I. - PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

199. Nous avons déjà dit qiiek|ues mots (n" 75) des polynômes à coefficients et à variables réels. Nous allons, dans ce Clinpitre, nous placer à un point de vue plus général et considérer des polynômes à coefficients et à variables complexes., c'est-à-dire de la forme

les coefficients A,, élant des nombres couiple^xes quelconques et la variable z étant une variable complexe ^ = .r -{- yi.

Si l'on dévelojqie les calculs indiqués par le second membre, ce dernier se met évidemment sous la forme

(2) f{z)=f(x +yi) = Pix, y) + iq{x, y),

P et Q désignant deux polynômes à coefficients réels des variables réelles x eiy ( ' ).

On appelle ?'rt/c//;' numérique dey(r) le nombre complexe A + B/ obtenu en y remplaçant x el y par des nombres réels donnés a et [ii. On a évidemment \=P(a, ,3), B = Q(a, ^). Si A et B sont tous

(') Ces polynômes ne sont pas quelconques. Ils sont liés Fiin à FaulTc par les relations

dQ r)P ,)() ()P

dx (}y Oy (>x

comme on le voit en calculant -^ et -^■

On en tire

()'P ()'P (Pq (PQ

()x' <ly- fjx- dy'

POLYNOMES. 253

deux nuls, la valeur numérique est nulle; on dit que a+ [j« est un zéro ou une racine du polynôme, et l'on écrit

Nous reviendrons plus lard sur ce cas particulier (Cliap. XVIIl). (^onlentons-uous ici d'énoncer le théorème fondamental suivant, sur lequel re|)Ose toute la théorie des équations algébriques, et qui est connu sous le nom de théorème de dWlenibert :

Théorè:me de d'Alembeut. — Tout polynôme qui ne se réduit pas èi une constante possède au moins une racine.

11 existe différentes démonstrations, dites élémentaires, de ce théorème. Mais, pour être entièrement rigoureuses, elles doivent être très longues ('). Comme, en second lieu, il existe des démonstrations très simples, mais basées sur des théories qui ne rentrent pas dans le cadre de cet Ouvrage, nous prions le lecteur d'admettre le théorème.

200. Nous allons avoir à considérer, dans la suite, les modules (n° 28) de /(:;), de ses coefficients et de la variable. Nous poserons, pour simplifier Té-crilure et le langage,

\ki,\ = a,„ 1-1 = ?.

Le module du terme ApZP est alors apzP (n" 33) et l'on a (n" 31)

Théor£;me I. — Etant donné un nombre positif z aussi petit qu''on veut, on peut déterminer f\ tel que 0 << 7^ entraîne

En efï'et, on a

((■)) \f(^) — ^>n I i «op'" -4- (t\ ?'"-• ^-. . •+ a,n-\ 0.

Or, le second membre est un polynôme de la variable réelle p et à coefficients réels. C'est donc une fonction continue (n" 7o) et, comme il s'annule pour 0 = 0, il reste << £ dès que p reste inférieur à un

(') Cf. Leçons, t. I, p. ■.>75-376.

•254 CllAl'lTRi: \VI.

certain nombre r, (n" 08); luoyennanl (juoi l'inégalité (5) esl, a fortiori^ \érifiée.

Corollaire. — Un polynôme est une fonction continue de sa iKiriable.

Celte propriété, déjà démontrée pour les polynômes réels (n*^ 75), signifie, dans le cas actuel, qu^étant donné z on peut déterminer r^ tel que \h\<. r^ entraîne

I/O0+ Aj— /(=o)| <£•

Or, cela résulte du théorème précédent, appliqué au polynôme en h : f(^Z(^-\- h) — f{'-o)i q"' i^'a P^s de terme constant.

Théorème 11. — Un polynôme croit indéfiniment a^ec sa variable.

C'est-à-dire (jue si l'on se donne un nombre positif P, aussi grand qu'on veut, on peut toujours trouver M tel que p >> M entraîne

En elTet, on peut écrire

f{z) = z'" Ao + Ai-i -}-...+ A,„Qj "

= z'" cp

En verlu du lliéorème I, on peut trouver ■/] Ici que p >» — j entraîne, par exemple,

< fn •>"

Or, on a (n" 31)

donc, a fortiori, si z >> -,

ïU

POLYNOMES. 255

L'inégalité (8) sera donc vérifiée si l'on a, outre p