COST

tnii!

= log I X -(- \/x- -r- a I (a = const.).

Voyons maintenant quels sont les procédés généraux qui permettent de ramener certaines catégories d'intégrales aux intégrales fondamentales (jiie nous venons d'énumérer.

lo8. Méthode du changement de variable. — Soit à calculer

(I) y^F{x)= f/{x)dx,

c'est-à-dire en somme une fonction dont la diOérentielle soit

(a) ^r = f{-r)dx.

Faisons un changement de variable quelconque

L'égalité (2) devient (n° 139)

(4) df^/[^it)]^'(t)dt = o(j)d/,

laquelle é(|ui\aul à

(5) y^Jg{t)dl.

On M)it donc que, jjour Iraiisfoiinci' I intégrale (1) par le cliangenient de variable (3), il suffit de remplacer, dans Vêlement difféleniiel f(x)dx^ X par o[l) et dx par la différentielle ^'(^) dt de celte fonction. Autrement dit, le symbole dx (pii, jus(ju'à j)résenl,

devait être regardé, sous le signe / , (;omme accolé à f{x) et ne possédant par lui-même aucune signification, peut ctrc inainicnant regardé comme une différentielle. I.^élênirnl dij/érenticl es/ le produit de J'{x ) par la différenl telle dx^ et V on est en droit de lui applifjucr toutes les règles de caleul des dijférentielles (Cliaj). XI).

Ceci ('tant bien compris, voyons comment on peut en déduiie une méthode d'inléi;ration.

Imaginons qu'on ne sache pas intégrer (i), mais qu'on sache intégrer (5) et soit G{t) la fonction obtenue. La fonction F (x) cherchée est alors définie par l'identité

ou, si l'on veut, par les deux équations

Si Ton désire avoir l'expression explicite de F(ic), il faut introduire la fonction inverse t = 'l {x) définie par (3) et la substituer dans G(t). Ceci peut d'ailleurs donner lieu à des difficultés pratiques considérables, à cause de la résolution de l'équation (3) par rapport à t. Dans ce cas, il vaut mieux garder les équations (-), qui définissent tout aussi bien la fonction cherchée el qui peuvent être regardées comme les équations paramétriques (Tome II) de la courbe représentative. On peut aussi quelquefois avoir simplement l'équation implicite de celle-ci (Tome il) en éliminant t entre les deux équations (-), sans qu'il soit pour cela nécessaire de résoudre l'équation (3). Dans ce cas, la fonction j' = F (.r) est une fonction implicite ( n" 135) définie par une équation de la forme

159. Il importe d'examiner comment on calculera, par cette méthode du changement de variable, une intégrale définie

I = I f{x)dx.

Tout d'abord, si l'on peut obtenir simplement l'expression explicite de F(^), il n^j aura qui'à appliquer la formule (n° 148)

(9) I = Fr:r,)-F(.ro).

Sinon, on calculera une cpielconque ^o des valeurs de f qui donnent à csf^) la valeur Xq et, de même, une valeur ^, telle que '-p(/,) = x^. On aura alors, en vertu de l'identité ((3),

202 CIlAPlTRi: Mil.

Remarque. — On jx'ut être tenté Jéerire tout de suile

(11) I = / .^'{t)dt.

Mais ceci nesL permis i.\n à la condition que g{t-) reste finie et continue dans l intervalle (t^, t,). Or, il peut arriver que cela ne soit pas, quand bien même f{x) serait finie et continue dans lintervalie {xq^i Xi)i car il peut se faire que lorsque t varie de ^o ^ ^m X varie de .2:0 à X), mais pas toujours dans le même sens et en sortant de [intervalle (^01 -^i) ^l atteignant une \aleur de discontinuité de/(».

160. Vu lieu de faire le cliani;enienl de variable sous la forme (^3), on peut aussi se donner t en fonction de x, soit

Ceci est avantageux toutes les Jois qu'on découK're un moyen de mettre l'élément différentiel f{x) dx sous la forme g{t) dt., la fonction g étant plus simjile que /.

Si l'on sait intégrer / g(t)dt, on aura, sans aucune difficulté,

\ oici quelques exemples fréquents où l'on procu-de de celle manière ( ' ) :