m Z'^ = I.roy = I

Puis, dans ^mzh, on peut mettre h en facteur, qui est le même [)our tous les [loints du système. Le coefficient de /i est alors '^mz, quantité qui est égale, d'après les formules (21), au produit de la masse M par la cote du centre de gravité. Comme celui-ci est, par hypothèse, dans le plan des xj-, il n'y a pas de terme en h. Quant à la somme '^m/i-, on peut y mettre h- en facteur, ce qui donne

On a donc bien, finalement,

(1) Donnons, à ce propos, la définition d a rayon de giration. Le rayon de giralion iTun système autour d'une droite A est une longueur H telle que, si M désigne la masse totale du système, son moment d'inertie par rapport à A soitMU^. Autrement dit, c'est la distance à laquelle on peut concentrer toute la masse du système sans clianser son moment d'inertie.

234 Cll.Vl'lTIU; MV. — A 1>1>LI CATIONS DES QUADUATUliES.

On a deux théorèmes analogues en remplaçant 1* et P' |)ar deux droites parajlèlcs A et A', dont la première passe par G; ou bien par deux points O et O', dont le premier est en G. Nous laissons au lecteur le soin de les énoncer et de les démontrer, soit diiectement en copiant la démonstration ci-dessus, soit en passant |)ai' Fintermédiaire du théorème relatif aux plans et des formules (aS) et (:i4)-

Ces derniers théorèmes sont d'une grande utilité, en ce sens qu'/Zs permettent^ lorsqu'on connaît^ par exemple^ le moment d' inertie par rapport à une droite Aq, de calculer de suite le moment d'inertie par rapport à ti importe quelle droite A parallèle èi Aq. Il suffit, en efiet, de prendre comme intermédiaire le moment d'inerlie par rapport à la droite Aq parallèle à Aq et menée par G. Si c/o et d sont les distances respectives de A,; à A^ et à A, on a

(28) lA„=lAo-+-Mr/„S Ia = Iac+M^S d'où

(29) Ia = JA„+M(rf^-rf2)

\K6. Conseils pratiques pour le calcul des moments d'inertie. — De tout ce (|ui précède, nous croyons devoir tirer les conseils j)ratiqucs suivants :

(^uand on veut calculer un moment d'inertie I, on doit d'abord se rendre \\\\ compte rapide du degré de simplicité que présenterait le calcul direct par la règle donnée au n° 482. Si ce calcul paraît trop compliqué, on tAclie de l'éviter par l'application des formules (aS) à (it6), en exprimant 1 au moyen d'un ou |)lusieurs autres moments calculables directement. Ou bien encore, on passe par l'intermédiaire du centre de gravité (n" 184). De toute façon, on n'aborde le calcul direct qu après avoir constaté qu'on ne peut^ en se servant des théorèmes généraux, le remplacer par un calcul plus simple.

Au reste, le lecteur comprendra encore mieux ces observaliouj; sur les exemples traités dans les exercices.

ÉOUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

186. Généralités. — On appelle équation différentielle cVordre n toute équation élahlissanl une relation entre une variable indépendante X, une (onction inconnue >' de celte variable et les n premières dérivées de cette fonction. Si on la suppose lésolue par rapport -a y^"\ elle prend la forme

On appelle intégrale de cette équation toute fonction j)^ de x qui, substituée dans les deux membres, les rend identiques, c'est-à-dire égaux quel que soit x. On démontre que, sous certaines conditions de continuité de la fonclion f par rapport aux variables .r, y^ j-' , . . . , j'(«^')^ l'i existe une intégrale et une seule telle que^ pour une valeur numérique donnée Xq de x, y, r', . . ., y^^~^'> prennent des valeurs numériques y q y'^, . . ., J'o" '^ arbitrairement choisies. Cette intégrale constitue évidemment la solution la plus générale de l'équation; aussi, on l'appelle intégrale générale. Elle dépend^ comme on le voit, de n constantes arbitraires (' ), ro? }'[)•, • • •? ji""*'-

On appelle courbe intégrale toute courbe représentative d'une intégrale de l'équation. Il existe, d'après ce qui précède, une infinité de courbes intégrales, formant une famille dépendant de n paramètres. Réciproquement^ si l'on se donne une telle famille de courbes, dont ré(piation générale soit, par exemple,

(2) ^{31), y, Cl, C.2, . ..,e„) = o,

oîi C|, Co, ..., c„ désignent n constantes arbitraires, on [)eul les regarder comme les courbes intégrales d'une équation dillérentielle

(') Il ne faut pas coriipler x^■„ car c'est une valeur iiuniériquc ([u'on poiil choisir une fois pour toutes, indépendamment des valeurs adoptées pour 7,,,. . ., jk,,^"^*'. On |)eut, par exemple, prendre x^= o, ou x^^ — i, x^^= 3oo, etc. On trouvera une ébauche de dcinunstration, pour le cas de /« =1, dans Leçons, n° 344.

2i6 CHAPITRE XV.

crorcire //, iippelcc cqualion différentielle de la famille^ f|iron forme en l'iiminant les constantes entre réquation (2) et les n éqiiahons qu'on en iléduit en dérivant n fois par rapport à ^ et regardant j' connue fonction de x.

Intégrer une équation diff'érentielle^ c'est trouver son intégrale générale, ou, ce qui revient au même, la famille de ses courbes intégrales. Il existe des méthodes qui permettent d'obtenir, avec une approximation illimitée, toute intégrale définie par ses conditions initiales ('). Citons seulement la n\êtliode du développement en série. (|ui consiste à prendre y sous la forme d'une série entière à coefficients indéterminés., à substituer dans l'équation, ordonner les deux membres suivant les puissances croissantes de x et identifier les deux séries entières ainsi ol)tenues. En égalant les coefficients d'une puissance quelconque de ^, on obtient une relation de récuirence entre les coefficients inconnus de y, d'où l'on peut déduire la valeur de ceux-ci en tenant compte des conditions initiales. 11 faut ensuite chei-cher l'intervalle de convergence de la série ainsi calculée, et c'est seulement pour les valeurs de x intérieures à cet intervalle qu'on peut affirmer que la série représente la solution cliercliée.

En dehors des méthodes d' approximation, il en existe d'autres qui ^evmelienl d' intégrer certains types d' équations en exprimant leur intégrale générale au moyen des fondions élémentaires ou de quadratures portant sur de telles fonctions (-). C'est ce point de vue particulier que nous allons dorénavant envisager.

Les types classiques d'équations différentielles intégrables par quadratures sont actuellement en nombre très restreint. 11 existe des équations de forme très simple qui ne peuvent s'intégrer de cette manière et définissent, par cela mvme, de<, transcendantes nouvelles. Leur étude constitue un Chapitre fort intéressant de l'Analyse, qui a déjà fait et fait encore l'objet des recheidics dun assez grand nombre de inathémaliciciis (^). Mais nous devons, dans cet (ouvrage, nous

(') Nous appelons ainsi les \a\eurs y„, y\, . . .,y^'^"~^^ aUrilniées ;i la fonclion el à SCS n — I premières dérivées pour a; = a;„.

C ) On dit de ces types d'équations qu'on |)cul les inlét^rer par i[U(i(li(iliucs, 011 les ramener aux quadratures.

(^) [-.e lecteur se souvicnl que nous avons ilcjà pn'scnté des considéralions analogues à propos des quadratures ( n" lôO), (jui d'ailleurs peuvent rire regardées connue les intégrales d'é(iuations dillércntiellcs particulières, à savoir celles de la forme y' = /(x ).

coiitenterde considéialions plus élémenlaircs et nous borner à passer en revue les principaux types adéquations qu'on sait actucUenienl intégrer par quadratures.