OU
et
Il suffit donc de prendre pour M le plus grand des deux nombres -
Tp
Corollaire. — Si un polynôme a un module borné supérieurement, il se réduit à son terme constant.
Car, s'il renfermait g, son module pourrait dépasser n'importe quelle valeur.
En particulier, s'il est nul quel que soit z, ou bien tend vers zéro pour z infini, le terme constant est lui-même nul; le polynôme n^ existe pas.
On dit que deux polynômes f (z) et g'{z) sont identiques quand ils prennent la même valeur numérique quel que soit z. Leur diflerence, qui est aussi un polynôme, étant identiquement nulle, on voit que les deux polynômes sont nécessairement composés des mêmes termes affectés des mêmes coefficients. Autrement dit, les deux polynômes sont identiques au ])oint de vue formel; ils ne font qu'un seul et même polynôme. On écrit alors
200 bis. Polynômes à plusieurs variables. — Au n" 136, nous avons défini les jiolynomes à plusieurs variables, en nous limitant au point de vue réel. Mais, on peut aussi imaginer que les coefficienls et les variables indépendantes soient des nombres et des variables complexes. On peut étendre à ces polynômes les théorèmes du numéro précédent. Nous démontrerons seulement le suivant :
Théorème. — Pour qu\in polynôme à plusieurs variables soit nul quelles que soient les valeurs numériques attribuées à ces variables., il faut et suffit que tous ses coefficients soient nuls.
En effet, soit d'abord un polynôme à deux variables x et y. Admet-
tons qu'il jx)ssède le terme XxPyi. Comme il est nul quel que soit x (pour toute valeur donnée à y), les coefficients des diverses puissances de .r sont nuls séparément (n" 200). En particulier, le coefficient de xP doit être nul, et cela quelle que soit la valeur attribuée ky. Or, ce coefficienl est un polynôme en y\ donc, tous ses termes doivent être nuls à leur tour. jMais, Ay^ est un de ces termes, il faut donc que A soit nul.
En répétant le même raisonnement, on étendrait la démonstration de proche en proche à un polynôme à 3, 4, à, . • . variables.
CouoLLAiiiE. — Pour que deux polynômes à plusieurs variables aient la même valeur quelles que soient les variables^ il faut et il suffit qu'ils soient composés des mêmes termes avec les mêmes coefficients.
