) et si l'on remarque que 's(a)= f J (^t ) dt ^= o, on peut répéter le raisonnement fait plus baut et écrire, par suite,
(ri) f f(x)dx^ r(x)-F(a),
(i3) f /{x)dx = Fib)-F{a).
Celle formule a une imporla/iee capitale dans le calcul intégral. Elle nous montre que le calcul d'une intégrale définie est ramené à la recherche d' une fonction p/inutii'C de la fonction
//(fi figure sous le sig/ie 1 . JNous verrons au (^bapitre suivant comment on peut résoudre ce dernier problème.
(') Nous changeons la notation adoptée plus liaul poui' la variaMe ni;uranl sous
le signe /, afin d'éviter toute confusion entre cette variable, dite i'«/-(ai/e rf'm/e^/-a-
tion. et la borne supérieure x de Tinlégrale, car ces variables jouent des rôles entièrement différents.
l88 CHAPITRE XII.
Remarques. — 1. Si l'on applique au premier membre cle(i3) la formule de la mojenne, on a
on retrouve la formule des accroissements finis.
On peut vérifier de même, au moyen de (i3), les autres formules du n" lio.
II. On ne peut affirmer l'exactitude de la formule (i3) que si la fonction F(x) est bien définie et continue dans tout l'intervalle (a, b). 11 peut arriver en eflet que ¥ {x) soit discontinue pour une valeur intermédiaire c, tout en étant continue et adniettanty(.r) pour dérivée dans chacun des intervalles {a^c) et (c, b). Si S désigne la discontinuité, c'esl-à-dire la diiïérence F(c -f- o) — F(c — o) (n° ."îS), on a
/ f{x)dx= I f{x)dx'\- I f(x)dx
= F(c — O) — F(a) + F(6) — F(c + o) = Y(b) — Yin)-ù.
Celte particularité provient de ce que, pour établir la formule (i3), on s'appuie sur le théorème II du n" 6i, lequel n'est exact qu'autant que la fonction qu'il intéresse satisfait, dans l'intervalle (a.b), aux conditions du théorème des accroissements finis.
Intégrales indéfinies. — Les considérations qui précèdent, jointes au théorème d'existence des intégrales définies, nous prouvent que toute fonetion continue f[x) peut être considérée comme la dérii^ée d^ une infinité de fonctions, différant entre elles par des constantes.
On convient de représenler l'ensemble de toules ces primitives par
le symbole i f[x)dx [énoncez : somme de f(x)dx]., qui porte le
nom d^intégrale indéfinie.^ pour rappeler qu'il représente une fonction qui n'est définie qu'à une constante additive près.
149. Calcul approché des intégrales définies. — Nous venons d'indiquer un moyen élégant de calculer l'intégrale définie
(i4) 1= Ç f{T)dx.
Mallieureuscment, il est subordoiiiK- à la recherche d Hue lonction jjriitulive de /(.z). Or, si ce dernier problème est, dans certains cas,
INTÉGRALES DÉFÎMES ET INDÉFINIES. 189
très facile à résoudre, il v a d'autres cas où il est excessivement compliqué ou même insoluble par l'emploi des seules fonctions élémentaires (n" 74) ; et cela arrive pour des fonctions très simples placées
sous le signe / • 11 est donc nécessaire de connaître une méthode
permettant de calculer^ tout au moins d' une manière approchée^ n^importe quelle intégrale définie, ce qui résoudrait du même coup le problème de la recherclie des primitives de n'importe quelle fonction, puisqu'il suffirait alors d'intégrer celle-ci entre une borne fixe et une borne variable (n" 148).
Il existe dilTérentes méthodes de calcul approché des intégrales définies. Mentionnons d'abord les procédés mécaniques cpii reposent sur l'emploi de certains appareils plus ou moins ingénieux, auxquels on donne les noms à^ intégrateurs, intégraphes ou planimètres {' ), mais que nous ne pouvons pas décrire ici. Nous nous occuperons seulement des méthodes purement analytiques. Elles consistent toutes à interpréter l'intégrale au moyen d'une aire, comme nous l'avons fait au début de ce Chapitre. Par des décompositions convenables, on |)eut toujours se ramènera l'hypothèse a << b,J\x) >> o, c'est-à-dire à l'évaluation de laiie W^ba de la ligure 24.
loO. i" Méthode des trapèzes. — Décom|)Osons ab en /? parties
égales, dont nous désignerons la valeur commune ijar A =
Menons par les j)oints de division des pai-allèles à Oy, qui rencon-
Fi-. -«(î.
Oy
Irent l'arc AB aux |)oints M,, M^. . . ., M/, 1 i ftg. 26). La méthode consiste à remplacer l'aire S/ du trapèze curviligne M/M/^, /»/j., /;i/
(') On les appelle ainsi (|u.infl ils penneltenL de niesiirer direelenient l'aire imitée par nne courbe plane (luelconque, question (]iii se rattatlie étroitement, omme nous l'avons vu et le verrons encore, au calcul itiléyral.
igo cnAi'iTRi: \ii.
parcelle du trapèze reclilii^iic uhlenii en U'iuMnl la coide M/M,,.,,
c'est-à-dire par -{)'i + yi+\), t'n appelant ^■, l'ordonnée de M/,
soity(T/l. On oblienl de la sorle, pour \aleiii' approchée de 1 intégrale,
lf(a)^ f(b) 1
^ \ ~i r- /(.ri) ^ J (T-i) ^ . . .-^ /( Xn-l ) l
La figure montre que Terreurs/ commise sur l'aire S/ est beaucoup j)lus petite que si l'on avait pris pour valeur approchée l'aire du rectangle /'/considéré au n" 1 1!2. On peut, du reste, obtenir aisément l'ordre de grandeur de cette erreur.
Soit F(j:) une jii'iniili\e de f(x). (3n a
(i6) ei= F(,r/-+-/0 — I'(-r/)— ^[/{x,) ^ /{^i-^ h)].
Si l'on développe suixant les |)uissances croissantes de //, eu appliquant la foi'uuile de Tajlor (n" llo), on constate que le premier
terme non nul est — - — ^ ^ — ; de sorte que, si Ji est assez petit,
£/ est de l'ordre de /r', et l'erreur totale s esl de l'ordre de
nh^ = {h — a )lr-.
On peut ol)leiiii' une ('valiiat ion jiliis picciso de î,, grâce à l'aiiifice siiixanl. qui rappelle celui île la lorniuie de iMac-i>aui'in ( n" 11 ii et que nous empruntons à Leçons ! n" ',\'.\[ ).
Posons, en nous "uidant sur ce (nii vient d'èlre \u, £/= — X, À clanl par
conséquent déterniim- pai- ré(|ualion
(17) V{Xi-h h) — ¥{Xi) — -fiXi)— -f(Xi^ II) '-1 = o.
Considérons la fonction obtenue on remplaçant au preinicr membre /i par X — Xi; soil
o(x) = F(x) - \'(x/} - -——J-fixi) - ' • '/(>•) - -^— l.
•ielte lonction >■ aiinnle idcnliqurmcnl jHiur x = .r, et, en vertu de (17), pour .r = ,r/-i- A. jtonc '•a di^riM-c
INTEGRALES DEFINIES ET INDEFINIES. I9I
s'annule enlvc Xi el Xi-— h. soit pour a"',-. INIais elle s'annule aussi pour a~ ==3",: donc
s'annule pour une certaine \aleur ;,• comprise entie Xi et x',- et, a fofliori. entre Xj et ar, -i- h. On a, dés lors,
En conséquence, si Ton appelle M une limite supérieure de 1/(^)1 dans l'intervalle {a, b), on a certainement
loi. 1" Méthode de Simpson. — Toutes les méthodes d'intégration approchée reviennent à remplacer l'arc de courbe AB par une antre ligne qtii s'en rapproche le plus possible et pour laquelle on sache elVectuer la quadrature ('j. Suivant la manière de choisir cette ligne, on obtient telle ou telle méthode. Dans la méthode des trapèzes, on a pris wnç. ligne polvgonale inscrite. Dans celle de Simpson, que nous allons décrire, on prend une ligne constittiée par des arcs de parabole.
En conservant les notai ions précédentes, faisons jiasser par les trois points consécutifs M/, INl/^.!. M/^o une |)arabole daxe paiallèle à Oj' et d équation
(19) j- = ar^-H p:r-^Y'
où a, j, "' désionent trois constantes, qu on déterminerait en écrivant que léqualion est véi-iliée pour (.r/,j)'/), (jr,^., . r/+i ), ( x/^o, j',^.^)- L'aire correspondante S^, que nous allons sidjslil lier à I aire exacte S/, a pour valeur
a X- -\-'^ix
l)dx
î -t- Ti+
,Xi
(') On désigne ainsi le calcul d'une intégrale définie quelconque, pour rapi^eier (|ne cela équivaut à évaluer une aire plane, ou, comme on dit, à faire la quadrature de celte aii'e.
rga chapitre \ii.
Si Ion remarque c[ue x/,.2 — Xi^^ilt, que .r/^, = — ^ — '-^^ et si Ion lit'iit compte de (^19), on trouve, après un calcul élémentaire ('),
(20) S;=: -(j'/H-4jK/+.+JK,+2).
En faisant successivement i= o, 2, 4i 6, . . ., 2/> — 2, et supposant n pair et égal à 2/?, on obtient pour valeur approchée de I
La figure fait deviner que Terreur doit être plus petite, pour une valeur donnée de «,que dans la métliode des trapèzes, car les arcs de parabole semblent plus voisins de la courbe que les cordes M,M/,,.
Effectivement, on a
Si Ion développe suivant les puissances croissantes de A, on
constate que le premier terme non nul est f^''^(^Xi). D'où l'on
conclut que, cliaque erreur partielle étant de l'ordre de h'', Verreur totale est de L'ordre de h' .
152. 3" Méthode du développement en série. — Si la fonctiony(x) est développable en série entière et (|ue l'intervalle («, b) soit intérieur à l'intervalle de convergence, on peut intégrer terme à terme (u" 102). On est alors ramené à un calcul de série, ce qui se fait j)ar la méthode du n" 54.
Ce procédé, loisqu'il est applicable, est souvent avantageux, surtout s'il conciuil à une série ra|)idement convergente. Mais on ne peut pas l(iii|()urs 1 cniplover, car il est subordonné au (1(''\ fdoppenrent de/(a:) en série entière.
153, Extensions de 1 intégrale définie. — Nous avons défini le (') liernplacer x-^^^x- par
puis axj pary, — ^ix, — y. et ax;+i, o-xj+i par les quantités analogues.
INTEGRALES DEFIMES ET INDEFINIES. igS
symbole / f(x)clx^ en supposant cpie a et b étaient deux nombres
finis et que la fonction f {x) était finie et continue clans Tintervalle (rt, b). On peut, dans certaines conditions, s'affranchir de ces restrictions et étendre la notion d'intégrale définie, moyennant des conventions convenables.
1. L' intervalle (V intégration est infini. — Proposons-nous de définir le symbole / / [x)dx^ en supposanty(j:) finie et continue tlans tout l'intervalle (a, H-x) ('). Dans ce but, considérons l'intégrale F(;)= / f{x)dx] elle a une signification parfaitement déterminée, quel (pie soit ; > «. Imaginons que c- tende vers -[-ce.
Si F ( z) a une limite finie J.. on dit (jue V intégrale f f(x)dx
^ Il
a un sens, ou qu'elle est convergente ; sa valeur est ),, par définition. Si F(;) augmente indéfiniment ou ne tend vers aucune limite
déterminée, V intégrale / f[x)dx na pas de sens, elle est
'-■ ij divergente.
Lorsqu'on sait e/lectuer la quadrature j f{x)dx, on peut reconnaître directement la nature de l'intégrale et obtenir, le cas écbéant, sa valeur; on est ramené à une question ordinaire de limite. Quand il n'en est pas ainsi, ou lorsque la primitive de f{x) se présente sous une forme trop compliquée, on est obligé d'étudier la nature de r intégrale par des procédés spéciaux, qui offrent la plus grande analogie avec les procédés en usage dans l'étude des séries (-).
Quoique cette théorie soit en somme très élémentaire, nous ne pouvons l'exposer ici eu détail et nous nous bornerons à donner quelques brèves indications.
Il y a lieu, tout d'abord, de distinguer deux ras, suivant (jue la fonction f{x) garde un signe constant à partir d'une valeur sullisamnienl
(') On ne pourrait le faire directement, comme au n° 14'2, car on ne peut pas partager l'intervalle {a,-i- y.) en un nombre fini d'intervalles finis.
(■-) On peut d'ailleurs rattacher l'une à l'autre les deux théories et déduire de l'une des critères de convergence pour l'autre.
JIaag. — Cours, I. i3
ig', CHAPlTItE XU.
grande de w ou. au contraire, change coii^laniment, de signe quand .r croît indi'lininient i ' ). Dans la première hypothèse, qui est hi seule que nous considérerons, on établit les critères de convergence en ])rovvdanl par coniparaison. Et pour cela, on s'ap|)uie sur le théorème suivant :
TiiKORK.MK ( '). — Soient /(x) et S'(cr) deux fonctions finies, continues et positives entre a et -+- x.
1° Si l'on a f {x)$ kg{x) et que 1 g{x)dx converge, il en est de
* ti
même de I f(x)dx.
•>.» Si l'on a f(x)"^Ag(x) et que j g(j')dx diverge, il en est de
même de j f{x)dx.
En eiïet, si z varie entre a et -f- x, les fonctions ?"(-)= / f(.r)d.r
' ti
et G(;;) = / g{x)dx sont croissantes, car leurs dérivées /( -: ) et giz) sont
positi\es. Ceci étant :
i" <)n a évidemment (3)
F(^)£AG(j)<AG(-i-ocj.
Comme l' (2) croît, elle tend vers une limite finie, |)oui- ^ = -1- oc.
2" On a
F(z)lAG(>);
comme G(^) augmente indéfiniment, il en est de même de Fi^V
En prenant g(x } ^^ et lemarquant (]iie lintégiale correspondante.
qu'on peut calculer directement, converge si m ^- \ et diverge si /n L i , on peut énoncer le théorème suivant :
TiiKOHKMK. — Si le produit .r"'f(x) reste inférieur à un ixinihic fixe et que m soit > i , l'intégrale est convergente.
Si le produit x"\f{x) reste supérieur à un nombre fixe mm nul et que m soit \, l' intégrale est divergente.
On peut en tirer la règle pratique suivante :
(') De niéuii! ciu'oii ilislinuue les séries à lei'mcs |)osilifs cl les séries à termes quelconques.
(') ^f- théorème I, n" 'i..'.
(') On peut, en ell'et, [);irtager l'intervalle (a, z) de la même manière pour K et AG. Il est alors évident que hi somme 1 ( n" I'i'2) sera plus grande pour AG que pour 1"'. I)onr., à la limite, on voit bien que AG sera supérieure à !•'.
INTÉGRALKS DIÏFIMKS ET INDÉFIMES. 1Ç)5
RÉiiMi 1>RVTI0VE. — Choisissa/i/ — pour infiniment petit principal , on
cherche Vordre infinitésimal de la fonction f(x), qui doit s'annuler pour T infini sous peine de dii'ergence. Si cet ordre est >i, Vintéi;rale a un sens; s'il est ^i, elle n'en a pas.
Bien entendu, il peut arriver que l'ordre infinitésinnal ne soit pas déterminé (n"120). Dans ce cas, ii faut essayer l'application directe du tliéorème.
Le symbole / /{x)dx se définit comme le |)récé(lent el s'y ramène d'ailleurs par le changement de x en — x. Enfin, si les intégrales / et / sont séparément con\ergentes et ont pour valeurs
respectives A et B, le symbole / /(x)clx représente, par définition, la somme / f[x)dx + / f[x)(lx = A — B.
•^ — ûo 'a
154. II. La fonction sous le signe j devient infinie. — Supposons d'abord que f{x) soit finie et continue dans tout Tinlervalle (a, Z>), sauf à l'extrémité b de cet inter\alle, pour laquelle
elle devient infinie ('). L'intégrale F(;)= / f{x)dx a un sens
parfaitement déterminé tant que :; est compris entre (7 et b. Imaginons (pie, dans ces conditions, :; tende \ers b. SiF {z)a une limite finie k,
on dit que l' intégrale j f{x) dx a un sens, ou qu'elle est conver-
getile ; sa valeur est a, par définition. Dans le cas contraire, V intégrale Il a pas de sens, elle est diveigente.
On peut repéter ici tout ce qui a été dit au numéio précédent, avec de légères modifications que le lecteur apercevra aisément.
En particulier, on a la régie pratique suivante, oij l'on suppose, pour fixer les idées, a < b :
RÈGLE l'HATiQLE. — On posc b — X — il et. regardant h comme infiniment petit principal, on cherche l'ordre in /initésirnal m de -r-, j- •
J J ' - fit) — /i )
L'intégrale a un sens si «i <i ; elle n'en a pas si m i.
(') Un ne peul, dans ce cas, délliiir (lircclenieiil riiitéi;ralc, car les ilernicrs termes de la somme z (n" 142) se présenteraient à la limite sous la lorme o x » el n'auraient aucun sens déterminé.
igG CHAPITRE XII.
On définit de la même façon le symbole / f[x)da:, dans le cas
«^ Il où J\x) devient infinie pour x=:a, comme étant la limite de
j f{x) (Ix, lorsque ; tend vers a par valeurs comprises entre a et b.
Enfin, supposons (pie f{x) devienne infinie pour une certaine valeur x, comprise entre a et b. On étudie séparément les deux
intégrales / /(x) dx et / f{x)dx. Si elles sont toutes deux con-
vergenteset ont pour valeurs respectives A etB, le symbole / J\x)dx
représente. pardéfinition, la somme / f{x)dx-\- j f{x)dx^^.-\'V^.
De même, si /(.r) devient infinie à la fois pour ^ =: « et a? = 6, on choisit c quelconque entre a et b et l'on écrit
f f(x)dx= f f{a.-)d.v-+- f f{x)dx.
l5o. Intégrales de fonctions imaginaires. — Ou jieut étendre, d'une manière élémentaire, la notion d'intégrale à certaines fonctions imaginaires, comme on leur a étendu déjà la notion de dérivée (u°79). Si J\x') et g{x^ désignent deux fonctions réelles de la variable réelle x^ on ;i, par définition,
(22) / \fKx) -4- ig{x)\ dx = I /(x)dx-^i j g{x)dx.
La dérivée de cette intégrale est, en vertu du n" 79, J\x)-\- ig'(x),
c'est-à-dire la cjuantilé sous le signe / , comme cela a lieu j)Our les
intégrales réelles. Il résulte, en particulier, de là et des formules établies au 11" 109, qu'on a, en désignant par c une fonction imaginaire de X et par z' sa dérivée,
(23) f e^z' dx = I e~ dz — e~ -h consl.= C' -h \ -h V> i ( A, B = consl.) ;
(24; I cos z dz = a'inz -h conal., j s\nzdzz= — cos- -h const.
INTEGRALES DEFIMES ET INDEFINIES. I97
De même, en s'appinaiit sur la fin du i\° 79, on a
y' -m-!-l z'" dz = r- consl.,
en supposant m entier, positif ou négatif, mais ^ — i.
Quant à 1 intégrale / —^, elle est égale à Iog3, si l'on a défini cette
dernière fonction et calculé sa dérivée (exercice proposé n° 18 relatif au Cliapitre \ II). Sinon, on peut écrire
, „ r dz r i u -^ iv' ) dx
J z J u -i- ll>
/( u' ^ iv' ) (u "') / f ( i(u' -r- vv') dx M 2 -H f2 J U- ~r- (■"-
. r ( i'^' — i'u')dx , ,—- . i>
-~ i I r ; = loa: ^ U- ^ i-- -^ i ave tan" - •
On retrouve d ailleurs la définition de log; (exercice précité).
15(3. Nous avons \ii. au Chapitre |)récétlpnt, liiittrtl qui réside dans la recherche des primitives d'une louclion donnée /(.r). C'est ce problème, c'est-à-dire le calcul des intégrales indéfinies, ou calcul des quadratures, qui va faire l'objet du présent Chapitre.
Tout d'abord, il convient de poser nettement le problème. Quelle que soit la fonction /(j^), nous pouvons toujours calculer ses primitives avec une approximation aussi grande que nous le voulons, puisque nous savons évaluer de cette manière l'intégrale définie
/ f(t)dt, pour n'importe quelles valeurs de Xq et x (n"^ 149 et
suivants).
Mais ce n'est pas ainsi ijue nous entendons résoudre la question.
Supposant que la fonction f{x) est une fonction élémentaire ( n" 7i), nous nous proposons de chercher ii quelles conditions
l'intégrale indéfinie j f{x) dx est aussi une fonction élémentaire
et de calculer cette dernière.
Disons tout de suite que le problème, envisagé de ce point de \iie, est fort difficile et <pi il n existe |)as de méthode générale permetlant de le résoudre dans tous les cas. Entre autres choses, // est soutient fort pénible de reconnaître si une quadrature peut ou ne peut pas se ramener aux fonctions élémentaires. 11 ne faudrait |)as croire, en efTet, (pie toute fonelion éh'mentairc admet unepnmilive élémentaire. Il y a des (juadralures d'apparence très sinq^le, telles que
/■> I — dx^ I e*'''f/j", / sin(j;2)rf,r, ..., (pu ne peuvent être calculées par les fonctions élémentaires; elles
définissent des fonctions transcendantes nouvelles, qu'on doit étudier à part et dont on peut, si l'on veut, calculer les valeurs numériques, pour les cons!i;i)er dans fies tables analogues aux tables de logarithmes ou de lignes trigonométriques. 11 ne rentre pas dans le cadre de cet Ouvrage d'aborder ce côté de la question. Nous cillons seulement passer en i-evue les diffère nls types de fonctions quon sait intégrer par les fonctions élémentaires, en indiquant pour chacun d'eux la méthode à suivre pour effectuer la quadrature.
157. Primitives à retenir par cœur. — Tout d'abord, il est nécessaire de connaître par cœur et sans aucune hésitation les primitives d'un nombre restreint de fonctions auxquelles on ramène toutes les autres. Ces fonctions sont tout sim[)lernent les dérivées des fonctions élémentaires les plus simples qui ont été calculées aux Chapitres V et NI. En voici la liste :
I X'" dx = (m y^ — I ) ;
' dx
dx
(I) j'i j s'\nxdx=^ — cos.r, / cos x dx ^=^ ?,\n x ;
r dx r dx
I =; lanir:r , / -; = — cotx ;
/ cos-.î- ./ sin-a;
dx
arc tanu^r :
= arc ?-\nx := — arc cosa?.
Ce sont là les intégrales qu'il est absolument indispensable d'avoir constamment présentes à la mémoire. A côté de cela, il j en a quelques autres qu'il est utile également de connaître, bien qu'elles puissent se ramener aux précédentes. Citons les principales,
(') Observons en cfTel (|ue I05 x et log ( — x) onl tous deux pour dérivée — • On
prendra donc, [)our r)riinilivc de — ^ ln^ x ou lo" ( — x) suivant (lue x -o ou x<,o,
c'est-à-dire, en s(jinme, log \x\.
200 CHAPITRIi XIII.
dont le lecteur vérifiera rexactilude en preiianl les dérivées : / tang.r dx = — log | cosr |, / col.r dx = Ing [ sinr | :
(II
tan;;
r dx
