PROPRIÉTÉS GÉ.\ÉR\LES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

219. Soit un polvnome qiielcoïKiue /"(r) à coefficients et à varial)le complexes.

Nous avons précédemment défini d une manière précise (n" 199) ce qu'on entend par zéros ou racines de ce polvnome. Rechercher ces zéros ou racines, c'est ce qu'on appelle résoudre C équation

Si m est le dei;ré du polvnome, l'équation est dite algébrique et du «i'^""" degré. Les zéros àe f [z) sont aussi nommés les racines de V équation. L'ordre de multiplicité conseixe la même signification qu'an n" 205.

Théorème. — Toute équation algébrique du ni"'"'^*' degré possède m racines.

Ce théorème a été démontré au n" 205. Rappelons que chaque racine doit être comptée un nonihre de fois égal à son ordre de multiplicité.

220. Relations entre les coefficients et les racines. — Soit l'équation

(2) /(.r) = Ao.r'" -~ Ai .r"'-i -^ . . . -^ \,,.r"'-i' -+-...+ A„, = o.

Apj)elons .r, . .ro. ..., x,n ses m racines, chaque racine multiple étant répétée un nombre de fois égal à son ordre de tnulti|)licilé. Nous avons (n" 20o)

/(.r) = Ao(.'' — .'-i) (./• — , ;.-2). ■ •(•^■ — •'■/«)•

•ibi CHAPITRt: WIII.

Développons le produil, en nous repoitiinL au n" !2o. Si Ion désii;ne, d'une manière générale, par Sj, la soiuiiie des produits yo à/) des m racines û",. x^, . . . , x,,,-. on a

(3) f{.r)= Aof.r'"— .Çi.r'"-!-^ 5.,.,-/«-2...-u {^^xy g ,,.r>"-l> ^ ...-^{—\)>" s ,n\.

Les polynômes (2) et (3) devant élre identiques, on a nécessairemenl

Ai = — Ao5i, .\2=Ao5.2, A/j= (— ij/'AoS/,, ..., A„, = ('— i)"'Ao5„;;

d'où l'on lire

(4) s,=-^, 5,= ^, ..., s„:=i-^),>^, .... s,„={-^yn-^.

Aq Aq Aq Ao

Ces relations jouent un rôle très important dans la théorie des équations et sont connues sous le nom de relations entre les coefficients et les racines. Leurs j)remiers membres 5,, .Vo. ..., s,„ sont A^^eXésXe?, fonctions symétriques élémentaires (\es m nombres x^^

X2 , . . . , X Df

Le système (4) est écjuivalent au suivant : ( 5 ) fi-ri ) — o, /(.r2 ) = o, . . . , /( x,n ) = o,

et le remplace avantageusement comme avant une l'orme beaucoup plus simple ('). Une application classique de cette remarcjne est la suivante :

pKoBLi:Mi:. — Exprimer que les racines cPune équation algébrique, dont les coefficients renfermentdes paramètres arbitraires, satisfont à une ou plusieurs relations données.

(') C'est ainsi que chaque équalion ( /) ) est linéaire par rapport à cliacune des inconnues x^, x^, ..., x„^. [''aisons à ce propos la remarque suivante :

Dans certaines questions, il y a lieu de fiiin- jouer un rôle [liirticulicr ii certaines des racines, soit x,, x.,, ..., x ,. Il peut (Hrc nlms :iv;mi:igcu\ (rcxpriiiicr *,. s.^. .. ,s„, au moyen des fonctions symétriques élémentaires relatives ii x^, x.,^, . . . , .r d'une part, et à x .^. ^p-^.-ii •■•» x„i- d'autre part; ce qui se fait toujours par un ralrui simple, du moins tant que m et /> ne sont pas très grands. Nous aurons l'occasion d'indifjuer, dans la suite, quelques exemples. Pour l'instant, hornons-nous à donner les formules suivantes, (jue le lortcur v(''rilier;i sans diftirnlli'. l'icnons p -- m — i ; on a

en appelant 7,, ■z... ..., -,„-^ les frjnclions rcliitivcs à x^, x.^, ..., x^^^.