C.VI.CUI. DES QL'ADRATURKS

Coiuniençuus par la siiii|)lilîer de forme. Déconij)osoiis le trinôme x- -\- p X -\- q eu une soimue <le deux carrés :

Puis, posons rinléîirale devient

X — 7. = 'pt;

Le premier ternie du second membre se calcule en posant t-=zu

(n" 160, I), ce qui donne ou — loo(i+/-),

sui\ant que m est différent de i ou égal à i. Heste à calculer

On emploie ordinairement, dans ce but, l'arlijîce suivant On peut écrire

dt.

^"' = / ~i TT-^ (^t = \,n-i— / —

Puis, en intégrant par parties et sup|)osant /;? >> i ,

f ''^\ =Lft -^^^"' =1 futï l 1

J [\ — (-)'" ij , i — r- \"' 2,' li i — m )ii ^ t- )"'-^ j

f 'li 1

Portons dans (i 8)

hn = 'm-i •

■J. (i — fn){i-+- t- j"'-i -2(1 — m )

u ( I — /Il )

(im — 2)[,„= {■Ifll — j)I/„-i -r-

On oblienl une formule de récurrence (jui pernieltra de calculer I, eu t'ouclion de Ii (Note 1). D'autre part,

= arc lani; /.

Donc, nous pouvons considérer comme connue l'intégrale I,„, pour toutes les valeurs entières de m.

Une autre méthode^ qui est peut-être plus rapide et plus facile à

retenir, et à laquelle fait sons:er assez naturellement 1 expression >

consiste à poser t ^= tang'^. Doù

J cos^cp J "' ^

intégrale qui se calcule suivant la méthode du 11° 169. Par exemple, pour m = 2, on a immédiatement

21) 1,= / cos'^od'i = - / ( i -+- cos 2 'S.) do = -

ti SU12C I

^ = - aie lan"7-+-

165. Intégrales se ramenant aux fractions rationnelles. — On peut ramener au cas précédent uu très grand nombre de types difïerents d'intégrales. Citons en premier lieu le suixanl. (|ui se rencontre quel- ([uefois.

dx.

où R désigne une fraction rationnelle des variables qui figurent dans le crochet, et a, 3, .. ., A des nombres commensu râbles.

Réduisons toutes les fractions 7., !j, . . . , À au même dénominateur ///.

On a alors, par exemple, a :^ —, d'où

I ax

Dès lors, posons

Nous aurons

ex -\- d

a X ^ h \ * ex -^ d ,

APPLICATIONS DES Ol'ADR \TL IIES.

, . \/n \ \in , 17.1

puisque le quolienl-; — = ;- leiid vers i quand ds tenu vers zéro.

1 • ' a/n p as '

Supposons maintenant (/ne l' on connaisse la densité p en chaque point M de AB. Celte deusilé sera une foncliou de l'arc 5 = AM. Nous allons calculer la niasse totale de A13. Décomposons AB en petits arcs partiels tels (|ue MM'. Si p est la densité en M, la masse de MM' est, au second ordre près, dm = p ds. En faisant la somme de toutes les quantités analogues et cherchant la limite de cotie somme lorsque les arcs partiels tendent vers zéro, on a

(17) m = I p ds,

en appelant / la longueur AB.

Remarque. — // est souvent plus commode de ne pas garder s comme variable d'intégration^ mais de calculer p et ds en fonction d'un paramètre t fixant la position de M sur AB et de la différentielle dt de ce paramètre. On intègre ensuite entre /,> <"l ^t-

Pour bien marquer cette indétermination qui réside dans le choix de la variable d'intégration, on écrit souvent la formule (17) sous la forme

(^ 1 8 ) m — I p ds =^ I p ds

(énoncez : somme le long de AB ou somme de A à B de pc/^), étant entendu que ces symboles, qu'on appelle des intégrcdes curvilignes, se calculent par le choix convenable d'un paramètre t comme il vient d'être expliqué.

179. 2" Masse d'une surface. — Une surface est dite homogène si deux portions de cette surface ont même masse dès cprelles ont même aire. Le quotient de cette masse par cette aire est la densité superficielle de la surface.

Soient maintenant une surface S non homogène et M un de ses points. Découpons un petit morceau de S conq)renant M ; soient AA

et Am son aire et sa masse. Le quotient -^ est la densité superficielle moyenne du morceau considéré. Supposons maintenant (pie Haag.— Cours, I. i-"

celui-ci tende vers zéro dans toutes ses dimensions (' ), de manitTc à se réduire finalement au point M. La limite p de — r- est appelée densité superficielle au point M.

Si AA est pris pour infiniment petit principal, la partie j)rin(ipale de \ni est dm = p AA.

Supposons connue la densité superficielle en chaque point ]M deS. C'est une fonction de deux variables indépendantes, à savoir les paramètres qui fixent la position de M sur S (t. II). Proposonsnous de calculer la masse totale de S. La méthode générale est la suivante :

Découpons la surface en petites bandes, en y traçant une suite de lignes très voisines les unes des autres {^fig. ^j) et à chacune des-

Fig. 3-.

quelles nous faisons correspondre un certain j)aramètre u, de telle manière que lorsque u croît de U(, à m,, la ligne (u) balaie toute la surface d'une façon continue. Evaluons la masse de la petite bande comprise entre les lignes consécutives u et u-j-du, ou plutôt la parlie principale dm =i f(u) du de cette masse. La masse totale cherchée est la limite de la somme de toutes les parties principales analogues lorsque les bandes tendent vers zéro, c'est-à-dire l'intégrale définie

Le calcul de m est donc ramené à une quadrature quand on sait évaluer la masse dm de chaque bande. Occupons-nous alors de celte dernière.

(') On entend pur là, d'une manière précise, qu'il doit pouvoir être enfermé dans une splière de centre M et dont le raj'on tend vers zéro. Il ne sufdl pas que l'aire AA. tende vers zéro, ce qui pourrait arriver en supposant qu'elle prenne une forme allongée, mais infiniment mince, de façon à se réduire à la limite à un petit arc passant par M. Dans ce cas, la limite o dépendrait du choix de ce p(!lil arc.

APPLICATIONS DES QlAOUATl RES. 227

Comme le choix des lignes (?/) est a?-bitraire, il faut tâche/d^e/i profiter pour simplifier le plus possible le calcul de dm.

C'est ainsi qu'on peut prendre pour lignes (m) les lignes le lon<j; desfjuelles la densité reste constante. La densité varie alors infiniment peu dans chaque l)ande et il suffit, pour avoir r/m, de multiplier l'aire d\. de cette bande par la densité p le long- de (m). Si donc on peut calculer, d'une manière élémentaire^, l'aire f/A, on aura de suite l'élément difFérentiel dm.

Mais il peut arriver qu'en recherchant cette simplification, qui consiste à rendre chaque bande sensiblement homogène, on complique considérablement la forme de celles-ci et par suite le calcul de d\. Il vaut mieux, dans ce cas, rechercher des bandes de forme simple. On calcule alors dm par une intégrale définie, de la manière suivante :

Découpons la bande (m, u + du) en petits morceaux^ par des lignes transversales dépendant d'un paramètre variable r {fig- 3-). Le petit morceau (;/, // -J- r/;/ ; r, v + dv) a une masse dont on aura la partie principale dm' en multipliant la densité p au point (w, c) par l'aire du petit morceau, ou par la partie principale de cette aire ('). Cette partie principale f/m' sera de la forme ¥ {^u, v) dudv. En faisant la somme de toutes les quantités analogues et passant à la limite, on aura, en remarquant que u et du restent constants tant que nous en sommes à la même bande.

(19) dm

= dx I F ( u , V ) dv = f (u ) du .

Dans cette intégrale, i^ est la variable d'intégration, c'est-à-diie (jn'on doit y regarder u comme une constante. Observons aussi qu'il peut arriver que les deux bornes Vq et p, dé[)endent de la bande choisie, c'est-à-dire de u. Dans tous les cas, dm se présentera sous la (orme f{u) du et le calcul s'achèvera comme il a été exj)li(pié plus haut .

On voit (jue, dans le cas plus général, la masse d'une surface s^ évalue au moyen de deux fjuad ratures (-).

( ' ) Car le pelil morceau considéré est injiniment petit dans toutes ses dimensions.

(-) Le lecteur qui poursuivra ses études iuatliéniati(|ues reconnaîtra, dans les considérations que nous venons de développer, la méthode générale de calcul dee intégrales doubles ou intégrales de surface.

CHAPITnE \IV.

Remarques. — Si 1 on suppose o === i sur loule la surface, la niasse €st égale à l'aire. Les considéialions qui précèdent penneltent donc de calculer l'aire dune surface quelconque, plane ou courbe, ce qui complète les indications données «ux n"^ 17i à 17G.

180. 3" Masse d^un volume. — Un volume est Jwnwgène si deux de ses portions ont même masse dès qu'elles ont niêine volume. Le quotient de cette masse j:)ar ce volume est la densité du volume.

Soient maintenant un volume V', non homogène, et M un de ses points. Découpons un petit morceau comprenant M, de masse \m et

de volume AV. Le c[uotient -—^ est la densité moyenne Aw pelil morceau. Faisons tendre celui-ci vers zéro dans loutes ses dimensions ('). La limite p de —^ est la densité au point M (-). Si AV est pris pour

infiniment j)etit principal, la |)arlie principale de Lm est dm = p A\ .

Supposons connue la densité en chaque point iM de V. C'est une fonction de trois variables^ par exemple des coordonnées de M (t. II). Proposons-nous de calculer la masse totale.

La méthode générale est en tous points analogue à celle qui nous a servi pour la ruasse d'' une surface. On a seulement, comme on va le voir, trois quadratures au lieu de deux.

Découpons le l'olume en petites tratiches {Jig- •^>8\ par des sur-

Fig. 38.

faces ti'ès voisines, dépendant d un paramèlrc // tel i|uc, lors(pi(' u croît de </„ à f/, , la surface (m) bahiic loiit le \(»liim('. Evaluons la

(') Ily a licii (le f;iire ici une leiiKirquc ;iniiloguc y celle de la juigc 2.!G (nolei), que le licteur formulera aisément.

(^) On clil iiuelquerois lu densité sjtaliale.

masse de la petite trancJie (a, a + du)^ ou ]>liilôt sa partie principale f/m =y"(«) (i^<. InlégranL entre u^ et «,, nous avons la masse cliercliée

{•f-O) m = / /(") du.

Tout revient donc au calcul de dm. On le simplifie le plus possible par un choix coiwenable des surfaces {u). Par exemple, on prend les surfaces z ^=cojist., à condition de ne pas trop compliquer la forme des petites tranches. Sinon, on procède, comme au n" 179, à des décomj:»ositions nouvelles ('). On découpe la petite tranche en petites bandes par des surfaces (t^) f[iii la balaient toute entière. On calcule la masse dni de la petite bande ( w, u -h du ; v. v -\- dv) et l'on intègre par rapport à ^', c'est-à-dire en laissant u et du constants. Quant au calcul de dm' ., il se fait, soit directement, soit en découpant la petite bande en petits morceaux par des surfaces (u). La masse dm" à un petitmorceau s'obtient en multipliant son volume par la densité au point [u. v, w) (-). On linlègre par rapport à iv, ce qui donne dm' \ d où Ton déduit dm^ puis /?^, coiume il vient d'êtic expliqué (•').

Remarque. — En supposant o = i, on a un moyen pour calcule r n'importe quel volume, ce qui complète les indicalions^^données au n" 177.

181. Centres de gravité. — Etant donnés n pointsMi, Mo, ..., M„, de masses /n^. m^, • • ., m,i, leur centre de gravité G est donné par les formules

Z-nii l/Hj 1/H;

où Xi, y,-, z-i désignent les coordonnées de M<etX, Y, Z les coordonnées de G, relativement à trois axes quelconcpies Oxyz.

('j On est souvent tenté d'assimiler la petite tranclie à une surface et d'appliquer, pour son calcul, ce qui a été dit au n" 179. Mais il faut bien remarquer qu'on ne connaît i)as la densité superficielle en chaque point, qu'il ne faut pas confondre, erreur grossière, avec la tiensité spatiale p. On peut faire une remai"<|ue analogue pour l'assimilation d'une bande à une ligne.

(-) Carie polit morceau est infiniment petit dans toutes ses dimensions.

(■^) C'est là Kl riiùlliode générale de calcul di'S intégrales triples.

■l3o CHAPITRE XIV.

Soit maintciutnf un diiUck ccntinu : liyne, surrace ou Nolmne. Il s'agit de ilétiiiirel de calculer son centre de gravité, par rexlension des formules précédentes.

Dans ce but, nous le décomposons en n morceaux petits dans toutes leurs dimensions. Soient ^i l'un d'eux, nii sa masse et M/ un quelconque de ses points. Imaginons toute la niasse nii concentrée au point M/ et prenons, au moyen des formules (:^i), le centre de gravité G' des n points ainsi obtenus. Par défmilion, le centre de graiité G du milieu continu est la limite de G' lorsque le nombre des morceaux augmente indéfiainient, chacun d'eux tendant vers zéro dans toutes ses dimensions.

Nous aurons les coordonnées X, Y, Z de G en cherchant les \aleurs limites des coordonnées X', \', Z' de G'. Tout d'abord, le dénominateur commun Sm/ n'est autre que la masse totale du milieu; on le calculera d'après les numéros précédents. Cherchons maintenant la limite de '^niiXi. Soit c/ hi densité (linéaire, superficielle ou spatiale) au point M,. Désignons symboliquement [)ar u/ la longueur, la surface ou le volume du morceau jjl/, suivant qu'il s agit d'un milieu à une, deux ou trois dimensions. La partie principale de nii est o/o",-. Donc, l.miXi a même limile que Sp/x^.a-, = Sp) t,, en posant p^ = p,x,. Or, si l'on imagine un autre milieu super|)Osé au premier, tel qu'en chaque point M(^, J^ z) la nouvelle densité p' se déduise de l'ancienne p par la formule p'^ p:t, on voit (pie la limite de "^niiXi n'est autre que la masse de ce nouveau milieu (' ). On arrive ainsi à la règle pratique suivante :

Règle pratique. — L'abscisse du centre de gravité d'un milieu continu est une fraction dont le dénominateur est la masse totale du milieu et le numérateur la masse qu il aurait si la densité en chaque point était mnltipliéi' par l abscisse de ce point .

On a deux règles analogues pour 1 ordonnée et la cote.

Comme on le voit, la recherche des centres de gravité est ramenée aux considérations développées dans les numéros précédents. Néanmoins, elle [)eut être simplifiée (juehpielois par des consuh'iations

(') On est obligé d'adincUre t|ue, pour ce milieu fictif, lu dcnsilc peut devenir iii'galive, puisqu'il en est ainsi de x. Mais, cela n'a manifeslctiionL aucune espèce d'iinjKtrlance au point de vue du calcul, qui se fait toujours de la nicriie manière, quel (juc soil le siyrie de la densité.

APPLICATIONS DES QUADBATUBES. '-3 I

géoiiiélriques élémentaires. Par exemple, si le milieu possède un élément de symétrie (plan, axe ou centre) et cela au double point de vue de la forme et de la densité (*), on sait que le centre de gravité se trouve nécessairement sur cet élément. De toute manière, il faut toujours tâcher de choisir les axes de coordonnées [rectangulaires ou oblicjues) de façon à avoir les calculs les plus simples possibles.

On peut aussi profiter quelquefois de la remarque sui^ante : Décomposons le milieu M en n milieux partiels M,, Mo, ..., M». Si mi désigne la masse de Mj, et X/, \/, Z^ les coordonnées de son centre de gravité, les coordonnées du centre de gravité cherché

sont

miXiH- moXo-H. . .-f- 'n„X„

Cela résulte de manière évidente des définitions ci-dessous. Autrement dit, on peut remplacer cliacjue milieu partiel par son centre de gravité, en y concentrant toute sa masse.

182. Moments d'inertie. — Reprenons le système des« points M,, M2, . . ., M,j du numéro précédent. On appelle moment d'inertie de ce système par rapport à un point, à une droite ou à un plan, la quantité l^mir], où /■/ désigne la distance de M/ au point, à la droite ou au plan.

Soit maintenant un milieu continu : ligne, surface ou volume. Décomposons-le, comme tout à l'heure, en n morceaux, dans chacun desquels nous choisissons encore un point M^- pour y concentrer toute la masse du morceau. Soit 1' le moment d'inertie des n points ainsi obtenus. Le moment d inertie du milieu continu est, par déjininition, la limite de I', lorsque le nombre des morceaux croît indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro dans toutes ses dimensions.

En raisonnant comme au numéro précédent, on obtient la règle

(') C'est-à-dire qu'à tout point M tlu milieu doit correspondre un point M' symétrique et de même densité. Dans le cas d'un plan ou d'un axe de symétrie, celle-ci peut être oblique, c'est-à-dire que MM' doit avoir seulement une direction fixe ou être parallèle à un plan fixe et avoir soa milieu dans le plan ou sur l'axe. La propriété rappelée dans le texte devient évidente sur les formules ( Ji), si l'on prend l'élément de symétrie pour plan, axe ou centre de coordonnées et si l'on groupe deux ;i deux les points symétriques.

•iSa ciiAiMTKi-; \iv.

pralique suivante, (|iil ramène encore le calcul des momenls d'inerlle au calcul des masses :

Règlk prati(^>li:. — Le moment cVinertie cV un milieu contiiuiesL égal à la masse qu'il aurait si la densité en ehaque point M était multipliée par r-, carré de la distance de M à Vêlement par rapport auquel on prend le nioment d inertie.

183. Nous pourrions nous en tenir là quant au calcul des moments d'inertie. Nous allons indiquer néanmoins quelques théorèmes généraux, qui peruieltent de simplifier beaucoup ce calcul et qui ont, pour celle raison, une importance capitale. Nous allons les établir pour un système de n points et nous admettrons, comme cas limite, leur extension à un milieu continu.

Nous avons d'abord toute une catégorie de théorèmes qui établissent des relations très simples entre les moments d^inertie d\in même système par rapport à dès points^ à des droites et à des plans. On trouve instantanément tous ces théorèmes de la manière suivante. Soit un trièdre trirectangle 0:rjK^. Désignons parJ,,; Iq^., lo^, lo^; ljo=? ^zox-, ^xoy les moments d'inertie du système par rapporta O. Ojc, Oy, Oz^yOz., zOx^ xOy. Ce sont ces moments rpie nous allons comparer les uns aux autres. Pour cela, prenons un point M quelconque du|système, de masse m et de coordonnées x, y, z. On a

(22) Io= 2:w(.r2-i- j2+^2j; \Q.^=Zm(y^-^ z'^)\ \yo.= Zinx'^; d'où l'on déduit les formules suivantes :

('•^4) Io.c= l;Ox+ ^yO.t'i

(îâ) lo= -(Io,'+Ioy+ 'oc);

Si on les tiadiiil en hingage ordinaire, on obtient les tbéorèmes (juc nous avions en \iie. Par exemple, la loiiniile ( 'À?y) donne:

T)ikoiu:mi:. — Le luonient d'inertie par rapport à un point est égal à la somme des moments d'inertie par rapport à trois plans rectangulaires qurlfonqucs passtint par ce point .

Nous laissons au lecteur le soin d'énoncer les autres théorèmes analofiues. Il est d'ailleurs inutile de les retenir par cœur, car il sujffit de penser aux formules (22) pour les retroin'ei'.

C'est à cause île ces théorèmes que se montre utile l'introduction des moments d'inertie par ra])port à un point et par rapport à un plan ; elle rentl, en effet, de grands services dans le calcul des moments d'inertie par rapport à une droite, qui sont les seuls dont on fasse usage en Mécanique (').

184'. Voici maintenant des théorèmes qui font intervenir le centre de gravité du système.

TnÉORicME. — Le moment d'inertie d\in système par rapport à un plan P' est égal au moment dHtiertie par rapport au plan parallèle P mené par le centre de gravité du système, plus le produit de la masse totale par le carré de la distance des deux plans.

En elTet, prenons le plan P pour plan des xy. Si h est la cote de P', on a

Or,