II. - DIVISION DES POLYNOMES
Nous supposons connues, de la part du lecteur, les règles de l'addition et de la multiplication des polynômes réels, règles qui s'appliquent aussi aux polynômes imaginaires, parce que les propriétés du calcul des nombres complexes sont les mêmes que celles du calcul des nombres réels (n" 30).
201. Division suivant les puissances décroissantes. — Soient deux polynômes A et 15 de degrés. respectifs m dp (m^p). On se propose de trouver deux polynômes Q et R, le second étant de degré plus petit que p, tels qu'on ait identiquement
A, B, Q, R seront a|)pelés respectivement dividende., diviseur., quotient et reste.
Ordonnons A et 15 suivant les puissances décroissantes de z et imaginons Q ordonné de la même manière. Le terme de plus haut degré de l'Q -+- R est t'îvidemment obtetiu eu niultqjliant les picmiers termes de H et de (^, puisque R doit être d'un degré inférieur à celui de B et, a fortiori.^ de BQ. Comme il doit être égal au premier terme de A, on voit (\\\'on a le premier terme du quotiml en divisant le
CALCUL DES QUADllATURES. 2O9
Comme, datilre part, l'équaliou (20) permet de lirer^en fonction rationnelle de t cl par suite aussi f/.r, on voit cjiie, par ce changement de variahU'. rintégrale (22) se transforme bien en une intégrale de fraction rationnelle.
166. Voici maintenant un autre type extrêmement général et d'une importance capitale. Il est représenté par l'intégrale
z = I R( x^ y) dx,
OÙ Fy désigne une fraction rationnelle des variables x et y., celles-ci étant liées par une équation algébrique
représentant.^ en coordonnées cartésiennes., une courbe unicursale (t. II).
Cette équation définit y et par suite R(t,jk) comme fonction implicite de x. Mais, d'après la définition même des courbes unicursales, on peut exprimer x et y en fonctions rationnelles d'un même paramètre t, de telle manière que l'équation (26) soit satisfaite identiquement. En portant dans ^, on se ramène visiblement à une intégrale de fraction rationnelle en t.
167. Intégrales portant sur un radical du second degré. — Un type qui rentre dans le précédent est
(2G) / R(:r, ^ax'^-\- bx -h c) dr.
Si l'on pose en eff'et y = sj ax- -\- bx H- c, la relation entre x et y représente une conique, qui est une courbe unicursale (t. II). Cetle simple remarque conduit aux procédés d'intégration suivants :
Premier cas. — Le radiccd a ses racines réelles. — Soient a et ^ ces racines, de sorte que
y = ^aîx — '■J.)ix — ^).
On pose X — -j.z^t^ix — ^i) ou — t-{x — ^), suivant que a est Haag. — Cours, I. '4
210 CHAIMTHE XIII.
positif OU négatif ('). On en lire x en fonction rationnelle de ^, ainsi que j', car y ^ t{x — ,3)\/« ou t [x — ^)y/ — «, suivant le cas. Portant dans (26), on obtient une intégrale de diOerentiellc rationnelle.
Deuxiïîme cas. — Le radical a ses racines iinaginaii'es (-). — Le coefficient a est nécessairement j)osilif, pour la réalité de y. On peut alors poser y^x\/a-\-t (^). En élevant au carré, on obtient une équation du premier degré en x\ de sorte cpi'on peut calculer x el, y en fonctions ralioimelles de l.
168. Réduction de ces inlégrales. — Nous allons indicjuer maintenant un autre moyen pour calculer les inlégrales du type (aG), qui esL souvent plus rapide que les précédents, surlout dans le deuxième cas. 11 consiste à réduire^ par des calculs purement algébriques ('■), V intégrale proposée à l'une des formes canoniques
r f'dt r I'" (Il
Il est évident que la fonction \\ se présentera toujours sous la
forme
P-4-Qr
l'i + <.>ij'
(') Ceci rcvicril à couper la eoiiique par une ilroile variable pivotant autour du |ioinl (|i, o),(|ui est sur \:\ conique; conforméuient à la méthode générale pour exprimer les CDortloiuiées d'un point quclcorujue d'une conique en fonctions rationnelles d'un p;cr;iMiètre. On |)eut ans^i faire rentrer Tinl ('^^rale dans le type (aa),
• = y/rt (a; — |j) i/'- -■, ou h'xQw y = \] — a{x — ^) i/r, > sui-
en écrivant
vant le signe de a
C^) II est inutile de distinguer ce deuxième cas, si Ton ne craint pas d'introduire des imaginaires dans le calcul.
(') Ceci revient à couper la conique, qui est une iiyperijoie, |)ar une j)arall('!e à la direction asymptoliqne y = x v «■
(^) Cette méthode de réduction a l'avantage de s'étendre aux cas où le radical porte sur un polwiome de degré m^i.Les intégrales correspondantes ne peuvent pas en général se calculer jiar les fondions élémentaires. Lors(jue ni — 3 on 'ijOn les appelle intégrales elli/itiijites. T^eur étude constilne une l)rai)che impurlanlc de l'Analyse et a donné naissance à la théorie des fonctions elliptiques. I^llcs se ramènent, de façon évidente, aux intégrales du texte toutes les fois que le polynôme du radical a une racine multiple ; auquel cas on dit (|uc V intégrale dégénère. Lorsque m. > ^, on a les intégrales hyperellipliques.
CALCLL DES QUADRATURES. '211
P, Q, Pi, Qi désignant des polynômes en x\ on peut, eu effet, remplacer^-- par ax- -V-hx -\-c^ tant qu'il subsiste dans W des j)uissances de X' supérieures à la première.
On j)eut écrire ensuite
où 1^1, Ko, R3 désignent des fractions rationnelles en x. La seule
dd'liculté consiste maintenant dans l'intégration de / ^ ' •
Décomposons R3 en éléments simples; il est manifeste que nous nous ramènerons aux deux types simples :
, „ , r X'" dx r dx
(2<Sj / , /
J \/ ax- — bx — c J {X — % )"^ \J a x"^ -\- h X -^ c
Le second revient au premier par le changement de variable X — a= -5 qui conduit en effet à l'intégrale (')
t"i-^dt
\J ai/j-t ^ \y--\- bti/xt ^ i) ~i- ci-
Hesle donc à calculer des intégrales de la forme
X'"- dx
y/rtJ7--h bx -^ c
Décomposons le trinôme en carrés. Suivant que a est >o ou <io, nous pouvons, par un changement de variable de la forme .r = a^4-^ (n" IGi), le réduire à t- -\- h ou i — t- (en négligeant un facteur constant). Moyennant quoi, Vintégrale (2g) se ramène à une somme d'intégrales de la forme (2-).
11 ne nous reste plus qu'à voir comment se calculeront ces dernières ('-).
D'abord, si m est impair^ on pose t--\- h = u- ou i — ^-= u-^ et l'on est ramené à intégrer un polynôme.
Si m est pair, on emploie ordinairement l'artifice suivant (^). Soil
( ' ) Il l'auL preudre le signe -r- ou le sij^ae — , suivunt que t est ■< o ou >- o. (-) On pourrait d'ailleurs les calculer une fois pour toutes, puisqu'elles sont indépendantes des coeflicients de la fonction \\{x,yjax- -~ bx -t- c). (') Cf. n- IG'i.
par exein|)le ;i calculer L„. Intégrons par poiiies
= I /2"-' d\/t^-i- h = t^-'' -'^s/t--^ h — (-2/1 — D / r-" '^^r^-T- Il dt Or,
D'où la formule de récurrence
(So) ^/i lo,, -H (-.i/i — l'l/tl.2„2= /-"-' \//2 -^ /i ,
qui permellra de calculer L« en fonction de 1,,^ logi t + y/^-4- A ).
On calculerait de même .T^/, en fonction de Jo= arcsin/.
Dans ce dernier cas. auquel on peut d ailleurs ramener le premier, si l'on ne lient |)as à éviler les imaginaires ( ' ), on peut aussi poser
l = sin-j. ce qui conduit à / sin'"cp r/cs (n" 169) (-).
I(j9. Fractions rationnelles en sin.ret cos.r. — Soil à intégrer
(3i) / Rfsina:, cosa^) <:/a?,
R désignant une fraction rationnelle en sina: et cos:c.
La mélliode s^inhcile consiste à poser tang — ^ t . (>omme on sait
e\|)nmrr ralionuellnnent sin^ et cosa? en fonction de / el que, d autre
, idl . , . , . , . , /• •
part, dx = -> on voit (|u on n aura plus (ju a intégrer une iraclion
-rationnelle en /.
Dans certains cas, on |)eut simplifier les calculs. C'est ainsi que, si la fonction H admet pour période tt, il est plus avantageux de
(')On peu! aussi. pi)ur le calcul (\c l„^, po^er l = ^'hshv ou t = \' — A cli s, suivant
le slirnede A; ou bien encoi-c ( ~ Jh laiin-^ ou t= '
O) ()n pouriail luèmo faire ce changemcnl de variable direrlement sur
\Mx, \lax'-\- bx -\- c).
en supposant le radical ramené préalablement à la fornu; canoni<|ue. On serait alors conduit à une intégrale du type étudié au n" 169.
CALCUL DES QUADRATURKS. '13
poser \.A\\^^x ^=t. On pourrait jMoiiver que, daiis celte hypothèse, Il est une fonction rationnelle de lany\r; mais le leelfur le vérifiera .-ans difficulté sur chaque exemple particulier.
Polynômes en sin^ et cosx. — Vrrélons-nous aussi sur le cas où R est seulement un polynôme en sin:c et cos^. La méthode générale s'applique toujours; mais la suivante est plus rapide.
On met Pi sous la/orme d' une fonction linéaire des cosinus et sinus des arcs .r, ix^ 3j?, ... (n" 109). L'intéi^ralion terme à terme est alors évidente, car
r . sin/??.r r .
I cos ni X dx = , / SI n /?? x ax =
Dans certains cas, on peut encore simplifier considérahlement les calculs et éviter la transformation précédente, qui est souvent pénible. Tout polynôme en sinx et cos.r est, en eflet, une somme de termes de la forme XcosPx shv/x. Soit donc à calculer
cos/'x sin'/x dx.
les nombres/; et q étant entiers et |)Ositifs. Si l'un au moins d'entre eux est impair, on peut se ramener immédiatement à l'intégration d\in polynôme. En efie-t, soit par exem|)le p^^in-\-\. On écrit
cos-""*"' X <^m'i x dx = ( cos-x)" sin'/.r cosa? dx = ( i — sin-r i" •■'xn'i x diûnx).
Il suffit donc de poser ûnx ^= t.
Ceci s'étend même au cas où p el q seraient susceptibles d'être négatifs; mais on est alors conduit à une fraction lationnelle en t el non pas à un polynôme, ce qui |)eut compliquer beaucoup.
Si /j et q sont pairs, la simplification n existe pas.
170. Fractions rationnelles en e'. — Citons enfin linlégration d'une fraction rationnelle en e^, qui s'etreclue en posant e^'^ /. Si
l'on remarque que dx = — , on voit qu'on sera encore conduit à une
fraction rationnelle en t. Au reste, ce lype est au fond idenlicpie au
•il4 CIlAPITHi: Xni. — CALCI'L DES QUADRATURES.
précédenl. en vcrlu des formules d'Euler (n" 109); à eondltion. bien entendu, ^('admellre l'emploi des imaginaires.
Observons, pour terminer, (|a on saura intégrer aussi une fraction rationnelle en e^^., ou en sina^r et cosaj", a étant une constante cpielconque, entière, fractionnaire ou incommensurable. Il sufiit, en elfel, de poser ■y.x ^=- 1 pour se ramener aux cas précédents.
APPLICVTIONS L)i:S QUVDHVTURES.
171. La notion d'intégrale définie s'introduit directement dais une foule de questions de Géométrie, de Mécanique et de Physique. D'une manière générale, il en est ainsi toutes les fois qu'on se propose de mesurer une grandeur dont aucune partie ne peut être superposée à la grandeur de même nature prise pour unité ( longueur d'une ligne courbe, aire limitée par une ligne courbe, volume limité par une surface courbe, etc.). Il arrive même C[ue la grandeur à évaluer ne peut être définie d'une manière précise que par le moyen d'une ou plusieurs intégrales (masses, centres de gravité, moments d'inertie, travail, etc.). INous allons, dans ce Chapitre, passer en revue les principales applications tirées de la Géométrie et de la Mécanique.
17!2. Longueur d'une ligne courbe. — Soit à évaluer la longueur de l'aie de courbe AB, défini par les éc[uations paramétriques (t. II)
supposées telles que le point M (j7, j', :;) de paramètre t décrive l'arc AB, de A vers B et toujours dans le même sens, lorsque t croît, d'une manière continue^ de a à ^3.
On ne peut superposer aucune portion de AB à l'unité de longueur qui est un segment de droite. 11 faut donc procéder indirectement. Partageons l'arc AB en ii arcs partiels par les points M, , Mo, . . ., M,j i , de paramètres t^^ to, ..., ^«i. Par définition, la lons;f/('ar l de
Varc AB est la limite de la longueur \ de la ligne polygonale VM, Mo . . . M«, B lorsque n augmente indéfiniment^ chaque arc partiel tendant vers zéro.
Cette délinition concorde bien avec la notion vulgaire que tout le
-ilO CHAPlTItli: \IV.
monde possède de celte longueur (^'). Il s'agit mainleaant de la traduire analA"li(|nenient.
Evaluons A. On a (t. Il)
IM,-M,-H-, = \/{a-i+i — Ti f + ( jK,-Hi — yi y -+- ( :-i+i — -/)'•
Or, si Ion regarde (//i.( — /,) = A// comme un iiifinijnenl petit principal, la différence ^,^, — ;r,= Ajc/ a pour partie principale la différentielle djCi= /' (li)lti (n° \'ÀH). Donc, la parlie principale de iM,JM/^i est F(/j) A//, en posant, pour abréger,
Il suit de là (n*^ 14-i, remarque) que A a même limite que la somme
2 = F(a)(/,-a) + F(f,)(^2-^) + ...-HF(^,,)(^-/„,). Donc (3) l^ Y(t)dt.
Élément linéaire. — La portion d'arc A^- comprise entre les points M et I\l' de paramètres / et < + (// a pour partie princi|»ale, si clt est infiniment petit principal, la différentielle de la fonction .v = / F{t)d(^ c'est-à-dire
(4) ds = ¥{t)dt =v/a7'^-r jk'--i- z"^ dt — ^dx"^-^ dy^ -\- (h'^.
C'est ce qu'on appelle l'élément linéaire de lacourbe. C'est Félément différentiel de l'intégrale (3).
D'après le raisonnement fait plus haut à propos du calcul de la corde M/M/^,, ds est aussi la parlie principale de la corde MM'. Ceci nous prouve, en passant, que, sur une courhe quelconque, tout arc infiniment petit est un infiniment petit équi<>'((lcnt à sa corde. C'est ce qu'on exprime aussi en disant que le rapport de la corde à l'arc tend vers i, lorsque l'arc tend vers zéro.
M'A. Règle pratique pour la rectification des courbes. — Dans la pratique, pour rectifier une courbe^ c'est-à-dire |)our calculer sa
( '; Cf. Leçons, n" '20.
APPLICATIONS Di:S QUADRATL RES. 2 17
longueur, on commence par calculer son élément linéaire. Pour cela on prend deux points voisins M et M' et l'on calcule la corde MM', en négligeant les infiniment petits du second ordre. (Kielques considérations géométriques pennetlent souvent de faire très rapidement ce calcul. CVst ainsi qu'on letrouve de suite la formule
( 5 ) cls-^ dx"- -i- dy''- -r- dz- ,
en remarquant que les projections de MM' sur les axes sont, au second ordre près, les dififérentielles dx., dy, dz. De même, si la courbe est
plane et déterminée en coordonnées polaires {i. II), on construit le triangle rectangle MPM' (fig. 27) et l'on écrit
ds-^^ .mai' =. MP' ^- PM^'.
Or, le cercle de centre O et de rayon 0 coupe OM' en un point O dont la distance à P est du second ordre ('). Donc^ on peut prendre
P.M' = dp et MP = arcMQ = p rAo, d'où
( G ) ds- = r/p2 -+- p2 C?0j2 .
Soit encore une ligne tracée su/- une surface de révolution. Menons les méridiens et parallèles qui passent |iar M et M'; nous obtenons la figure MPM'Q, qui est sensiblement un rectangle {fig- 28).
Donc MM'' = Mp' + VSÎ'\ Or, soient t/t l'arc MP, r/cp l'angle des plans méridiens passant par M et M' et r le rayon de [)arallèle MQ. On a, au second ordre près,
M P = d-j. PM ' = M Q = /■ d':. ; (') Si ; = MOM', on a PQ = OQ - ÛP = p - 0 cos e = p(i- coss) = i (^- -...j-
d'où
CHAPITUE XIV.
ds^-= r/cr2-i;-2^o2
l*av exemple^ si la sur/ace est une sphère de rayon R et si cp, 0 sont la longitude cl la colatitnde de M (t. II), on a
d'où
^/j=K<:/0, /•=RsinO;
ds- = R2 ( d(r- -h sin'-i 0 do^- ).
Fig. 28.
Une fois qu'on est en possession de /.'élément linéaire^ on faii choix d'une variable indépendante t dont la variation entre deux limites a et [3 donne naissance à l'arc AB, comme il a été expliqué plus haut. On fait ce choix de façon que Vêlement linéaire ds, calculé en fonction de t et de dt, se présente sous la forme la plus simple. Puis, lorsque ce dernier calcul est ellectué avec toutes les réductions et simplifications jjossibles, on intègre ds entre les limites a r/ j.
I7i. Aires. — .Mres planes. — Soil d'aliord à (■valuci- Taire A comprise à l'intérieur d'une couil)e plane fernH'c qiieleon(pie {fi g- 29).
Fi g. 09.
^^Ji;^..
jn
Lii première uh-e (pu \ient ii res|)rit est de décom poser celle aire en une somme ou une di [jérence de trapèzes curvilignes ana-
APPLICATIONS DES »JL ADRATL HES. 219
lognes à ceux du n" 14^. Par exemple, dans le cas de la figure 29, on mène les tangentes parallèles à Oy, et l'aire A est la différence des trapèzes curvilignes A.M,B6rtA et AMoB/^aA. Si y z= f^(^x) et y = f.2{^) sont les équations des deux arcs AAI,B et AMoB, on a donc
A= r f,{x)dx-f Mx)dx=f {Mx)-Mx)\dx,
OU
A= r \l2l\Ii^.r.
De même, pour la figure 3o, on a
X = — aXoc?,ba -{- bB^Gcb — cGyD de -h dDBEd — EeF/E -^/FoG^^J — é-Gr^ II hg -+- A HI A — lAaI.
On calculera chacun des termes de cette somme en prenant les précautions de signes indiquées au n° [4^Â.
On obtient des résultats beaucoup plus élégants en ne s'astreigtiant pas à prendre x pour variable d'intégration. Supposons que A soil limitée par une courbe fermée C, telle qu'on puisse exprimer les coordonnées x et y de son point courant M en fonction d'un paramètre t, dont la variation continue de ^0 à ty fasse décrire à M toute la courbe une seule fois et dans un sens quelconque que nous appelons sens positif. Nous allons donner à l'aire A un signe défini par la convention suivante : Menons en M la demi-tangente positive MX, dirigée suivant le sens de parcours ci-dessus. Faisons-la tourner
de H — ^ (t. II ), de manière à obtenir la demi-normale positive MY. Si MY est
dirigée vers l'aire X, celle-ci sera positive; si/wn. elle sera négative (^'). Je dis qu'avec celte convenlioii, on a
A=-(%.rf. = -/"(,.^)
dt.
Nous nous bornerons à le véririer sui- un cas de figure, la vérification étant la même dans tous les cas. Sur la ligure 3i, on a
f ydx = AIoAfj/^^,I\lo— Ai\l'B6r/AM-BMo/rto6R =— | A 1.
D'autre part, A étant positif, on a bien l'égalité (9).
Tout ce que nous venons de dire peut se répéter en échangeant les rôles des axes Ox et Oy. Comme l'échange de ces axes change le sens positif de rotation du plan (t. II), il faut, en même temps qu'on permute x et r dans la formule (9), changer le signe du second membre, ce qui donne la formule, d'ailleurs facile à vérifier directement,
ly^-^-fm
dt.
Kn ajoutant (9) et (10), il vient (II)
A=i^ (xdy-ydx) = lj^ (^^^^-),//.
175. Celle (Jcinière formule pciil s'<)l)lenir direclenient de la manière sui\anle : Soient une eouiheC quelconque e! un point ]\I mobile sur celte c<jurlje. Le rayon vecteur OM balaie une ceitaine aire
(') Dans le cas où la courbe est convexe, on peut aussi prendre un point fixe P intérieur à A. Si la demi-droite PM tourne dans le sens positif (t. II) quand M décrit C dans le sens positif, l'aire est positive; dans le cas contraire, elle est négative.
APPLICATIONS DES QUADRATUttES. 7.21
que nous comptons comme positive sHt tourne dans le sens positif et comme négative dans le cas contraire ('). Supposons que M dépende d'un paramètre t^ celui-ci variant de ^o <> h lorsque M décrit l'arc jMoM|. Je dis que l'aire OMqM, O est donnée, en grandeur et en signe, parla formule (ii)- En effet, on |)eut la considérer comme la
limite de l'aire du secteur polygonal obtenu en inscrivant dans l'arc MoM, une ligne polygonale dont le nombre des côtés augmente indéfiniment, chaque côté tendant vers zéro. Ce secteur étant une somme de petits triangles tels que OMM' {Jlg- 02), on se ramène, en raisonnani, comme au n° 172, à une intégrale définie dont l'élément diilérentiel est l'aire OMM' ou un infiniment petit équivalent. Or, si (a*, y), [x -\- Aa?, y -f- Ay) sont les coordonnées des points M et M', cette aire esl, en grandeur et en signe (l. II),
La partie principale est
l(xdy-ydx)= '^J^x'-^ -y^^dt,
si < et ^ + dt sont les paramètres de M et INI'. On a donc bien
Si l'on suppose maintenant la ligne C fermée et parcourue tout entière dans un certain sens quand / croît de t^ à ^1, la formule (12)
(') Cette convention équivaut à la première, si le sens de paiconrs du contour OMoMi*) est tel qu'il roïncide, sur l'aie M^M,, avec le sens du niouvenient de M.
donne Taire inlérieiire à celle ligne avec le signe convenu plus liaul. En efïel, en menant de O les tangentes à G, on a {Jig. '^3).
- / (a7^j — jK^^) = OMoPBO — OBP'AO-+-()AAIoO = A.
Fig. 33.
Nous laissons au lecteur le soiu crexaniiner d'auti^es cas de liaiire, avec les diverses hypothèses sur le sens |)osilirde ])arcours de C En coordonnées polaires^ on a, comme on le vérilie par un calcul
élémentaire,
X dy — y d.v = p- c?to ;
donc
Au reste, cette formule est aisée à vérifier directement, car Célénienl d'aire OMM' {fig. 32) est égal, au second ordre près, à Taire du secteur circulaire OMF*, lequel vaut, en grandeur et eu signe, -o- f/(o.
176. yiire dune surface de révolution. — Soit la surface de révolution engeudr(''e par la couihe C eu toui'nant autour de la droite A
siii('-e dans son plan {fig- •')\). Nous noii^ pinposous de calculer Taire engendrée pai- Tare M„M,. luiagmons loii|()urs (pi'ou iiiscnxc un»-
APPLICVTIONS DES QIADRATUUES. 2 >. i
ligne polygonale clans l'arc MqM,. Chaque côté MM' engendre un
tronc de cône. La somme des aires de tous ces troncs de cône tend
vers l'aire A cherchée lorsque le nondjre des côtés tels que MM' croît
indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéi'O. On est encore conduit
à une intégrale définie dont l'élément différentiel est l'élément
délire rfA engendrée par la corde MM', ou un infiniment petit
équivalent. Or, soient /■ le rayon du parallèle qui passe par M et ds
l'arc MM'. On a
dK = 2 t: /■ ds.
On calcule) a cet élément cV aire en fonction. d\in paramètre ^, qu'on choisira pour avoir un résultat aussi simple que possible; puis on intégrera entre Mq et M), c'est-à-dire que si t^ et ?, sont les paramètres de ces deux points, on aura
177. Volumes. — Soit à calculer le volume \ intérieur à la surface S {fig- 35). Choisissons un axe Os et découpons V en petites
Fis.
tranches par des plans perpendiculaires à Oz, dont les cotes iront en croissant de z^ k s,. Calculons le volume de la petite tranche dY comprise entre les plans de cotes z el z -\- dz, on un infiniment petit «'■(piivalent. Le plan (5) coupe le volume suivant une aire plane, que nous savons évaluer (n° 174), et qui est évidemment une fonction déterminée de s, soit A(s). Nous pouvons, au second ordre près, remplacer d\ par le volume d'un cylindre de ijase A et de hauteur f/c, c'est-à-dire prendre
d\^k{z)dz.
En inlégianl cet élément de voluinc entre z^, et 5,, nous aurons le volume cherché
(i5) \=J^ 'A(z)dz.
Remarques. — I. Dans chaque exemj)le, il faut profiter de V indétermination du choix de Oz pour simplifier le plus possible le calcul de la fonction A(:;). Par exemple, si V est limité par une surface de révolution et deux de ses parallèles, on prendra O; suivant l'axe de révolntion. L'aire A (s) sera alors celle du parallèle de cote :;, c'est-à-dire "/■-, en appelant r le rayon de ce dernier, qu'on aura en fonction de c grâce à l'équalion de la méridienne dans son plan.
11. Il est souvent plus avantageux de ne pas garder z comme variable d^ intégration., mais de calculer au contraire A et :; en fonction d'un même paramètre t fixant le plan sécant. On intègre ensuite dV entre tQ et ts.
178. Masses. — Nous admettons la notion expérimentale de masse.
i" Masse d'une ligne. -. — Une ligne est dite homogène si deux arcs de même longueur ont la même masse, quels que soient ces arcs. Le quotient constant de la masse d'un tel arc par sa longueur s'appelle la densité linéaire de la ligne. La masse d' une ligne homogène s^obtient donc en multipliant sa longueur par sa densité linéaire.
Soit maintenant une ligne non homogène AB {fig' 36). Nous
Fis. 36.
allons définii- la densité linéaire en uti point M de cette ligne. Prenons un arc M' M" comprenant ]\L Soit As sa longueur et \m sa masse. Le quotient -— est la densité linéaire moyenne de l'are INI'M", La limite de ce ({uoticnl lors(jue M' et M" tendent simullanémcnl vers M est la densité linéaire au point M.
Soit p cette densité. Si l'on considère \\n arc infiniment petit ds comprenant M, la masse \ni de cet arc a pour partie |)iincq)ale
( \^) dm = p ds,
P0LY>'0Mi<:s. 257
premier terme du dividende par le premier terme du diviseur. On obtient ainsi un certain monôme q^, de degré m — p.
Retranehojis du dividende le pjroduit du diviseur par ce premier terme; nous obtenons le premier reste partiel., qui est un polynôme R, de degré au plus égal km — i , car les termes de degré m de A et de B^i se détruisent, d'après la façon même dont a été calculé </,. Retranchons en même temps B^y, du second membre de (9); si nous désignons par Qj la différence Q — ^1, c'est-à-dire la partie inconnue du quotient, nous avons
(10) R,= BQ,+ R.
Celte identité est de même forme que (9). On en conclut c[ue le premier terme q^ de Q(, ou second terme du quotient, est obtenu en divisant le premier terme du premier reste partiel par le premier terme du diviseur.
Retranchons du premier reste partiel le produit du diviseur par ce second terme; nous obtenons le deuxième reste partiel., qui est un polynôme Ro dont le degré est inférieur au degré de R^,, pour la môme raison que plus haut. Si l'on pose
Q,= Qi ry,= Q-(<7,-+-ry,), on a
(11) R.= BQ,-+-R;
d'oii l'on déduit que le troisième terme du quotient s^ obtient en divisant le premier terme du deuxième reste partiel par le premier terme du diviseur.
En continuant ainsi., on obtient de proche en j^roche une suite de restes partiels dont chacun donne un terme du quotient. D'une façon générale, on a le (A" -h i)''''"'^ terme du quotient en divisant le premier terme du A^^'"^ reste partiel par le premier terme du diviseur., comme cela résulte de l'identité
(12) R/,= BQ/,+ R,
où l'on a posé
03) Q/.= Q — (f/i+'ya + .-.+ 'Z/.O-
Comme les degrés des restes j)artiels vont en décroissant, il arrive H.vAG. — Cours, I. 17
CHAPIIHE \VI.
un moment où Von ne peut pou/suivre l'opération, parce que le reste partiel est de degré inférieur à celui de B. Ce reste partiel est alors le reste de la division, et Vensemhle des termes obtenus au quotient constitue ce quotient tout entier.
En effet, si /? est le rang du reste partiel en (jiiestion, on a, d'après (12) et(i3),
(i4) R„=BQ„-^R (ng/n — /> -4- 1),
avec
Or, (i4 ) s'écrit
Si Q/i n'était pas identiquement nul, le premier membre aurait un degré au moins égal à/>. Or, le second membre a un degré plus petit que/>, puisqu'il en est ainsi de R et de R,^. L'identité (i<)) n'est donc possible que si Q,^^o et, |)ar suite, R,, e^ R et, en vertu de (i5),
0 = ^) + </i+- ••■+- qn-
En résumé; nous avons montré que, quels que soient les polynômes A et B, pourvu cpie m soit au moins égal à />, on peut toujours trouver les j)oljnomes () et R vérifiant l'identité (9), qu'on appelle V identité de la division suivant les puissances décroissantes. Nous avons obtenu du même coup une régie permettant de les calculer (') sans aucune ambiguïté, ce qui nous prouve que le problème posé n^admet qu'une seule solution^ ou, comme on dit encore, (jue ridentité de la division n'est possible que d' une seule manière. Ceci peut d'ailleurs s'établir directement en raisoniiaul comme il suit.
Sup[)OS()ns qu'on ail, outre ( q),
(\-) A— HQ'+H',
(') Nous croyons inutile d'énoncer de nouveau celle règle, qui tiendrait beaucoup de place et qui est, du reste, constituée en entier par les passages en italique du texte ci-dessus. La meilleure façon de l'apprendre est d'ailleurs de l'appliquer plusieurs fois à (les exemples numériques. Quant à la disposition pratique des calculs, nous rindi(iuons dans les exercices résolus corn'S])(jiulaiil à ce (lliapilic.
POLYNOMES. 259
II' étant, comme R, de degré </>• On aurait aussi nS) B(Q-Q')= R'— R;
ce qui est impossible, car le premier membre a un degré au moins égal à yf>, tandis que le second a un degré plus petit que/>.
Lorsque le reste est identiquement nul, on dit que la division se fait exactement, ou encore que A est divisible par B, ou enfin que H divise A ou est un diviseur de A.
Quand il n'en est pas ainsi, nous avons vu qu'il était impossible de poursuivre l'opération, parce qu'on ne pouvait plus diviser le premier terme de R par le premier terme de B. En vérité, ceci est exact si l'on assujettit le quotient Q à être un véritable polynôme; mais on peut admettre aussi l'extension suivante :
On peut toujours continuer la division si l'on convient d' introduire au quotient des termes à exposants négatifs. En procédant toujours suivant la même règle, il est alors possible de pousser la division aussi loin qu'on le désire. On peut également effectuer celle-ci dans le cas où A a un degré inférieur à celui de B, le quotient ne contenant alors que des termes à exposants négatifs. Mais nous n'insistons pas davantage sur cette extension, parce qu'elle est au
fond équivalente, grâce au changement de ; en -> à la division suivant
les puissances croissantes, que nous allons maintenant exposer.
202. Division suivant les puissances croissantes. — Etant donnés deux polynômes cjuelconques A et B, dont le second possède un terme constant, et un nombre naturel \ également quelconque, on se propose de trouver un polynôme Q de degré au plus égal à K et un polynôme R donnant lieu à V identité
(19 j A= BQ-t- c>+>B.
A cet eflet, nous allons procéder comme au numéro précédent, mais en ordonnant tous nos polynômes suivant les puissances croissantes de z.
Tout d'abord, si A commence par un terme de degré au moins égal à A 4- 1 , on a nécessairement
26o CHAPITRE \VI.
sans quoi on pourrait écrire
BQ = A — ^>+i H,
identité impossible, car le second membre renferme z'-'^* en facteur, tandis qu'il ne saurait en être de même du premier, puisque B possède un terme constant et que Q est au plus de degré A.
Supposons maintenant que le premier terme de A soit de degré <; A + I . Il doit être égal au premier terme de BQ. D'où l'on conclut que le premier terme <7, de Q est égal au premier terme de A divisé par le premier terme 6„ de B. Retranchant B^, des deux membres de (ly), il vient
(20) Ri= BQ,-i-^>^+iR.
Le premier terme de Q,, ou second terme q.2 de Q, s'obtient donc en divisant par ^0 le premier terme du premier reste partiel K,, lequel terme est certainement de degré supérieur à celui de ^,, car le terme l>Q(/^ disparaît dans la différence R, = A — B^,. En retranchant B^a des deux membres de (20), on fera apparaître un deuxième reste partiel, et ainsi de suite.
Les restes partiels successifs ont des premiers termes dont les degrés vont en croissant, du moins tant qu'on n'obtient pas de reste nul. En laissant de côté cette dernière hypothèse, il arrive donc un moment où l'on obtient un reste R„ commençant par un terme de degré au moins égal à À + i , le reste précédent B«i ne commençant que par un terme de degré au plus égal à A. Comme on a, en appelant Q« la partie mancjuanle du quotient,
(21) R„=BQ„-^>.+'R,
on en conclut, d'après le cas particulier examiné au début, que (^>,j est nul et R„ égal à s'+' R.
En résumé, pour trouver les polynômes () et R (pii satisfont à (19), on divise A par B en suivant exactement la même règle qu'au numéro précédent, avec cette seule différence que les polynômes sont ordonnés suivant les puissances croissantes de z et qu'on arrête l'opération dès qu' on obtient un reste partiel coninwnçant par un terme de degré au moins égal à A 4- 1 . Ce reste partiel est le reste -c'+'R. de la division et V ensemble des termes obtenus au quotient constitue le quotient Q tout entier.
POLYNOMES. 261
Comme on a obtenu une règle parfaitement déterminée pour le calcul des polynômes Q et R, on peut affirmer que l' identité (19) n'est possible que d\ine seule manière^ pour une valeur donnée de).; ce qu'on peut aussi prouver par un raisonnement analogue à celui de la page 209 et que nous laisserons au lecteur le soin de faire.
Nous avons laissé de côté le cas où l'on obtient, à un moment donné, un reste identiquement nul. Dans cette hypothèse, si Q' désigne l'ensemble des termes obtenus au quotient, on a
(22) A = BQ'.
Donc, A est divisible par B, au sens du numéro précédent. Réciproquement, si A est divisible par B, la division suivant les puissances croissantes se termine nécessairement. D'une façon précise, si m etyo sont les degrés de A et B, l'identité (19) n'est possible^ pourÀ^/n — />, que si R = o, Q = Q'. Cela résulte, en effet, de ce que cette identité n'admet cpi'une solution, qui est précisément fournie par (22).
Comme on le voit, la division suivant les puissances croissantes permet, aussi bien que la division suivant les puissances décroissantes, de reconnaître quand deux polynômes sont divisibles l'un par l'autre. Pour que A soit divisible par B, il faut et il suffit que^ dès qu'on obtient un reste partiel devant renfermer ^"'~^+' en facteur, ce reste partiel soit identiquement nul. Si A n'est pas divisible pa/- B, la division peut se pou/suivre indéfiniment et donner lieu à l'identité (19) pour des valeurs de A aussi grandes qu'on le veut. En particulier, il en est toujours ainsi si m <ip.
203. Division par x — a, 1 — ax. — On obtient des résultats particulièrement simples et d'un usage assez fréquent, en étudiant la division d'un polynôme par un binôme du premier degré. Suivant qu'on veut effectuer celle-ci suivant les puissances décroissantes ou croissantes de j; ('), on la ramène à la division par x — a ou par I — ax. Bien n'est, en effet, plus aisé. Soit à àWner f[x) par y.x + 3. On écrit, suivant le cas,
fjx) \ f{ X ) /(.r) i fi X)
-(-âj '-[-ri
(') Nous appellerons ainsi dorénavant la variable indépendante. Mais, il reste bien entendu qu'on peut la supposer imaginaire.
262 niAPITRE XVI.
et l'on pose
a= ou a= — y-'
Division par x — a. — Ecrivons l'idenlilé de la division suivant /es puissances décroissantes sous la forme suivante :
(23) f{x) = Aoa;'«-i- Aia"«-i-f-. . .-h A,jX"'-i'-\- , ..-;- A,„
= (x — a)(Boa7'"-'-i- B,a7'«-2-f-.. ,
OÙ les A sont les coefficients connus (' ) de /"(a:), les B les coefficients inconnus du quotient et R le reste, lequel est une constante puisque de degré inférieur au degré du diviseur x — a.
Egalons les coefficients de x"'^~p dans les deux membres
(24) A/,= Bp— aB,,i, Bp:= ApH- rtBp i; relation de récurrence qui se traduit par la règle suivante :
Règle. — Chaciue coefficient du cjuotient est obtenu en multipliant par a le coefficient précédent et en y ajoutant le coefficient du dividende qui a même rang que le coefficient cherché.
Si l'on ajoute à cela que le premier coefficient Bq du quotient est égal au premier coeffcient Aq du dividende, comme on le constate en considérant les termes en 5:"% on voit qu'on pourra calculer très simplement, de proche en proche, tous les coefficients du (juotient, et cela sans être obligé de poser la division., comme on doit le faire pour deux j)olvnomes quelconques.
La relation {'■i.\) est encore valable pour p = m, mais à condition que B„i soit remplacé par R. Donc le reste est aussi déduit, par la règle précédente, du dernier coeffcient du quotient.
Théokèmk. — Le reste de la division de f{x) par x — a est f{a).
Il suffit, pour s'en rendre couq)te, de faire .r :=« dans Tidenlité (28).
Ce ihéorème, joint à la règle précédente, donne un moyen de
calculer fia) qui est beaucoup plus pratique que celui (pii consiste-
(') Si lin terme manque dans /(a;), on le suppose écrit néanmoins, mais avec un coefficient nul.
POLYNOMES. 263
liiit à subsliluer directement a dans /"(^), surtout si l'exposant m a une valeur un peu considérable et si a ne se réduit pas à ± i .
'204. Division par i — àx. — Nous divisons, cette fois, suivant les puissances croissantes et nous avons l'identité
(25) fix) = Ao+ Ai^r-h. . . +- \pxi'^. . .— A„,jr'«
= (i — aa7)(Bo-l-Bia;-^...— B/,,a-/'-i-r-BpX/'-f-...-hB>,:p>i-l-a->>-^iR.
En égalant les coefficients de xf% nous retombons sur la relation (24)- Donc, les coefficients successifs du quotient sont obtenus par (a même règle que précédemment.
Cette règle convient si grand que soit )., à condition de regarder comme nuls les coefficients des puissances de .r supérieures à la m'^™", dans y*(.r) ; ceci lorsque k^rti ('.). Elle convient aussi pour le calcul de R, si l'on pose R = B),^, : mais si \ <^ m — i , il faut remplacer A>,^, dans la formule Bx^i = <:7Bx+ A),^,, par le coefficient de x^+* dans l'ensemble des termes dey(^) dont le degré est au moins égal à À + 1 , c'est-à-dire par A).,., -f- A).^o:i" -i- ... -r A,„a""'"' ' : de sorte que, dans ce cas, B est un polynôme de degré m — ), — 1. Dans les autres cas, c'est une constante. ,
Théorème. — Si i.^m — i , on a : f ( — ] = -^
Cela résulte visiblement de 1 identité (20 ) et de ce que W est une constante.
On tire de là un moyen praticjue pour calculer /{-)', on se
ramène, par la formule ci-dessus, au calcul de R pour r^m — 1, Ce procédé doit être joint à celui qui a été indiqué au numéro précédent pour le calcul de /"(«). On enq^loie l'un ou l'autre suivant qu'il semble plus simple de multiplier les coefficients successifs par et ou par -• Nous retrouverons ces considérations au Cliapitre XXI.
'205. Décomposition d'un polynôme en facteurs linéaires. — Pour qu un polynôme soit divisible par x — a, il faut et su (fit que f{a) soit nul (n° 203). Or, le théorème de d'Alembert ( n" 199) nous
(') On voit, d'après cela, (]ue les coei'ficienls successifs du quotient suiil en progression géométrique de raison a, à partir du coefficient de x"\
apprend cpie tout polynôme admet au moins une racine «,, réelle on imaginaire, ol, par suite, se trouve certainement divisible par un facteur linéaire de la forme x — a^. Soit alors
f{x) = {x — ai)fi{x).
Si f{x) est de degré /;?, /, [x) est de degré m — i et doit être, à son tonr. divisible par un facteur linéaire x — a-, ; soit
Mx)~{x-a.)f.{x).
Le polynôme f-i{x) est divisible par x — «:i et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait trouvé m diviseurs, auquel cas le dernier quotient sera une constante C,
fm-\{x) = (x — a,n)C.
En multipliant membre à membre toutes les identités obtenues, on a
(•26) f(a:)~C(x — ai){x — a.2)...ix — o.,n)-
Donc :
Théouème. — Tout polynôme de degré m est décomposable en un produit de n\ facteurs linéaires.
Certains de ces facteurs peuvent d'ailleurs être égaux. Si l'on veut mettre en évidence les facteurs distincts, on écrit
{•>-,) f{x) ES Q.{x -aYix - hp...{x - //■,
les nomin-es «, ^, .,., / étant tous didérents et les exposants a, j^j, . . ., y étant des nombres naturels de somme m.
Si Ton lemarque quey(.z) ne ))eut s'annuler (pic si liin des facteurs du second membre s'annule, on voit que les zéros de f [x) sont a, //, . . . , /. Les exposants a, jj, . . . , )> sont appelés leurs ordres de multiplicité respectifs. Suivant que a = 1 , 2, 3, . . . , //, la racine a est dite simple^ double^ triple, . . . , z*"'''^.
Si l'on compte cliaque racine un nombre de fois égal à son ordre de muliij)licité, on peut dire {\^\\ un polynôme de degré m possède ni racines.
Tmkorjc.mk L — Si un polynôme du m"'""' degré s'annule pour plus de m valeurs distinctes, il est identiquement nul.
POLYNOMES. ^65
Eli efTel, si/"(^) s'annule pour les valeurs dislinctcs «,, ao-, ••••, cim-, on a ridenlité (aG), où G est une constante iriconnue. Si l'on suppose en outre (\ue f(^x) s'annule pour une nouvelle valeur cim+y-i comme aucun des facteurs («,,24.1 — «,), ..., («w+i — «,„) n'est nul, il faut que la constante G le soit. Mais alors /"(.r) hee o.
TuitouÈME II. — Pour que deux polynômes aient les mêmes racines avec les mêmes ordres de multiplicité^ il faut et suffit qu'ils aient leurs coejjîcienls proportionnels.
En effet, û f{x) et g{x) admettent tous deux les racines a, b, ...^ l aux ordres de multiplicité a, [B, ..., À, ils donnent lieu chacun à une identité telle que (27), la constante G pouvant seule varier d'un polynôme à l'autre. Dès lors, on a une identité de la forme
les coefficients de /"sont égaux à ceux de g- multipliés par Â. La réciproque est évidente.
