III. - DIVISIBILITÉ

200. Plus grand, commun diviseur. — Etant donnés deux polynômes A et B, proposons-nous de trouver tous leurs diviseurs communs.

On peut, à cet effet, imaginer <^/eM.2: procédés différents^ entièrement analogues aux deux méthodes qu'on emploie en Arithmétique pour la détermination des diviseurs communs à deux nombres entiers.

Le premier repose sur le théorème suivant :

Théoiu:me. — Pour qu'un polynôme B divise un polynôme A, il faut et suffit que A contienne tous les facteurs linéaires de B avec des exposants au moins égaux à ceux qu'ils ont dans B.

Gela résulte manifestement de l'identité A ^ BQ.

On peut déduire de là toute une théorie du p. g. c.d. et du p.p.m.c. de deux ou plusieurs j>olynomes, en raisonnant comme en Arithméticpie lorsqu'on s'appuie sur la décomposition des nombres en facteurs premiers. Mais cette méthode, très simple en théorie, ollre Tinconvé-

nient dexiger la dt'composilion des |)uljnomes en fadeurs linéaires, ce qui est un problème très difficile (Chap. X^ lll et suiv.). Elle peut être avantageuse pour établir des théorèmes généraux; mais, au point de vue de la recherche pratique des p. g. c. d. ou p. p. m. c, elle ne vaut absolument rien. Aussi, n'en dirons-nous pas davantage à son sujet.

A oici maintenant la seconde méthode, qu'on appelle quelquefois méthode de la division.

Divisons \ pa/- H suivant /es puissances décroissantes, soit

(•28) A = BQ,-t-PM-

H est évident que tout diviseur commun à A et à B divise R, et que tout diviseur commun à {^ et à R( divise A. Les diviseurs cherchés sont donc les diviseurs communs à B et à R|. Opérons sur H ei R| comme sur A et B :

puis sur R, et Ro comme sur B et R), et ainsi de suite. Nous obtenons de la sorte une suite de restes tels que les diviseurs cherchés sont aussi les diviseurs communs à deux restes consécutifs cjuelconques. Or, les degrés de ces restes vont en décroissant ; on finit donc par avoir un reste constant ou nul. Dans le premier cas, il n'y a pas de diviseurs communs ; les polvnomes A et B sont premiers entre eux. Dans le second cas, si R„ est le reste nul. on a

(30) H,,^2=R«-iQ,.-

Les diviseurs cherchés étant les diviseurs communs à R„2 et à R//i, ce sont manifestement tous les diviseurs de R«.). de dernier polynôme est, par suite, le diviseur commun de |)lus fort degré ; on l'appelle le plus i^raiid commun diviseur ou j). g. c. d. des deux |)olvnoraes proposés.

Comme on le voit, sa détermination repose sur une suite de divisions, dont la dernière doit se faire exactement, son diviseur étant alors le p. g . c. d. cherché. Il ne nous semble pas utile de résumer en une règle les opi'-rations (pii viennent d'être décrites, d'autant jjlus qu'on ne ferait (]u'('noncer la règle connue de Tx^rilhmétupic. (^)Mar)l ;i la di^nosilion ])rali(pie des calculs, elle est iiidKpK'c par un exemple dans les exeicices relatifs à ce (Chapitre.

POLYNOMES. 2G7

207. Les propriétés du p.g. c.cl. sont les mêmes et s'établissent de la même manière en Algèbre qu'en Arithmétique. Si l'on prend comme point de départ la méthode de la division qui vient d'être exposée, elles reposent toutes sur le théorème suivant :

■^I'héorème I. — Si l'on inalliplie le dividende et le diviseur d'une division par un même polynôme^ le quotient ne change pas et le reste est multiplié par ce polynôme.

En effet, multiplions l'idenlité (9 ) par le polynôme G, AC = BC.Q+RG,

R étant de degré inférieur à B, RC est de degré inférieur à BC. Par conséquent, Q est bien le quotient et RC le reste de la division de AG par BG.

GoROLLAiRE I. — Si V on multiplie A eZ B par G, leur p. g. c. d. est aussi multiplié peu' C.

GoROLLAïKE 11. — Si V on divise A e^ B par leur p. g. c. d. A, on obtient deux polynômes A' et B' premiers entre eux.

Car si A' et B' admettaient un p. g. c. d. A', le p. g. c. d. de A et B serait A'. A.

Théorème IT. — Si (] divise AB et est premier avec K^ il divise B.

En effet, le p. g. c. d. à G et à A est i; donc celui de GB et AB est B (corollaire I). Or, C divise GB et aussi x\B, par hypothèse; donc il divise leur p. g. c. d., c'est-à-dire B.

Théorjîme m. — A e^ B étant premiers entre eux., si Ion a

^ = ^, o/iaU = AQ, V=BQ.

En ell'et, on peut écrire AV = BU. A divise BU, est premier avec B ; donc il divise U ; soit U :^ AQ. J)'où, etc.

On dit que la fraction rationnelle — est irréductible : il n'y a pas

de fraction identique dont les deux termes aient des degrés moindres.

208. Plus petit multiple commun. — Cherchons les multiples communs à A et à B. Si M est l'un d'eux, on a

■268 CHAl'ITRIC XVI.

Divisons par A, p. g. c. d. de A et B ; on a

A' divise B'D, est premier avec B' ; donc il divise D. Soit D =^ A.'Q ; M est de la forme BA'.Q = — -• Q = AB'.Q. Réciproquement, tout

polynôme de cette forme est divisible à la fois par A et B. Les niul-

AB liples cherchés sont donc toits les multiples du polynôme u.^ — ,

lequel est appelé plus petit multiple commun, comme ayant le degré minimuin.

Théorème, — Les cjuotients de ^^x par A et B sont premiers entre eux.

Ce sont, en effet, les quotients de B et A par A.

Nous ne dirons rien du p. g. c. d. et du p. p. ni. c. de plusieurs polynômes, renvoyant, pour cette question, le lecteur à un traité (juel conque (rArithmélique.

209. Identitk \)ii Bezolt. — Théorème. — Pour que A et B, de degrés respectifs a et b^ soient premiers entre eux^ il faut et suffit qu'on puisse trouver deux polynômes U et\ , de degrés respectifs inférieurs à b et à a, donnant lieu à l' identité

(3i) AU + BV = i.

La condition est évidemment suffisante^ car si A et B avaient un diviseur cominiui, ce diviseur diviserait AU -t- BV, c'est-à-dire i. On voit même que A et \', U et B, U et V' sont nécessairement premiers entre eux. En outre, la restriction sur les degrés de U et V^ est inutile.

Montrons la réciproque. Autrement dit, nous allons supposer A et W premiers entre eux et nous allons déterminer les polynômes l) et V. On y arrive en efTecluant les opérations de la reciierche du |). g. c. d. de A et de B. Conservant les notations du n" 206, nous désignerons en outre le degré de tout polynôme représenté par une grande lettre par la petite lettre correspondante.

Cela posé, l'identité {l'f'^) peut s'i'-crire

(32) R,= A — BQ, = AU,+ BV,,

en posant

U, = i, V = -Q,; de sorte que

POLYNOMES. 269

Puis (29) donne de même

R,= B— R,Q2=B-(AU, + BVi)Q2= AU,-i-BV2,

U, = -U,Q,, V2=i-V.Q,; de sorte que

En continuant ainsi, il est manifeste qu'on arrivera à mettre n'importe quel reste Ra sous la forme

(33) R/,= AU/,+ BV^i-;

et l'on peut induire du résultat trouvé pour A: ^ 1 qu'on aura

( 34 ) u/, = b — r/,.1, VI, = a — /•/.- 1 .

Raisonnons par récurrence. Admettons que ceci soit vrai jusqu'au reste de rang k et prouvons que cela sera encore vrai pour le reste de rang /i-i-i. Nous avons

d'où

Ra+,= Ra, - R/,Q/,+i= AUa^i-i- BV/,-i-(AU/, + BV/.;Q/,+i= AU/,+i+ BV/,+,,

en posant

( 36 ) U/.+, = U/,-1 - U/, Q/,+, , Va+. = Va-, - V/, Qa^, .

Par hypothèse, le degré de Ua i est b — /-/.-o et celui de UaQa-i-i est b — /'A^i -r- ^/,M-i. Or, d'après (35), ta-i = /'/. -H ^'A+i ; donc, le degré de Ua-Q/.-(-i est b — rA-i -f- (/■/.- 1 — ri,)^=b — /•/,. Comme les degrés des restes successifs vont en décroissant, /•/,<; /A^o ; donc b — r/,^ b — /"A—a. Le degré de Ua-hi est, par suite, égal à b — /-/,. On verrait de même que celui de ^ a+i est égal art — /x.

Finalement, les formules (33) et (34) sont établies pour tous les restes. Dès lors, si A et B sont premiers entre eux, le dernier reste non nul R,j est constant. Le reste précédent R/,-i a un degré au moins égal à i. Or, on a

(3;) R„=AU„+BV„;

lia = b — r„, < b, Vn = a — /•„-! < «•

En divisant les deux membres de (jj) |)ar la constante R„, on obtient l'identité (3i), ou identité de Bezout.

Nous venons d'indiquer un moyen de calculer les polynômes U et V. Je dis (\nil n'y en a pas d'autres, en faisant toutefois la restriction

2,70 CHAPITRE \VI. — POLYNOMES.

imposée aux defrrcs 11 et v. En effet, si l'on avait, outre (3i),

(38) AU'-+-BV'=: I.

on en déduirait

A divisant le premier membre et par suite B(^' — \) et étant premier avec B, il devrait diviser \' — \ ( n" ;207 ) ; ce qui n'est pas possible, parce que V — ^' a un degré inférieur à celui de A.

Si Ion ne s'occupe pas de la restriction des degrés, on doit avoir V — ^= AQ ; d'où U — U'= BQ. Par conséquent, on a tous les polynômes satisfaisant à (38) par les formules

(39) U'=U — BQ, V'=V-^AQ,

où Q désigne un polynôme arbitrairement choisi.

21U. TiiKOKEMi:. — Pour que A et B aient un diviseur commun de degré n, il faut et il suffit qu'on puisse trouver deux polynômes U et V de degrés respectifs b — n et a — n donnant lieu à l'identité

(40) AU + BV = o.

i" La condition est nécessaire. — En effet, si Q. de degré «, divise A et B, on a

A = QA', B = Q.B'; d'où

AB'— BA'=o,

identité qui prend la forme (4o) si l'on pose U = B', V = — A'. De plus, on a bien, pour les degrés, u := b' =z b — n et p =: a' = a — n.

2" La condition est suj/isante. — En eflet, soient A le p. g. c. d. de A et B,

AI!., et A , B les quotients —, -• Divisant { .\o) par A, il vient

A' divise B'\', est jjremier avec B' ; donc il divise V. Far suite,

Or, a = a ^ 0 ; donc 0 ^ n. Dès lors, on aura un diviseur commun de degré // en faisant le produit de /i des 0 facteurs linéaires en lesquels on peut décomposer A.