PROPRIKTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

l*our les yroujjes d'ordre supérieur, on suit une marche analogue, sur laquelle il est iuutile d'insister davantage.

Remarques. — I. Dans le calcul du produit qui doit introduire la fonction symétrique cherchée, il faut prendre beaucoup de précautions et compter exactement combien de fois cJiaque terme se reproduit dans la multiplication. Pour être sûr de ne pas se tromper, il vaut mieux écrire tout au long les deux facteurs du produit à développer, tout au moins tant qu'ils n'ont pas une longueur trop considérable.

II. Dès que Vordre dépasse 2, il 3' a, comme on la vu, plusieurs manières de procéder. On doit, avant de commencer tout calcul, tâcher de se rendre compte de celle qui sera la plus simple.

ÏIl. Il y a quelquefois d^iutres façons plus avantageuses de faire apparaître la fonction symétrique cherchée. Elles consistent à multiplier, par des facteurs symétriques convenables., une ou plusieurs des fonctions symétricjues élémentaires, lesquelles se calculent immédiatement par les formules (4)- Un cas très simple est, par exemple, celui des groupes d'ordre m, dont chaque terme «* />P ... /ï renferme toutes les racines. Si p désigne le plus petit des exposants a, [3, ..., )., on peut mettre en fadeur dans le groupe le produit aPbi^ . . . If = {s„i)P. 11 reste alors à calcider une fonction symétrique évidemment moins conq^liquée que la proposée. On peut même apjjliquer cette remarque dans le cas d'un groupe d'ordre <</?«, quitte à introduire des exposants négatifs.

224. Calcul des fonctions symétriques simples. — Arrivons enfin au calcid des fondions symétriques sim|)les, qui, lui, doit se faire directement. Il existe, à cet effet, différentes méthodes ; nous n'en indiquerons qu'une.

Formules de Newton. — Elle repose sur lartifice suivant : partons de l'identité (n° 20o)

/l,/;) ^ Ao(./.- — «) (.r -b)...{x - / I.

Prenons les dérivées logarithmiques des deux membres et multiplions pary'(x)

'^88 CHAPITRE WIII.

Divisons f {oc\ par ./• — a suivanl les puissances décioissanles de x^ en suivant la règle du n" 1203,

■' = A„. /•'"-• — ( \„ rt -f- A 1 ).r'"-2 — . . .

-+- ( Ao a/' H- A 1 «/'-' — . . . -i- A/, )./■'"-/'-' -r . . . + ( Aoa"'-i -^ A, rt"'-2-+-. . . -4- A„,i ).

Eu ajoutant toutes les identités analogues et tenant compte de (i 3), il \ ient

f'(.r) = mAo./"'-' + (AoS,^ m A, }.r">-i^.. .

^ ( Ao S,, -^ A , S/;, — . . . -r- /n \,,).r"'-i>-^ H- . . . -^ ( Ao b,„i -r- A 1 S,„2 H- ... — w A ,„, ;.

Daulre part, on jieut calculer y (.r) par dérivation de f(x'). Egalant (!<■ |)arl et d autre les coelïîcients de x"'~p~^. on a

( ni — p i A /, = Ao S/, -h- A , S/,, -f- . . . -+- m X,,, ou

AoS/,+ A]S/,i — . . .-t-/>A;,= o.

Einaleinenl. nous avons les formules suivantes, ûlles fo/m aies de

Aeivlon :

AoSi — \t = o,

A0S2 -i-.\iSi -H. . . -r- > A.2 = o,

AqS;, -!-A,S/;1 -~. . .—p\p= o,

Ao S„,i — A 1 S,n—2 -^ . . . -h ( /;? — I I A ,„i = o.

Elles permettent de calculer, de proche en proche. S,, So, S,„|.

Extension des formules de Newton. — (Jn peut en donner une extension très simple, condui-ant au calcul de S^, pour toutes les valeurs entières de a, positives ou négati\cs. Le iK)mhre u étant un entier (pielcontpie, on peut écrire (')

A„'/"'"V-i- Ai^i'^+IJ-i— . , .— \„,a\>-= aVj'i a } = o.

lu;mpluçons c/ par A, c, .... / et ajoutons

( 13) Au S,„^|X -i- Al Sm-t-y.-l -^ ' • '-^ '^iii ^p. = "•

(') Ceci esl en dcfaul si a csl nul (H ;j. ni.-f;alif. Mais celle rcslriction esi suns imporlance, car lorsquiinc éqiialion a utic racine nulle, on l'en débarrasse en divisant par une |jiiissance ronvfiialjl<; de x.

l'ROPRIÉTÉS GÉNÉRALKS DES KOfATIO.NS ALGÉBRIQUES. 289

Telle est \a formule qui complète les form.ules de Newton. Si Ton V fait successivement |jl = o, 1,2, ..., on en lire S^, S,„^i, S,„,.25 •••1 en fonction des sommes d'indices moindres (').Si l'on f;iil jj. = — i, — 2, ..., on obtient S,, S 2, ..., en fonction des sommes d'indices supérieurs.

22o. Théorèmes généraux. — Théouème 1. — Toute fonction symétricfue rationnelle des racines d'une équation algébrique s'exprime rationnellement en fonction des coefficients de cette équation.

Gela résulte manifestement de la méthode de calcul que nous venons de dévelo])|)er et qui ne nous a conduits qu à des opérations rationnelles.

ÏHÉop.iiME II. — Tout polynôme symétrique en a,b., ...^l peut se mettre sous la forme d'' un polynôme en s^, s-^, ..-, s,,,, dont le degré est égal au plus fort exposant avec lequel chaque racine figure dans le polynôme proposé.

Soit le polynôme 6\ métrique F («, b, ..., /). Si, dans les formules f i4) et (i5), on remplace, comme on en a le droit grâce à (4), Ao par I, A, par — a,, A^ par .Ço-. •••, A,,, par ( — i)"'?/», on voit que toutes les sommes S,, So, S3, ... sont des polynômes en i, , s 2. ..., s„i. D'autre part, les opérations décrites aux n"* 222 et 223 ne comportent que des opérations entières (additions et multiplications). Donc F peut s'exprimer sous forme entière au moyen de 5|. 5o, ..., s,„\ soit

("iC)) F(a, 6, . . ., /) = <i>(5i, 5-2, . . .. S,n).

Cela posé, désignons par u. le degré de <I>. Si dans (16) on remplace .s,, s-2. ••■, Sni par leurs expressions en fonction de a, b^ ..., /, on doit obtenir une identité. Cherchons dès lors quelle est la plus haute puissance de a qui figure dans <I> après cette substiliition. Désigtuinl pai-

(') (Jn pourrait aussi procéder comme il suil : Divisons jt'" '■;■'( ;j. î: o ) par f{x). soit

x'">-v- = /(x). qix) -+- n (x).

l-"aisons x = a; nous avons a"'''^'= R (a). Donc, dans toute fonction symétrique, on peut remplacer chaque puissance de a d'expcjsant > »! — 1 jiar un jnilynome en a de degré 1 /n — 1. D'où, etc.

Haag. — Cours, I. M)

>90 C[1AP1TRE WIII.

•7,, o-j, 3"«/-i It^s fonolions synuHri(|iies éléiiienlaires relatives à Z»,

c, ..., /, on a

(17) 5, = a-i-a,, 52=ac;i — J2, ..,, .v,„ = <? 7/„i .

Le terme de plus haut degré en a sera évidemment obtenu en portant ces expressions dans l'ensemble des termes de plus baul degré de <!> par rapport à 5,, 5o, ..., .s,„, soit *l'( 5, , ^o, ..., 5,„), le polynôme U* élanl homogène et de degré a. Or, la plus haute puissance de a (pii figure dans ^r(a-|-a-,, ac-, + t^, — <^/3-,„,) est évidemment U'"(c/, «3-,, ..., «T,„„, ) = rt'^-W (I, 0-,. ..., a-,„,) (n" 133). Le coefficient M'(i, T,, ..., T,„, ) ne peut d'ailleurs être nul quels que soient 6, c, ..., /, car il le serait quels que soient o-,, ..., o-,„,, et, par suite, M''(5(, 50, .... Sm) serait nul identiquement, ce qui est absurde. Le plus fort exposant de a dans F est donc bien égal à ij..

Théouémk 111. — Tout polynôme symétii(jue, homogène et de degré p en a, b, ..., / s'exprime par an polynôme en 5,, s.,, .... s„t dont tous les termes ont an poids égal à p.

Soit A^'j'^f;- ... .s'^;" un terme quelconque de <I>. Son degré par rapport à l'ensemble des variables a, b, ..., /doit être égal hp. Or, le degré de chacune des quantités 5i, i^r • • •? ^m est égal à son indice. Le degré du terme considéré est donc

Ce nombre, ipii se calcule en multipliant l'exposant de chaque variable par son indice et ajoutant tous les produits ainsi obtenus^ s'appelle \e poids du terme considéré.

Grâce à cette définition et à ce qui vient d'être dit, le théorème est démontré.

A pplication : méthode des coefficients indéterminés. — Des deux th('(Mèmes précédents on peut tirer une méthode souvent fort jxatiqur pour le calcul des fonctions symélrupies hojn(jgrncs. h^llc ccjnsiste à écrire l'identité (16), mais en employant au second membre des coejjicients indéterminés, l^es termes possibles sont limités pailes deux restrictions du degré et du poids, imposées par les iIk'orèmes II cl III. On d/lriinmc ciisuilc les c()erficients inconnus en

PROPRIETES GENERALES DES EQUATIONS ALGEBRIQUES. 29 1

siibslitiKuit dans (i6) des valeurs niinu-riques aussi simples que possible attribuées à a, ù, ..., / et, par suite, à ^i, 5o, ..., s,„. On fait autant de substitutions distinctes qu'il v a de coefficients à calculer.