II. X manque. — Soit
(■^6) y" = fiy^y')-
Posons encore y' = z; mais prenons y pour nouvelle variable indépendante. On a
„ dy' dz dz dy dz , dz dx dx dy dx ~ dv dy " '
dy
(') On pourrait introduire des difTérenlicIlcs secondes. Mais ce n'est généralement d'aucun avantage, parce que le calcul de ces diiïércnLielles ne présente nullement la simplicité du calcul des difTérentielles premières.
équalloii du premier ordre. Ayant z en fonction de y, soit z = z> (y),
on aura -j- = 9 0') 5 d'où x = f - -^
Remarque. — Si y' ne figure dans l'équation que par son carré, il y aura avantage à poser j^'2z= «= j;2 . ç^r le premier membre de , , I du
196. Équations linéaires. — Une classe fort importante d'équations du second ordre (') est celle des équations linéaires
(28) y"^py'^qy = ^,
où />, q^ A sont des fonctions données de x. L'érjuation est dite homogène ou sans second membre lorsque A est nul. On peut ramener le cas général à ce cas particulier, grâce au tliéorème suivant :
THÉORi;:ME. — On a Vintégrale générale de V équation complète en ajoutant ci une intégrale particulière r intégrale générale de Véquation sans second membre.
En effet, soit y^ une intégrale particulière de (28). Faisons le changement de variable j" =J') + ■^- L'équation devient, en tenant compte de ce que y, vérifie ('^-8),
{29) z"^pz-\-qz = o\
d'où résulte manifestement la propriété annoncée.
Ajoutons qu'il existe une méthode., dite de variation des constantes^ qui permet d'obtenir par quadratures l'intégrale particulière jKi, lorsque l'on connaît l'intégrale générale de 1 équation sans second membre; mais ce n'est pas ici le lieu de l'exposer.
Remarque. — Si A = A, + Ao + . . . . -f- A^,, et si l'on connaît une intégrale particulière yi pour chacune des équations obtenues en réduisant A à A/, on a évidemment une intégrale particulière de l'équation complète en ajoutant les intégrales jk<-
On peut, d'après ce ([ui précède, se borner à étudier l'équation
( ' ) La théorie des équations linéaires se fait aussi pour des équations d'ordre quelconque. .Nous l'avons faite au n" 191 pour le premier ordre.
a-Jô CHAPITRE XV.
sans second membre
(3o) y"^py^qy=.o.
Nous nous contenterons, dans le cas où p et q sont quelconques, de faire remarquer que, si y, est une solution, Oyi en est une autre, quelle que soit la constante C. De même, si j', et >'o sont deux solutions, ii -\-y-2 en est une autre; par suite aussi la fonction
(3i) jK = Gi^r-,-i-G2jK2,
quelles cjue soient les constantes C) et C^. Comme nous axons deux constantes arbitraires, on peut prévoir ([ue la formule (.^t) donne l' intégrale générale.
Effectivement, cela résulte du théorème fondamental admis au début du Chapitre, car on peut déterminer les constantes Gj et C, de manière à faire prendre à jk et y' des valeurs arbitrairement choisies, pour une valeur donnée de x, à condition toutefois que le déterminant Ki j'!, — Jïy'x 'ie
soit pas identiquement nul, c'est-à-dire que le rapport — ne soit pas constant.
197. Équation linéaire du second ordre à coefficients constants. —
Nous allons étudier eu détail le cas particulier 1res inq)()rlant où les coefficients /; et cj sont constants. Considérons, en premier lieu, I équation sans second membre.
On peut remaïquer tout d'abord qu'elle ne renferme pas explicitement x et ])eut être par suite abaissée au premier ordre (n° 193, II). Nous laisserons au lecteur le soin de voir ce que donne cette méthode, mais simplement à titre d'exercice, car les calculs sont longs et peu élégants ('). Il est beaucouj) plus rapide de procéder de la manière suivante :
Cherchons des solutions de la forme )-=e'', /' étant une constante. On voit de suite qu'il doit en exister, car en subsliltiant dans (3o), e'* se met en facteur. J'^ffectivement, on trouve (pic <?'"•* vérifie (3o) sous la seule condition
(Sa) i---\- pr ^ q = 0.
(') L'é(jiiiilion ;ili;iisséc ;iu premier ordre est homogène cl s'intègre par la inèlliotii du n" lîlU. l^cs calculs [icuvent être, sans difficulté, poussés jusipraii bout.
Celle équalion du second degré en /' est appelée V équation caractéristique.
Soient /•, et r.> ses deux racines. Les fonctions e''-^' et e'--^ sont deux intégrales particulières, donc aussi
(33) ^K = Cl e'-.-^'H- C, e'-2-^ (G,, G, = const.),
qui est même l'intégrale générale, si r, y^ r-^ (n" 196).
Si 1 on ne veut pas s'appujer sur le théorème fondamental admis au n" 186, on peut employer l'artifice suivant, qui nous conduira directement à l'intégrale générale, même dans le cas où /•) = /•2. Faisons le changement de variable.
Nous sommes certains à l'avance que l'équation transformée admettra la solution c= i et, par suite, ne renfermera pas explicitement z (elle doit être visiblement linéaire). Donc, elle s'abaissera au premier ordre, n" 195, 1). Efifectivement, le calcul, qui ne présente aucune difficulté, donne le résultat suivant :
c'\^[{z" -^ i?-iz'^ r\z)-\-p{z'^ Viz)-^ q z] = o,
ou, en divisant par e'i* et tenant compte de (32), (35) z" -\- z'{-2i\-\- p) = Q.
Premier cas. — L'équation caractéristique a ses racines distinctes. — Alors 2/-, -\- p n'est pas nul, car o. r -\- p est la dérivée du premier membre de (32) et ne peut s'annuler pour /•= /', que si r, est racine double (n" 226).
L'équation (3.")) s'écrit, dans ce cas,
— r = — (2/-iH-/>) <a?a7,
d'où
logz'= logC — (a /■, + /> ):r,
z' = G e-(2'-,+/')^, z = G re-(2r,-+-p)x dx = Ci-h G, e-'^''.-^/''-^,
en remplaçant la constante C par Co = --^ — - — et désignant par C| une nouvelle constante arbitraire. Portant dans (34), nous retrouvons
248 CHAPITRt: XV.
la formule (33) pour lintégrale générale de l"éf|ualion (3o), car le second terme île z devient C^*?^"''^^'^' = C^ e'"-', en vertu de la relation bien connue ( n" 2!20) : /', H- ;'o = — p.
Deuxième CAS. — L'équation caracléristique a une racine double. — On a 2 /•, -t-/? :^ o ; l'équation (35) se réduit à ;" = o et donne :; = C| .r 4- Ca ; d'où
(36) ^ = e'vr(G,^+C2).
Telle est, dans ce cas, l'intégrale générale.
Cas des racines imaginaires. — Si Ion suppose /> et q réels, ces deux racines sont imaginaires conjuguées (n° 249), soit
/■i=a-+-[Ji. ;-2 = a — '^i (a, ,3 réels).
Portons dans (33)
j^ = C] e*^+'?-^-+- G, fa-ï--'P-r= ^«^(Ci e'?-^'-i- C2 e-'P-^),
ou, en se servant de la formule d'Euler (n" 109) et cliangeant les constantes C( et Co,
(37) j = e«-^(A cosfia? -(- Bsin,3a;) (A, B = consl.),
ce qui peut encore s'écrire
C38) 7 = Ré'5'^cos(Pa;M- cp) ( H, Ci = consl. ).
Finalement, nous avons, sous forme entièrement réelle et dans tous les cas possibles., V intégrale générale de V équation (3o).
198. Equations avec second membre. — Nous allons maintenant examiner léquation coniplèle (a<^), en supposant toujours p et q constants. Tout revient (n" 196) à en chercher une intégrale particulière. Ceci est très facile pour certaines formes particulières de A, que nous allons passer en revue (').
I. A est un polynôme. — On cherche une intégrale particulière qui soit aussi un polynôme. Si m est le degré de A. on prend pour y
(') Dans le cas général, on peut toujours se ramener aux quadratures, comme on le voit en faisant le changement de variable ( o'( ), qui conduit à une équation linéaire du premier ordre.
un polynôme de degré m à coefficienls indéterminés ; on le substitue dans (28) et l'on identilie les deux inenibres, qui sont deux |)olvnomes de degré m. Les ni -h i équations d'identification déterminent les m H- I coefficienls de )'. Toutefois, il faut augmenter le degré de y d'une unité, si ^ ^ o, et de deux unités, si p = ^ = o. Dans ce dernier cas, il est d'ailleurs plus simple d'intégrer deux fois de suite le polynôme du second membre.
II. A=:e«^P(j7) ; «^const., V z=z polynôme en x. — On cherche une intégrale de même forme, soit r = e^'^z, z étant un polynôme.
L'équation transformée en ; est, daprés un calcul déjà fait
(39) e«^[2''-f-^'(2a-+-/?)-^-(a2 + /?a-4-r/)] = e«^P(2'), ou
(40) z' -^ z'{ia -^ p) -(- z(a'-~- pa -^ q) = V(x),
équation du type précédent, qui montre qii'o/i doit prendre pour z un polynôme de degré m, ni + i ou m + 2, sui^rint que a n'est pas racine, est racine simple ou est racine double de l'équation caractéristique.
Pratiquement, on peut, pour obtenir l'intégrale cherchée, procéder de deux manières :
Première méthode. — O/i substicue directement l'exjjression y = grt.t - dans l'équation proposée, en prenant pour :; un polynôme à coefficients indéterminés et de degré convenable.
Deuxième méthode. — On commence par former V équation transformée en z, ce qui peut se faire instantanément si l'on remarque, d'une pari, que le coefficient de z' est le même que celui àe y" et, d'autre part, que les racines de la nouvelle équation caractéristique doivent être, a priori, /•, — a et ro—a, de sorte que le coefficient de z' est nécessairement — (/-, — a ^ l'i — «), et celui de z : (/•, — a) (/-o — a) (' ).
(') On pourrait aussi, bien entendu, retenir par cœur la formule (4")- ^'ais, le procédé ci-dessus est au moins aussi rapide, du moins quand on a déjà intégré l'équation sans second membre, comme cela arrive presque toujours. En outre, il fait appel au raisonnement plutôt qu'à la mémoire, et, comme tel, s'oublie moins aisément.
Ayant Véquation en z, on ^■ substitue un polynôme, sauf si /•,:=/•.,= rt, auquel cas on intrgre directement deux fois de suite
Cette seeoncJe méthode donne des ealculs plus simples que la
premiètw car il est plus rapide de former les dérivées première et
seconde d un polynôme que d'une expression de la forme e'^-^z.
III. A ^ P cosa.r -h Q sina^; P et Q désignant des polynômes. — Ce cas se ramène au précédent, car, en vertu des formules d'Euler (n° 109), A est de la forme e'°'-*P, + e-'^^Q,. Tl doit donc exister une intégrale particulière de la forme
(4i) e'^'^Pa-i- e-''*'^Q2,
OU encore
(4'>-) P3 cosa.T -I- Qs sina.r,
P^, (y^i l's, Q3 désignant des polynômes de degrés v) ou m -f- i , suivant (jue dz /a ne sont pas ou sont les racines de l'équalion caractéristique ('). (On appelle m le plus fort degré de P et Q.)
Pratiquement., on peut, comme plus haut (II), soit substituer directement V expression (42) avec des coefficients indéterminés, ce qu'on devra toujours faire si l'on veut éviter d'introduire des imaginaires; soit chercher séparément les polynômes Po ^t Qo, en faisant successivement les transformations
IV. A ::= ê*^ (p cos^i^ -i- Q sin [j^). — Gc cas se ramène encore à II, car A est de la forme e'^+'f*^' P, + e^='~'f"' Q, . Il existe une intégrale de la forme
(44) <?='-^( 1*3 cosaa- -I- Q3 sinaa?),
(') On suppose p et 7 réels. I{emiin[uons que si p 7^ o, ± ta ne peuvent ùtrc racines.
les degrés de Po, Qi, P3, Qs étant m ou m -j- i , suivant que a ± i'^ ne sont pas ou sont les racines de l'équation caractéristique. Pratiquement, on peut :
i" Substituer directement (44)-
2° Faire le changement de variable y =^ e'^^' z [cf. Il), et substituer ensuite z := PsCOsa:r + Qssina^r.
3° Chercher séparément Po et Qo, comme dans (III).
Les deux premiers procédés évitent les imaginaires; le second est d'ailleurs plus rapide que le premier.
POLYNOMES.
