II. - FONCTIONS SYMÉTRIQUES DES RACINES

22L Une fonction F (j7, , j?o, ..., Xm) des m variables, ic, , x^ ..., Xm est dite symétrique si elle ne change pas de valeur lorsqu'on y permute les variables d'une manière quelconque. Telles sont, par exenqile, les fonctions symétriques élémentaires mentionnées plus haut.

Supposons que, dans une telle fonction, on remplace les variables par les m racines a, b, c, ..., l d'une équation algébrique donnée^ de degré m. La valeur numérique qu'on obtient est indépendante de l'ordre dans lequel on prend les racines pour faire la substitution. Elle ne dépend, en quelque sorte, que du groupe formé par ces dernières, ou, ce qui revient au même, des coefficients de l'équation. Il est donc naturel de songer quon doit pouvoir la calculer sans être obligé de résoudre réquation ('). ("est précisément ce que nous nous proposons d'établir dans le cas, du moins, où la fonction F est rationnelle.

222. Fonctions symétriques rationnelles. — iXous allons d'abord montrer comment on peut, de pioche en proche, ramener toute fonction symétrique rationnelle à des fonctions symétriques de plus en plus simples.

(') Il n'en serait, au contraire, pas tic niéiiie si la fonction F n'était pas symétrique, car chaque racine jouerait alors un rôle qui lui serait propre. Il peut cependant y avoir des restrictions à apporter à cette aflirmation ; mais nous ne pouvons en parler ici.

'^84 CIIAPITHK WIII.

THi'.ouKME I. — Toute f onction syniétiique lationnelle se ramène au quotient de deux fonctions symétriques entières.

Soit, en eflet, la fonclion

oùyel »■ désignent deux polynômes. Si l'un deux est svinélricjue, l'autre l'est nécessairement aussi et le théorème est démontre. Sinon. la permutation de deux des \ariables, par exemple de x^ et x^. doit clianger f et o-, sans toutefois cliani;er leur cpiotienl. Ou a donc

p ^ /(-^i. '^s^ r„t) ^ /(■r2,.ri, .... ./■;„)

^(.ri, .ro, . . . , .r„, j — ^^( .rj. .r,,

Mais, les deux termes de la dernière fraction s'annulent identiquement pour x^ = x-x et sont par suite divisibles jiar j:, — jTo (n" 203). La suppression de ce fadeur commun simplifie la fraction F. En recommençant la même opération autant de fois que cela est nécessaire, on obtient haut et bas des polynômes de degrés décroissants, qui finissent forcément par devenir symétriques, car, en mettant les choses au pis, lun d'eux finit par se réduire à une constante, Taulre étant alors nécessairement svuK-lricpie.

TuF.ouÉME H. — Tout polynôme symétrique est une somme de gro upes 11 om o gène s .

Nous ap|)elons ainsi tout groupe dont les tlillérents termes sont obtenus en remplaçant les/; variables de l'un d'euxpar lousles arrangements /> à p des m lel Ires Xt, Xj, . . . , x,„.

Cela posé, prenons dans le polynôme symétriquey(.r, , .ro, ...,.r„,) un terme quelcoïKjiie A .r*' .r*' . . . .r*/' [p'^m). Si nous v remjilaçons J7,, jCo, ..., Xp successivement pai" tous les arrangements doni il vient d'être qiieslion, nous obtenons des termes qui doivent tous se trouver dansy^. J^eur ensemble constitue d'ailleurs un groupe homogène de la nature pi'écédemment définie. Siyrenferme encore d'autres termes, nous |)r('ii(ii()iis un (pieleoiKjuc dCiilrc eux <•! nous en (h-diiirons un noincaii i;r()ii|)c iK'cessaircnicnl coiilciiii dans /'. I'>ii coiiliniiaiil

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉglATlONS ALGÉRUIol ES. 285

de la sorte, on arrivera à épuiser Ions les termes et le théorème sera démontré.

223. Calcul des groupes homogènes. — Voyons maintenant comment on peut calculer la valeur que prend un groupe homogène quand on j remplace a?i, x.i, • • • , x,n par les racines a, b, . . . , l de l'é(piation (2).

Un tel groupe se représente par le svmbole

(7) Srt«èP...eS

sur lequel il convient d'apporter quelques éclaircissements. Les nombres a, ^3, ..., t sont des entiers quelconques qu'on aurait le droit de supposer tous positifs, mais pour lesquelles il n'y a pas d'inconvénient d'accepter des valeurs négatives. Les lettres «, b, ..., e qui figurent dans nn terme constituent un arrangement quelconque des

m racines «, b^ c, /. Leur nombre, au plus égal à m, est dit i ordre

du groupe. Si les exposants a, [3, ..., £ sont tous diflerents, il est évident (|ue deux arrangements distincts donnent toujours deux termes distincts. Mais, il n'en va plus de même lorsque deux ou plusieurs de ces exposants sont égaux. Par exemple, si a = |3, les arrangements rt, b., c, <•/, e et ^, a, c, c/, e donnent le même terme. De même, si a := jB = *>', les six arrangements déduits de a, ^, c, d. e par permutation des lettres a., />, c donnent le même terme.

ïfiwVç, fonction symétrique simple^ ou groupe du premier ordre, est de la forme ^rt'^= rt'^-h b^^-\- ... + l/-^. C'est une somme de puissances semblables des racines de l'écpiation. Nous la désignerons par la notation S^. L'exposant a est un entier (]uelcon(pie ])0sitif, négatif ou nul. Dans ce dernier cas, on a

So= ««-f- 6"-^...-^ /»= i-H 1 4-.. .-H I = m.

Théorèmk. — Tout groupe homogène peut se calculer au moyen des fonctions symétriques simples.

En effet, soit d'abord une fonction symétrique double }Ca^|3?. On a

(8) SaS^3= (a^-!-(^=^-hc«-}-...- /''<)('rtP-f-/^P-t-c?-+-...-h /?).

Pour eUcclucr ce produit, nmis devons associer de toutes les

286 cnAPiTtiE xviii.

manières possiljlcs un lenne du premier facteur avec un terme tlu second fadeur. SI nous associons deux termes de même rang, nous obtenons des produits partiels de la forme r/''. «? = a^'+f^, dont la somme est Sa+a. Si nous associons deux termes de rangs différents} nous obtenons des produits partiels de la forme a'^b?, («, b) constituant un quelconcpie des arrangements deux à deux des ni lettres «, b, ..., /. Si a ^ [i, la somme de ces produits partiels est doneSrt^/^?. Si a = ^, elle est égale à aSa»^^, conlorujément à une remarque faite plus liant. On a donc, suivant le cas,

(9) S«Sp=s«+p+:c««il^ (a?^?);

d'où Ton peut toujours tirer le groupe cberché en fonction de fonctions symélriques sim|iles.

Soit maintenant la fonction symétrique triple Sa^/^^cï. On peut l'introduire par la multiplication

(il) (■Saa6P)Sy=(a='^?^-...)(aT-H 67 + cT-+-. . .).

En multipliant le premier terme a'^b'\'^ du premier facteur successivement par at . Aï. cT, on obtient les trois es|)èces de termes

{il) a^^tb'?. rt«6P+r. a^b'^ct.

Comptons combien de fois cluicun creux est obtenu dctns la nudtiplication. Le premier est obtenu une seule fois si |3 ^ a -h v. Ilot obtenu deux fois si 3 = a -(- y, la deuxième fois étant fournie par le produit de a'^b'^ par /yï. Conclusions analogues pour le deuxième terme, (^uanl au troisième, Il est obtenu une fois si y n'est égal nia a, ni à |3; deux fois si v ^= a ou [i (p;^»'' exemple, si y =^ a, on a a^bl'' x c* et c='^l^ X rt'') ; trois fois si a= [i = y (a«6'« x C*, <7,«c« X b^. b'^c'^ X ««). Obst.'rvons enlin (jue les <l( ii\ premiers termes ne donnent naissance à des gi'oupes dislincts que si a ^ [j ; sinon, ils doniKul deux lois le même groupe.

Dans tous les cas, en (l<''\el()pp;inl le piodiiil. on obtient toujours une é'gallli' (Toù Ton peut llrer ^a'^bi^c^ en fonction de fonctions s\ m(''lri(pies simples el doubles el, par suite, d après le cas précédent, en fonction de (onctions syiiK-trupies simples.

On serait airivf'- à un i(''MiI|;iI aiialogm; en ellecl iiaii I I un des produits la'by.Sr^, lV/;V>y.Sa, Sa.S;:|.Sy.