ANALYSE COMBINATOIRE. FORMULE DU BINOME. I

VOUS les uns au-dessous des autres tous les arrangemenls qu'on peut ainsi obtenir, cliacun d'eux n'étant écrit qu'une fois (' ), nous construisons le tableau des arrangements des ni lettres/? à p. Voici, à titre d'exemple, le tableau des arrangements des trois lettres <:/, 6, c, prises deux à deux, écrit sur une liync horizontale, de gauche à droite, pour tenir moins de place :

(4) «6, ac. ba^ bc, ca, cb.

20. Règle de formation du tableau des arrangements. — Soit à construire le tableau T',^^ des arrangements des m lettres a, />, ..., /, prises php. Employons encore la méthode de récurrence. Supposons formé le tableau T^^^' relatif aux mêmes lettres prises/? — i à /^ — i. De chaque arrangement («) de T^^^' , nous pouvons déduire tu — {p — i) arrangements distincts de T^, en écrivant successivement à droite de {a) chacune des lettres qui n'j figurent pas. Si nous faisons de même pour tous les arrangements de T^; \ je dis que nous construisons T^^. En efï'et :

1° Nous n'obtenons que des arrangements de Tf^, ;

i"" Tous les arrangements formés sont différents, car deux quelconques d'entre eux se distinguent ])ar la nature ou l'ordre des p — i premières lettres, ou bien par la nature de la ^j'<="'«;

3" Tout arrangement {a') de T^^ a été obtenu, car, en y supprimant la dernière lettre, on obtient un arrangement («) de T^'^S dont on a forcément déduit {a').

Si maintenant nous partons de T,'„, lequel se compose des m arrangements a, b, c, . . .. l, nous pourrons former, de proche en proche, T;„, '^ni • • •l'^m^ • • •! ^^/«- ^^ ^^^ clair d'ailleurs que le dernier tableau, T",[, n'est autre que celui des permutations des m lettres données. Le tableau (4) a été construit d'après la règle ci-dessus.

21. Nombre des arrangements de /» lettres p à, p. — Ce nombre est désigné parÂ^,. D'après ce qui précède, il est clair qu'on a la relation de récurrence, linéaire et homogène,

(3) AP, = (m-p + i)A{;r';

(') Deux arrangements du tableau doivent diderer, soit par la nature, soit par l'oi'dre des lettres qui les constituent.

d'où l'on déduit (Noie I)

( 6 ; k','n = nu ni — I ) ( »* — 2 ) . . . ( /n — /? + i ).

22. Combinaisons. — Considérons toujours les mêmes lettres rt, 0, ..., /. Choisissons encore au hasard p(pjz m) d'entre elles et écrivons-les sur une ligne horizontale, dans un ordre c|uelconque. Nous obtenons une combinaison de nos m letlres p à p. Il est clair cjue tout arrangement donne une combinaison. Mais, tandis c[ue deux arrangements constitués par les mêmes lettres peuvent être dillerents (si ces letlres n'j sont pas rangées dans le même ordre), nous con- K'iendiojis au contraire de regarder comme identiques deux combinaisons comprenant les mêmes lettres, quand même celles-ci seraient rangées différemment dans les deux combinaisons. On voit donc cjue le caractère essentiel d'une combinaison est cjue l'ordre des lettres qui j figurent est indifférent. Au lieu de les écrire sur une ligne horizontale, comme nous l'avons supposé, on peut les écrire sur une feuille de papier suivant une disposition quelconque. Ou peut aussi prendre des caractères d'imprimerie et mettre dans un sac ceux cjui correspondent à une même combinaison, ou encore [)rocéder de cette manière pour les objets représentés par les lettres. Si nous écrivons les unes au-dessous des autres toutes les combinaisons des m lettres a, 6, ..., / prises p à p, chacune d'elles n'étant écrite tju'une fois, nous construirons le tableau des combinaisons. Voici, par exemple, le tableau des combinaisons des trois lettres «, 6, c deux à deux :

(7) aè, ac, bc.

"l'S. Formation du tableau des combinaisons. — On peut d'abord remarcjuer (pie, |)oui- former le tableau B,','^ des combinaisons des m lettres a. //, .... / prises p à p, on pourrait construire le tableau T(^^ des ai rangements, puis supprimer dans celui-ci tout arrangement constitué [)ar les mêmes lettres (pi'un autre arrangement non supprinu'-. L<'s arrangements (pu resteraient donneraient le tableau B^'^', cherché. Mais il est clair que ce procédé exigerait des opérations inutiles, il est plus simple de piocéder directement comme il suit.

liemarcpions d abord (pi Ou peut, dans cluupie combinaison, écrire les lettres dans un ordre ai bii rairenienl lixé, par exemple dans l'ordre