FRACTIONS RATIONNELLES

211. Ainsi que nous l'avons déjà vu (n° 7o), on appelle fraction rationnelle le rapport de deux polynômes, le mot polynôme étant employé cette fois au sens étendu du Chapitre précédent. Nous supposerons toujours la fraction irréductible (n° 207), ce à quoi on peut toujours se ramener par une recherche de p. g. c. d. On appelle pôles de la fraction les zéros du dénominateur; l^ ordre de multiplicité d^ un pôle est l'ordre de multiplicité qui lui est affecté à titre de zéro du dénominateur (n" 205).

212. Développements limités d'une fraction rationnelle. — Nous allons nous proposer de représenter approximativement une fraction rationnelle par un polynôme, pour les valeurs de x voisines d'une valeur donnée :ro, y compris l'infini.

Soit dahord à étudier la fraction y = ' — ^ — pou/- les valeurs de x

gKX) I-

voisines de zéro, en supposant ^(o) ^ o. Il nous faut chercher un développement limité de y suii-ant les puissances croissantes de x. Conformément à la méthode générale indiquée au n" 117. nous divisons f par g suivant les puissances croissantes de x. Comme la fraction est irréductible, la division ne peut se terminer et peut être poussée aussi loin qu'on le désire, ce qui donne (n° 202)

(i) f{x) = g(x)(l(x)-hx'>'+^K\

d'où

0(x) désignant un polvnome de degré ^ A. Comme la fraction reste finie quand x tend vers zéro, puisque ^(o) ^ o, la formule (?-)

272 CHAPITHE XVII.

constitue un dcveloppement d'ordre X de y ('); cet ordre pouvant d'ailleurs être rendu aussi grand qu'on le veut.

Supposons maintenant que zéro soit un pôle d ordre a. Nous avons

d'où

Calculons, comme il vient d'être expliqué, le déxeloppement

f d'ordre À de ^—1 soit

d'où

(3) y = a^x-^-^- ai.ri-*-i- . . .-1- a^x^-'^-^ par^'+i-a.

Nous obtenons un développement commençant par des puissances négatives (n" 112). Nous avons vu d'ailleurs qu'on ne pouvait obtenir d'autres développements de même forme, en ce sens que l'exposant du premier terme doit toujours être — a et que, pour un ordre donné, tous les coefficients sont déterminés d'une manière unique. En particulier, le développement d'ordre — i est obtenu pour )v ^ a — I , ce qui donne

(4) ^= i:t + -^îrr+---+ — — - + P = P

Nous obtenons ainsi le seul polynôme en — qui ne possède pas

de ternie constant et dont la différence avec y reste finie pour X = o.

213. Si Von veut étudier y au voisinage d' une valeur x^yéL o^

(') Il arrive quelquefois (]u'on peul trouver une loi simple de lornialion des termes successifs du quotient et des restes partiels successifs. Si l'on peut alors prouver que

le terme complémentaire .r'*' — tend vers zéro pour)» infini cl pour certaines valeurs

de X, on obtient un développement de jk en série eiUiére. Mais cette méthode est, en général, beaucoup moins jiratique que celle du n" 107, précisément parce iju'on ne peut découvrir l'expressiiin du terme général du quotient.

FRACTIONS RATIONNIÎLLES. ^jS

il suffit de poser x — ^o = ^- J^'» IVaclion devient

'{X(,-\-z) G(zy

c'est-à-dire une fraction rationnelle en c à laquelle on peut appliquer tout ce qui précède. En particulier, prenons pour Xq le pôle a d'ordre a. En appliquant à (5) la formule (4), nous obtenons

On dit (pio/? a séparé de y la partie P,j( ] qui devient

infinie pour X =^ a ^ partie d'ailleurs unique, d'après ce qu'on a vu.

Le coefficient «a i du terme en s'appelle le résidu relatif au

pôle a.

Si en fin nous voulons étudier y pour les grandes valeurs de x, nous posons — = z el nous sommes ramenés à l'étude d'une fraction rationnelle en ^ au voisinage de :; ^ o. Le développement (3) appliqué à cette dernière nous donne, en revenant à la variable x^

(7) y := (locr^-h «1 J?*-' -H . . .-H ai.T^-'^-\- pa7*-^-i.

Il est aisé de voir que a est égal au degré de/" moins le degré de^". Lorsque a^o, on peut prendre A = a; l'identité (-) n'est alors autre chose que l'identité de la division de f par g suivant les puissances décroissantes de x. On pourrait s'en rendre compte d'après la manière même dont a été calculé le développement. On peut aussi le prouver par le raisonnement suivant :

Divisons / |)ar ^' suivant les puissances décroissantes de x : nous avons

(8) jK = Q^5 = 0 .-?

en posant

Or, Il étant de degré inférieur à celui de g, R.r est de degré au j)lus égal à ce dernier; donc 0 reste lini |)our .r infini. La formule (8)

IIaau — Cours, I. iS

274 CHAPITmC WII.

nous donne donc un développement dordie zéro; comme il en est de même de (- ) pour ). = a, les deux dé\ eloppeinenls soûl idenliques.

Le (jut)ti(Mil (^ s'appelle la partie entière de la fraction. Nous la représenterons par E(.r). Elle est caractérisée, d'après (■;), par le fait que la dillerence j^ — E(^) tend vers zéro pour x =^ao. Elle est nulle toutes les fois que le degré du dénominateur surpasse celui du numérateur.

Lorsque a est négatif, ou lorsqu'on veut pousser le développement (-) jusqu'aux puissances négatives, on peut procéder encore par voie d(^ di\ision suivant les puissances décroissantes, en utilisant Textension dont nous avons dit un mot à la fin du n° 20L Mais, ainsi que nous l'avons fait remarquer à cet endroit, cela équivaut à faire le changement x = ~, pour ap|)li(|ucr ensuite la méthode suivant les puissances croissantes, qui est la seule à laquelle nous conseillons au lecteur de toujours revenir.

!2li. Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples. — Soient a, b, ..., /les pôles (\e ^^: a, ^j, ..., A leurs ordres de multiplicité; P«(^^J' *^*(jzr^)' ■■■' ''^(^777) ^«s parties infinies correspondantes. Soit enfin E(.r) la partie entière. Je dis qu'on a identiquement

Pour le prouver, nous observons d'abord que la diRerence o des deux membres est une fraction rationnelle (|ui reste finie f|uel que soit X. (vêla est évitlent lant que .r est diUérent de (t, A, ..., /. Si mainlenani <>ii Mipjjose que x tende vers (7, |)ar exemple, on peut

aflirmer qu(; 0 reste encore finie, car il en est ainsi de j' — '*«("; )

et de chacun des termes restants

On (oniliil ili' l;'i que 0 ne saurait admettre aucun pôle et, par suite, ne peut (jiie >c riMluirc ;'i un polynôme. Mais si Ion suppose que x croisse indéfiniment. 0 hiid vers zéro, car il en est ainsi de y — E(j7) et de chacun des lermes |>„(— i—j, i»/,(i j, .. , |v(^!j.

I)()IIC 0 (■^l mIiII I KniCUM'Il I liul (u" t20(l).

FRACTIONS nATIONNEI.LES. 2-5

Mettre y sous la forme (lo), c'est ce qu'on appelle décomposer la fraction en éléments simples. Ces éléments simples ont pour forme

générale : ou \x'^.

Une telle décomposition est unique, puisque nous avons vu précédemment qu'il en était ainsi pour chacune des parties P^, Pô, ...,E.

215. Méthodes de décomposition. — Pour etTectuer la décomposition, on peut calculer séparément chacune des parties P^, P*. ..-, P/, E(a7), en suivant la marche indiquée précédemment. 11 convient néanmoins d observer les simplifications suivantes :

Rappelons que pour calculer P^, par exemple, on pose x — « = ::. Puis on dii'ise f{a + z) par i?-, {a -{- z) ( ' ) suivant les puissances croissantes de z^ en poussant la division j'usqu au moment où Ion va faire apparaître au quotient une puissance de z égale ou supérieure à a. Le quotient obtenu donne, en revenant ci la variable x et divisant par {x — «)=', la partie P« ( — — — )• Le /•e5fe R, calculé également en fonction de x et divisé par g{x), donne la différence y ^ =y — Pa= P/;-f- ... -f- P/+ E(.r).

Pour calculer ensuite P^, on applique la même méthode à y^ et l'on obtient, du même coup, la différence y. >=^ y \ — P*", doit Von extrait P^ ; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les pâles. Le reste final, s'il existe, est la partie entière E( j?), laquelle peut aussi se calculer directement ii un mome/it f/uélconque, en appliquant la méthode de la division suivant les puissances décroissantes à l'une des fractions rationnelles y^ y i, y i., etc.

Il est manifeste que ce procédé est plus avantageux que celui qui consisterait à calculer séparément P«, P^, ..., E, eu parlant toujours de y, car les fractions sur lesquelles on 0|)ère sont, de la sorte, de plus en plus simples. Néanmoins, cet avantage est compensé par le fait qu'on est alors obligé, dans les divisions successives, de calculer les restes partiels en entier; tandis que si, dans le calcul de P« par exemple, on n'a pas à se préoccuper d'obtenir du même coup le reste/,, il suffit de faire la division de/(rt -h z) par gi{a + :;) en se limitant aux puissances de z d''exposant plus petit que a, puisque seules ces puissances interviennent dans la détermination de P^.

(') g\{^) esl !e quotient de g{x) par {x — a)''.

■?.-C) cuAPiriu: wii.

Une autre méthode, assez pratique pour des (Vaclions qui ne sont pas trop compliquées, est celle des coefficients inclélerminés. Elle consiste à écrire a priori la forme (to) de la décomposition, à chasser les dénoMunateurs et à identifier les deux mtMuhres. On obtient ainsi des équations linéaires qui permettent de calculer les coefficients inconnus introduits au second membre. D'après ce qui précède, on est toujours certain d'arriver à un système compatible et à solution unique.

!216. Cas des pôles simples. — Si le pôle «f est simple, on j)eut avoir immédiatement le résidu A coirespondanl de la manière siii-

vanle. Soit

Multiplions les deux membres par x — ci et faisons ensuite x^=za. Comme j)'i reste fini pour x = «, on ol)tient

Celte mélliode s'applique d ailleurs toii|()ur> pour le calcul du

coefficient de ; mais on multinlie alors par (x — a)^.

Formule d'interpolation de Lagrange. — Supposons Ions les pôles simples. On a alors la foiinule

{l — a). . Al — h) X — l

ce qm; l'on peut écrire, en posant g(x)^^(x — a){x — b)...(x — /), et reniarfiuant l'égalité g' (ci) — (a — b ). . .(a — /) et les égalités analogues ( ' ),

g ( <l ) ./• — fl g { b ) X — b g ( l ) .r — l

( ' ) On a, en ell'el, g(x ) ; (x — a) g^(x) ; (\'»n

g'{x) =g,{x)-i-{x — a)g'Ax), ii'{a)= g,{a).

FnACTIOXS RATIONNELLES. 277

Cette formule est connue sous le nom de formule d' interpolation de Lagrange. Elle donne le polynôme le plus général qui prend des valeurs données f{a), f{f>)i . . . , f{l) pour x ^ a, b, . . ., l ; il suffit, poui- l'obtenir, de prendre pour E(x) un polynôme quelconque. Si l'on veut que /(x) soit de degré m — i, en appelant m le nombre des valeurs distinctes a, b, . . ., l, il faut prendre E(x) = o et le polynôme est entièrement déterminé (' ).

217. Décompositions réelles. — Dans lotit ce qui précède, nous avons supposé avoir allaire à des polynômes à coefficients et à variable complexes quelconques et nous n'avons fait aucune distinction entre les quantités réelles et les quantités imaginaires. Nous allons maintenant nous placer à un point de vvie plus particulier, en considérant une fraction rationnelle à coefficienls tous réels et à variable réelle.

Imaginons qu'on ait elVectué la décomposition en éléments simples telle que I indique la formule (lo). Le premier meml)re étant réel, il doit en être de même du second. Cependant, il peut très bien arriver que certains des |)ôles soient imaginaires, ce qui introduit nécessairement des termes complexes dans la décomposition. La somme de ces termes doit être, a priori^ réelle.

Effectivement, on sait (n° 249) qu'à toute racine a =^ y. -{- ^pi du polynôme réel g{x) coirespond la racine imaginaire conjuguée h ^= rj. — j/, avec le même ordre de multiplicité. Si Ton se reporte

maintenant aux calculs de P^ ( ) et de I'a ( y], il est mani-

feste que le second se déduit du premier par le siinple cbangement de i en — /. Doù il suit que P^, doit se déduire de P^ par le même cbangement. Autrement dit, à tout terme de P^ de la forme

doit correspondre dans Pa le terme tt^— • v^es

{x — a — jj < I" ' {X — a H- [i ? )"

deux éléments étant imaginaires conjugués, leur somme doit être réelle. En efl'ectuant cette somme, on obtient une expression de la forme

, ,, (X-h ïii)(.r — a-^'îii)"^(\ — Bi)(x — a—^^i)" 'f(^)

o(x) désignant un polvnome à coefficients réels et x- -\- px -\- q un trinôme réel à racines imaginaires.

Celte expression peut être décomposée mainlcnaul en éléments

(') Cf., au sujet du [irobième de l'inlerpolalion, Leçons, t. I, p. iSj.

réels plus simples. En cflel, posons x- -\- p.v -\- q = z : d'où x- = :• — /?.r — q. Si ron remplace, dans oÇx). x- par c — px — q aillant de lois que cela est possible, il est clair (pi on oblienL un résultai de la forme P:c + Q, P et Q désignant deux polynômes en ^ (')• En portant dans (14), <^n obtient une somme de lermes lels

que — et -^•. A et a élanl deux coustanles réelles et q un nombre

nalurel S/?. Finalement, on arri\e à la décomposition réelle suivante : Groupons, dans la décomposition de g\x) en fadeurs linéaires, les fadeurs imaginaires conjugués. Nous avons une idenUté de la forme

(i5) g(^x) ~{x — rt)»(,r — 6)P.. .

les nombres a. b. l étant tous réels et les trinômes x- -\- px -\- q

ayant leurs coefficients réels et leurs racines imaginaires.

Cela posé., on peut décomposer y en une somme comprenant d'abord les polynômes P^, Pz., •••, P/ qui correspondent aux pôles réels, ensuite des termes de la forme

{.>:'^ + PiX^qiY

X et h représentant des constantes réelles et s un }iombre naturel ^/i,, et enfin, s' il y a lieu, une partie entière E(x ).

On pourrait montrer, d'après ce «pii précède, qu'une telle décomposition en éléments simples réels n'est possible que d'une seule manière. Mais cela ne piésente pas i;rand intérêt et se vérifie d ailleurs sur chaque exemple |)art iciilier (-j.

('j II est à reniar(]uer que V x -^- (} esl le rente de la division àe '-fix) par x--h px -h q — c. Kii eOet, ce reste esl de la l'oriiic Vx -h Q', P' et Q' désignant des polynômes en z. Ou a, quels que soient x tt z,

■i{x) :^ { X- -}-px-hq~ z) '^lix, z)-^V'x-h- Q'. Si l'on remplace x- par z — px — q, il vient

(-) C'esl-à-ilirc qu'on olilient une >cule s(jluli<iti, |)ar lu niitliodc des coefficients indélermincs, par exemple.

FRVCTIOXS RATIONNELLES. '279

Pour l'efFectuer, on pcul d'abord séparer les parties Va, ^6- ••••, P,?, Y,[x). On est ramené ensuite à une fraction rationnelle sans pôles réels et saus partie entière, qu'il s'agit de inellre sous la (orme d'une somme de termes tels que (i6). A cet effet, on peut employer la méthode des coefficients indéterminés^ qu'on applique comme au n" 1215, et qu'on peut aussi utiliser pour obtenir du même coup toute la décomposition, en partant directement de la fraction rationnelle donnée.

218. On peut aussi, et dans certains cas c'est plus rapide, procéder de la manière suivante :

Soit à extraire les termes en de la fraction rationnelle