X- -t- px -t- q

(x^-^px^qy^ g(x)

Posons x- -\- px -\~ q ^= z . En remplaçant x- par c — px — q, ou mieux en divisant par x--^ px -\- q — ;;, nous pouvons mettre^ sous la forme

A, B, G, D désignant des polynômes en ;;. Puis nous écrivons Ax-i-B A.r2-|-B,r A'.r-+-B'

G'(A.rH-B) — G(A'.r^ B') A".r-4-B"

Divisons A".r+B" par D" suivant les puissances croissantes de ^, jusqu'au reste en z"'. Nous obtenons une identité de la forme

(') On a k'^—kp + M, C' = — C/^ + D; A" = C'A— A'C = AD — BC, qui ne saurait être nul si y ne se réduit pas à une fonction de ;;. Donc, la Iransfurmalion ed'ectuée ne peut être illusoire.

On peut aussi écrire, en remarquant que 1 x -{- — ) ^ z + — q,

\x -f- B Ajc -f- B

Cr-hD r( , P\ r.' r- ( P' \ t.- ' O"

28o CHAPITRE XVII. — KUACTIONS RATIONXELLIC S.

les a étant des binômes du premier degré en x^ R étant un jiolynome en x et 5. l'ortons dans ( i8) :

yi désignant une fraction rationnelle en x. dont le dénominateur n'est plus divisible par ;:.

On a ainsi extrait la partie de la décomposition relative au tiinome x--^px -+- q.

Si l'on ne lient pas à avoir y^ (ce qui arrive, par exemple, si l'on veut extraire les différentes parties de la décomposition en partant directement de y), on peut simplifier les calculs, en négligeant partout les termes en z de degré ^rt, qui n'iniluent pas sur le quotient (v.o). En particulier, si « = I, on néglige tous les termes en z.