I -i- i J =r — [coso: -H sin^ -4- i{%\nx — cos
En égalant les parties réelles et imaginaires, on retrouve les formules (i4)-
W . j f(x)\o^g(x)dx^ f(x)arcliingg(x)dx. 1 f(x) ave s'\n g (x) dx . — Supposons qu'on sache calculer v = / f(x) dx. Si l'on intègre par parties, on se ramènera au calcul des intégrales
qui seront, en général, plus avantageuses que les proposées, parce qu'on aura fait disparaître les fonctions log, arc tang, arc sin.
En particulier, si f{x) est une fraction rationnelle dont tous les résidus sont nuls (n" 213), v sera aussi une fraction rationnelle; de sorte que si g{x) est, en même temps, une fraction rationnelle en JC, ou du Ivpe (î'.a) ou (24) (n°^ 165 et 166), on saura certainement effectuer les deux premières quadratures. Quant à la troisième, elle portera sur une différentielle algébrique ; mais on ne pourra l'intégrer que sous certaines conditions, à cause du radical yi — g-(^x).
162. En outre des deux méthodes d'intégration par changement de variable et par parties, il convient de mentionner celle qui consiste à décomposer l'élément dlfférenLiel en une somme d'éléments plus simples^ pour a[)j)li(juer ensuite la formule évidente
j (A -^ A^ ■ ■ --^ fn) dx = J fi (Lr - j J\dx^...^j fn
dx.
Le lecteur a certainement remarqué (.\u aucune de ces trois méthodes ne donne un moyen sûr pour effectuer toute quadrature. Elles s'appliquent dans certains cas et ne donnent rien dans d'autres. Il faut une certaine luibitude du calcul intégral pour savoir s'eu servir
2o6 riIAF'ITIΠXIII.
à |)iopos. Il ne \a jiliis en èlre de même dans les paragraphes siiivanls. oti nous allons indir/rrer certains types de qitadratures qui se calculent suivant des nuïlhodes précises et jamais en défaut.
163. Intégration des fractions rationnelles. — La méthode consiste à décomposer la fraction en rlrmcnts simples (n° 214) et à intégrer terme à terme.
On se ramène, en eflet, à des intégrales de la forme
dx
I^a première est égale à - — — (n" loT). La seconde sécril, en posant x — a ^ t,
/-'" dt = = — -, SI m ^\,
1 — ni {III — I ) ( X — a )'"- '
OU
dt
f 3g| ^1 = log|.r — a|. si m = i.
Comme on le voit, on ohlient des termes rationnels el des teiunes logarithmiques. Pour que ceux-ci n'existent pas, c'est-à-dire pour que l'intégrale soit algébrique, il faut et il su /lit que tous les résidus soient nuls ( ' ).
164. Si l'on veut éviter I lulrodiielion de fouetions imaginaires (- ), ce qui précède n'a de sens que si tous les pôles sont réels. Dans le cas où il v en a qui sont imaginaires, on applique le mode de décomposition rc-elle du n" 217. Outre les termes (i:'j), on a alors à intégrer des exj)ressions de la forme
(ib) / - — ■ dx,
J {x-^-\- px ^q)"'
le Irinome x- ^ p x -\- q ajaiit ses racines imaginaires.
( ' ) Nous admettons que toute expression de la forme
A log I .r — rt I -+- P. lug \x — b\-^ ...-}-L log I .r — / I
ne peut iHre nulle idcnliqucment que si les coefficients A, B. .... I, son! tous nuls, ce qui est évident si l'on remiiri|ue qu'en sup|iiis;int par exciii|)!c A -- o elle deviendrait infinie pour x — a.
{'■ } On peut les inti'oduii-e movennani les conventions f.iilcs au n" 155.
