I. L'(''léin<'nl diOV'icntiel se présente sous la forme

/( T ) dx — g{x-)x dx . On pose alors t ^= x- .

II. f{x) dx = i'(sin x) cosx dx[ f(x) dx = ^(cos x) sinx dx. On pose, sniviint h.' cas,

^'\nx = /. coix = t.

{' ) Avant de commencer le calcul d'une quadraliire, nous conseillons au lecteur d'observer toujours altenlivemenl son éléMient (iiiïércntiel , alin de voir si Ton peut le simplifier comme il vient d'rtre e\[»liqné.

Ou pose

tanga? — t.

On pose

t^ g{x)\ l'intéorale devient

CALCUL DES QUADIUTLRES. 'oS

dx

dt , , , , , - X 1 — = loi!' U = loir g(x) .

161. Intégration par parties. — Soient h el r deux fonctions de x. On a l'identité (n" liO)

d { uv) = « dv -f- p ^y^/ , qui ëqnivaut à

uv = / u dv -\- \ V du

(i3) / " dv = ?a' — / v du.

Cette formule, très importante, est la formule d^ intégration par

parties. Elle montre que, si l'on sait calculer M' f/;/, on en déduira

/ u dv. De là résulte donc une méthode d'intégration qu'on applique

de la manière suivante. On essaie de décomposer l'élément difï'érentlel en nn produit

f(^x)dx = fi{x)f.2(x)dx,

tel qu'on sache effectuer la quadrature ç ^ j f.^{x) dx et ensuite la

quadratuie / r /', (x)dx. On pose alors u = /\{x) et Ton appli(|ue la

formule (i)). H peut se faire d'ailleurs qu'on ne sache pas calculer

immédiatement / vdit; mais si cetle intégrale est |)lus simple (|ue la

proposée, on aura fait néanmoins un progrès. C'est ainsi (pi'il arrive (pi'une ou plusieurs nouvelles intégrations par parties conduisent au résultat.

Voici des exemples classiques qu'il est bon de connai'lre.