ANALYSE COMBIXATOIRE. FORMULE DU BINOME

alplial)étique. Ou bien, s'il s'agit de numéros, on peut ranger ceux-ci par ordre de grandeur croissante. Plaçons-nous, par exemple, dans celte dernière hypothèse.

Procédons encore par récurrence. Sup[)osons formé le tableau 0^^"' des combinaisons des m premiers nombres entiers p — i à /; — i, celles-ci étant écrites comme il vient d'être expliqué. A droite de chacune d'elles écrivons successivement tons les nombres inférieurs k m -\~ \ et supérieurs au dernier nombre A de la combinaison considérée. Je dis que nous obtenons Q^^. En effet :

i" Nous n'obtenons que des combinaisons de 0^^;

2° JNous n'avons formé que des combinaisons différentes, ainsi (jue le lecteur s'en rendra compte aisément;

3° Toute combinaison (c') de 0^, a été obtenue, car si l'on y supprime le dernier nombre X', on obtient une combinaison de 0,'^"', ne comprenant (|ue des nombres plus petits fpie V. iNIais il est clair qu'on a pris tout à l'heure celte combinaison et qu'on lui a ajouté en particulier le nombre A', formant ainsi (c').

Le tableau 0',^ est évident; on en déduira de proche en proche 0)^^, 0f,^, . . ., 0'^,, . . ., 0"'. Le tableau (7) a été construit d'après la règle ci-dessus.

2i. Nombre des combinaisons. — Ce nombre, qu'on représente par C^,, se déduit de la comparaison des tableaux T^^^ et 0^^. Toute combinaison de 0^^ se trouve répétée p\ fois dans T^^, car les arrangements qui contiennent yo lettres déterminées ne sont autres que les permutations de ces p lettres. On a donc (')

(8) ^'«-;^- yi

On arrive au même résultat en remarquant que la lettre a figure

— C^'„ fois dans le tableau (-)P^, puisque celui-ci contient en tout />C^,

lettres et que chaque lettre s'y trouve le même noml)re de fois. D'autre part, si l'on retranche a des combinaisons qui la contiennent.

(') C'^ étant évidemment entier, on a ce théorème d'Arithmétique : Le produit de p nombres entiers consécutifs est toujours divisible par le produit des p premiers nombres entiers.

on obtient le tableau t)^/l', relatif aux letti^es b, c, .... /. On a donc la relation de récurrence

D'une façon générale,

De cette formule, on déduit aisément (8), en se ramenant au calcul direct de C,',^, , , qui est évidemment égal à m — p -\- i .

Théorème. — On a

En effet, multiplions les deux termes de C^^ par (m — />)•'; il vient