I. — ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE
187. Équations du premier ordre. — Lcqualiou la plus générale du premier ordre est de la forme
(4) ¥{x,y,cIx,dy) = o,
F étant homogène par rapport à dx et dy.
Bornons-nou5 d'abord an cas oii elle est résoluble par rapport à y', soit
ou encore
(6) Pdx = (4dy,
P et Q désignant deux fonctions de x et y.
Observons, dès maintenant, que les formes (4) et (6) présentent V avantage de ne pas spécifier quelle est la variable indépendante, pour laquelle on peut prendre soiL.r, soit r', soit même, comme nous le verrons tout à l'heure, une autre variable. Or, c'est bien là un avantage, car il peut se faire, par exemple, que l'équation ne rentre pas dans un type connu quand on prend x pour variable indépendante, mais apparaisse, au contraire, comme intégrable quand on fait jouer ce rôle à y.
188. Équations à variables séparées. — \j\\ premier tvpe tout à fait londamenlal est celui des équations dites à variables séparées. Elles sont de la forme
(7) Xdx=Ydy,
où X et Y désignent deux fonctions ne dépendant respectivement (jue de X et de y. Une telle équation s'intègre à vue. En effet, les
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deux nicniltrcs sonl rcsprcLî\ emenl les didércnlielles des fouclions
jlLdx et / ^ dy. Si le [>oint M(^, y) décrit une couri^c inté-
giale ('), CCS deux difTérenliellcs doivent être conslaminent égales; donc, les fondions correspondaiiles doivent dilTéier |)ar une constante. L'éfjuation de toute courbe intégrale peut donc s'écrire
f\dx= f\ dy-^C,
C désignant une constante. Réciproquement, quelle que soit cette constante, l'équation (8) représente une courbe intégrale, car elle entraîne évidemment l'équation {'j)-
La famille des courbes intégrales est donc représentée par V équation (8), oii C désigne une constante arbitraire. Si l'on veut avoir y en fonction de x, il faut résoudre celte équation par rapport à y, mais cela n'est pas toujours pratiquement possible. Il peut se faire, au contraire, qu'il soit plus aisé de résoudre par rapport k x\ ou bien d'exprimer x et j' en fonction d'un même paramètre t. Suivant le cas, on procédera de telle ou telle manière; ou bien on gardera tout simplement l'équation (8), qui résout parfaitement le problème, en ce sens qu'elle donne toutes les courljes intégrales.
Si l'on veut une solution déterminée par des conditions initiales (jCo5 JKo)? on écrit que l'équation (8) est vérifiée pour x = .ro, y=y(^, ce qui donne la valeur correspondante de la constante d'intégration.
Comment reconnait-on la possibilité de séparer les variables dans une équation donnée? On commence par mettre celle-ci sous la forme (6). On regarde ensuite s'il est possible de diviser les deux membres par un même facteur amenant P à ne plus dépendre que de X, et () ([ue de y. Il en est ainsi, par (!\etiq)lc^ chaque; fois «pie
( ' ) Il fatil liien leiniirqucr (luc, (huis celle li y|)ollièse, x et y cl par suite / \ dx
(il / ^ dy sont des fonctions (J'uii tru"'nic paramétre t, qni li\(; la posilion de M sur
la courbe. Ce param(ilre peut iHre soit x, soit y^ soit une foiiclion (iiiclcomiuc de a; cly. Mais, son inJiiterminatioii n'influe pas sur notre raisoniicnienl, grâce à la propri(';l(; fonrlarncntalc des (linV'rcnlielIcs ( n° 139).
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. îSg
l'éfjualion se présente sous la forme
(y) \i\xdx = X.>Y.2dy,
car celle-ci peut s'écrire
Toutes les fois qu'une des variables ne figure pas explicitement dans V équation^ on peut séparer les variables. En effet, si par exemple x manque, en résolvant par rapport à dx, on a nécessairement une équation de la forme
(10 ) dx=f{y)dy,
qui s'intègre par une quadrature
x= ff{y)dy^C (1).
189. Changement de variables. — Maintenant que nous savons intégrer un type d'équation, il faut tâcher d'en déduire d'autres. La méthode employée dans ce but est celle du changement de variables. Reprenons l'équation (6). Aux variables x et y, substituons des variables u et r définies par
(il) x = o(u,v)^ y^'l(u,v)^
z> et 'l étant deux fonctions quelconques. Nous aurons instantanément l'équation qui doit lier u et t», ou équation transformée, en remplaçant, dans (6), x, y par es [u, ç), 'l (u, v) et dx, dy par les
différentielles totales — du H — - dv, — du -]- -^ dv.
du dç du d V
Si l'on sait intégrer cette équation transformée, voici comment on aura l'intégrale générale de l'équation proposée. On exprimera v en fonction de «, ou bien u en fonction de t', ou, plus généralement, // et (' en fonction d'un paramètre ^, en se servant de l'intégrale
(') Toutes les courbes intégrales se déduisent visiblerrieiit de Tune d'elles par translation parallèle à Qx. Réciproquement, une telle famille de courbes a une équation difTérentielle ne renfermant pas x. L'intégration d'une équation diiïérentiellc où nian(|ue une variable équivaut, en somme, à la reclierche d'une fonction connaissant sa dérivée, c'est-à-dire au problème résolu au Cliapitro XIII.
•240 CllAl'ITRK \V.
générale de 1 ('■(|ii;ilion lianl'orniée. J.cs expressions oblenues renfernieronl d'ailleurs une constante dinlTyralion C. l'^n les portant dans (il), on obtiendra les équations païamétriqnes (t. 11) des courbes intégrales de (() ).
190. Équations homogènes en x et.r. — Un Ijpe d'équalion qu'on peut ramener iniiuédiiitcnicnl, de cette manière, à la séparation des variables est celui des équations lioniogènes en x et y. Résolue par rapport a -^, une telle ecpiation se présente sous la loiine
Il semble naturel d'essajer de substituer à la varialde y la variable -= M, dont dépend seulement le second membre. L'équation devient
u dx -1- X du = fi II ) dx ou
du dx
fi u ) — u X
équation à variables séj)ar(''es, <pii s'intègre par une quadrature :
\o'^x = I -T- — — 1- loirC = Io<r ci(«) -h loirC = losTC o(u)\
J f{U ) u o../ o ni. ,x/j
(C = coiist.);
(|3) x = Co(u), y = Cuo(u).
Telles sont les équations paramélriques des courbes intégrales. On remar(|ue (jue ces dernières demeurent bomothétiques à ellesmêmes par rapport à Tongine, (piaiid d varie (^).
(') (>eci est fucilc it piévoir géornélriqueincnt, car les courbes ciiercliéos sont délinicspar la condition f|uc la direclion de la langenle en M est donnée en fonclion de la difcclion O.M. Ur, il est manifeste que, si une courbe C,, répond à celte condition, toutes les courbes liomotliétiques par rapport à Oy y répondent également, ])uisque les points homologues sont sur le même rayon vecteur et ont, d'autre pari, des tangentes paralli'-les. (ii'tle simple jciiiar(iue |)ouvait nous faire prévoir à coup sur la réussite de notre cliungcmcul de variable, puisqu'on |>ouvait en conclure (|uc la relation entre x et u devait cire de la foi me x — C '^ {u), laquelle, par élimination delà constante C, nous rondiiit à une ('qualion à variables séparées. Observons encore que le cliangcmrut de variabb's (juo nous avons opéré ('•(|iiivaut à passer en coordonnées polaires (l. II).
ÉgiATIOXS UIFFÉREMIELLKS. 24 «
191. Équation linéaire — Un autre type intégrahle par quadrature est celui de [équation linéaire. On appelle ainsi une équation qui est du premier degré par rapport à V une des variables et à sa différentielle; soit, par exemple, par rapport à y et dy. Elle peut s'écrire, dans ce cas,
(.4) —^ay^h,
où a et b sont deux lonclious de x.
Il existe dilTérentes méthodes pour l'intégrer. Celle qui nous semble la plus pratique est la méthode dite de variation de la constante^ qui s'applique d'ailleurs aussi aux équations linéaires d'ordre supérieur (n" 196). Elle comprend deux opérations :
1° Intégrons l'équation sans second membre, c'est-à-dire
/ -V '^ly dy ,
^ ' dx ^ y
Les variables sont séparées; l'intégrale générale est
(i6) 7 = Ce^ =Gcp(x;.
a" A la variable y substituons la vatnable C, définie parla formule (i6). C'est ce qu'on exprime en disant qu'on fait varier la constante. Nous avons
dy dx
Portons dans ( i4) •
oi X ) — -' — rt G cif^) -+- rt G o(x) = b, dx
ou
rfC b , f"''r
dx o{x) L'équation transformée s'intègre à vue et donne
G= f~^dx-hk = 'i^(x)-\-k (/. ==cunst.).
Portant dans ( i6), nous avons l'intégrale générale de ( i4) :
(17) y = o{x)^h{x) ^ko(x) = (){x)^lc^{x).
IIaag. — Cours, l. ï'î
Reviarques. — 1. Le changement de variable sur lequel repose la méthode peut, au premier abord, sembler artificiel. En réalité, on reconnaît qu'il est assez naturel si Ton remarque qu'il doit nécessairement simplifier le premier membre de (14)5 puisque celui-ci doit
s'annuler quand C est une constante, c'est-à-dire pour — = 0; ce
qui ne peut arriver que si le terme en G disparaît identiquement. On pouvait donc prévoir, sans aucun calcul^ que V équation
transformée serait de la forme -j^:=¥ [x).
II. L'intégrale générale (17) renferme la constante arbitraire k au premier degré. Le lecteur démontrera aisément la réciproque.
m. Dans la pratique, il est inutile de faire tous les calculs du changement de variable (16). On sait, une fois pour toutes, que le terme en C disparait. On ne s^occupe donc que du terme en
dC ,, , . ,
-j— et 1 on écrit de suite
ax
IV. Il arrive quelquefois qu'o/? aperçoit de suite une intégrale particulière y^ de l'équation (i4)- Dans ce cas, on a l'intégrale générale en ajoutant à y, Tintégrale générale de l'équation sans second membre (n" 190); il est inutile de faire varier la constante.
\9^. Équation de Bernoulli. — Elle est de la forme
(18) y-f ay-^by''=o,
a et b désignant deux fonctions de x. Elle se ramène de suite à l'équation linéaire, en divisant par y",
y a yn
Si l'on observe (|uc =^ est, à un l'acteur iiiiiiiéri(|uc près, la dérivée de Ti on voit qu'il suffit de faire le clianiicment de variable
- = z i)Our obtenir une é(|uation linéaire en z.
yll 11 1
193. Équations non résolubles par rapport à -j-- — Reprenons réqualioii
(In piemier ordre sous la forme générale (3) et supposons qu'on ne puisse pratiquement la résoudre par rapport à y' {^). Gomme on ne sait intégrer directement une telle équation, il s'agit de tourner cette difficulté. On v arrive aisément dans chacun des cas où V équation représente une courbe anicursale (t. Il) lorsqu'on y ref^arde comme coordonnées courantes soit X et y, soit x et y' , soit y et y'.
Premier cas. — Relation unicursale par rapport à x, y. — Exprinions a; et^ en fonction d'un paramètre t. Gomme l'équation renferme^', les expressions obtenues dépendront à la fois de t et de y' . Si l'on pose y' = u, on aura
(19) ^^f{t,u), y = ff(t,u).
D'autre part,
(20) dy = u dx.
Eliminons ar el y entre (19) et ( ■lo), ce qui se fait en dillérenliant ( U)), nous avons l'équation transformée
(21) u( ^dt — —du] = -^dt-^ —du.
' \(Jt Ou ) dt Ou
Si l'on sait liulégrer, on continuera comme il a été exjjliqué au n" 189.
Deuxième cas. — Relation unicursale par t apport à x et y'. — On aura
L'équation transformée en y et t s'écrit immédiatement
(23) ff(t y) = ^ = ^
-^dt^ ^^ dy
Ot dy •^
Troisième cas. — Relation unicursale par rapport à y et y' . — Se déduit du précédent par l'échange de x et de j'.
