III. — RACINES MULTIPLES
!2!26. Conditions de multiplicité d'une racine. — D'après le n"20o, pou/- que le polynôme f{x) admette la racine a à l'ordre a, il faut et su (fit qu'il soit divisible par (x — a)^ et pas par une puissance supérieure. Oit peut' transformer de différentes manières cette condition.
Partons de l'identité
Dérivons par rapport à x :
avec
donc
h{a) = %g{a) yéo.
Il résulte de là que a est racine d'ordre a — i def'(x).
Réciproquement, s'il en est ainsi et quey(a) soit nul, loidre de multiplicité de a pouv f(^x) est un nombre ^ tel que [i — i ^ a — i, donc [i = a. On peut alors énoncei' le tliéorènie sui\ant :
Théorf;me t. — Si a est une racine d^ ordre a de f[x)^ c^est une racine d'ordre a — i de f'{x); réciproquement, si a est racine d' ordre a — i de f'{x) et annule f{x), c'est une racine d'ordre a
de f(x).
En a|)pli(piant a fois de suite ce théorème, on a le suivant :
Théorème IJ. — Pour (ju'une racine de f{x) soit multiple d'ordre a, il faut et suffit ([u'elle annule.^ en même temps que f{x), ses y. — I premières dérivées, mais pas la y.'""''.
227. On arrive à des conditions plus avantageuses en introduisant ce qu'on appelle les dérivées par rapport à la variable d'homogénéité.
Iniagiuons qu'on rende le polynôme /(^r") homogène el de degré /n, grâce à rinlroduclion d'une nouvelle variable j', dite variable d' homogénéité. On obtient de la sorte un poljnome F(;r,j)^), qu'on peut définir par I identité
de sorte qu'on a
Dérivons (19) par rapport à )' :
mr'"-'^ fi - — v"'---cf'
dF Faisons y=i; le premier meml)re — devient un polvnome de
degré m — i en x, (|ue nous désignerons par f'y{x) et (juon appelle dérivée de f{x) par rapport à la variable d^ homogénéité. Quant au second membre, il devient m/i^jc) — ■ xf'{x). On a donc l'identité
(22) mf(.r)^xf(.r)^f;. (').
Ola posé, si f{x) est divisible par (./• — rt)°', f'{x) l'est par {x — aj*~' (théoi'ème I ) ; donc aussi /^.,d'a|)rès (2 1). Réciproquement, si f (x) el f'y sont divisibles par (a? — <^)^~'j i' en est de même de /(x), d'après (22). Mais alors/(.r) est divisible par (.r — a)^, d'après la récipro(jue du ibéorèjue 1. D'où :
Théouiïmi: m. — l'oiir que f(x) admette le nombre a comme racine d^ ordre a, il faut et suffit que f'{x) et f'^. admettent ce même nombre comme racine cV ordre a — i .
On |)cut niMiiilrr);iiil appliquer de nouveau Ir llièorème à /'(.r) et à/*^.. En rappliipianl à f {x). on irilrodiiil /'" ( ./■ 1 cl la dérivée de f'(x) par rappoit a la variiibic d'lioiMoi;('ii(il(''. Pour caUuder celle-ci, il faut
rendrey''(.X"j li(unogènc, ce (pii donn(! — ; (léii\er par rapj)ortàj-, ce (') CeUe idi-iiiiK; n'csl autre ()uf ri<l<titilc d'I'lulcr (11° 134).
PROI'RIKTKS GKNKRALES DES KQl ATIONS AI.GKBRIQl ES. 2^3
qui donne — ; et endn faire -i- = i , ce nui donne un polvnome de
' d.r ày y i i .
degré m — 2 en x . que nous désignerons par Z"^.^..
De même, en appliquant le tliéorème à /,., on introduit y^.^. ety",";
obtenu en faisant y =1 i dans ) • Pour que a soit lacine d'ordre a
de /(■r), il faut et suffit qu'il soit racine d'ordre a — 2 de f" [x)^ f" ', f"'-
En continuant de la sorte, on introduira les dérivées partielles successives jusqu'à Tordre a — i. Celles-ci doivent toutes s'annuler pour 57 = (7: mais, parmi les dérivées d'ordre a, il y en a au moins une qui ne s annule pas.
Réciproquement, si Ton part de cette hypothèse, on en déduit, d'après la réciproque du théorème III, que les dérivées d'ordre a — 2 admettent a comme racine double; les dérivées d'ordre a — 3 l'admettent comme racine triple, et ainsi de suite jusqu'à /(j:) qui doit l'admettre comme racine d'ordre a.
Finalement, on a le théorème suivant :
Théorème W . — Pour quiin nombre soit racine multiple d ordre a de f(x), il faut et suffît qu il annule toutes les dérivées partielles d ordre a — i. sans annuler toutes celles d'ordre a.
Rappelons encore une fois ce qu'on doit entendre ici par dérivées partielles d'ordre a. Ce sont les a + 1 polynômes en x, de degré
m — a (' ), obtenus en faisant y = i dans -— — j , ^ . , » • • • ? — -^•
Remarque. — Les théorèmes III et IV sont plus avantageux que les théorèmes 1 et II en ce sens que les conditions qu'ils requièrent portent sur des polynômes de degré moindre dans le premier cas que dans le second.
228. PROBLJiME. — Exprimer qu'une équation donnée admet une racine multiple non donnée d'ordre a.
D'après ce qui précède, il sufht d'c'-crire que les équations
(') Car ) , ••- sont des polvnomes liumoséiies de désiré «t —yD (n" 133).
^ ' fix'^ rjx'-'<jy ' ' " " /^ V ^
■2[}\ CHAPITRE WIII.
OU
(24) /ia-l ^,,.) = o, fX~ly=0, ..., .Ç-V=0,
ont une racine commune. Aulrement dit, on éliminera x (Chap.XIX) soit entre les équations (aS), soit entre les équations (24). La seconde solution est d'ailleurs préférable, en vertu de la remarque faite plus haut (').
!229. Séparation des ordres de multiplicité. — Étant donnée une équation à coefficients numériques, il est aisé de reconnaître si elle admet des racines multiples. Il suffit de prendre le p. g. c. d. entre /(x) elf'(x). Si f{x) admet les racines «7, b, ..., l aux ordres a, ,3, ...,)., ce p. g. c. d. est (x — aY'* {x — O/i^'^ . . . {x — /)>--', car il doit être formé au moyen des facteurs linéaires communs '^/{x) et àf'{x) affectés des plus petits exposants qu'ils ont dans ces deux, polynômes. Si p désigne le nombre des racines distinctes, son degré est (y. — i)-\-{';!> — i) +. . .+ (a— i) = a -1- [ii +...+ A —/> = //?— p. Donc :
Théorèmk. — Pour ai'oir le nombre des racines distinctes de f{x), il suffit de retrancher du degré de f{x) celui de son p.g.c.d. avec f [x).
Nous iillons niaintenaiU montrer qu'on peut, par des opérations rationnelles, décomposer l'équalion proposée en un certain nombre d'équations donnant chacune les racines d'un ordre déterminé à l'exclusion des autres.
Soit, d'une manière générale, X,- le produit des facteurs linéaires relatifs aux racines multiples d'ordre /. On a évidemment
en appelant p l'ordre le plus élevé des racines de f{x). Prenons le p. g. c. d. I) entre/" et sa dérivée; on a, d'après ce qui précède,
Prenons de même le ]). g. c. d. D2 entre Dj et sa dérivée ; on a
D,= X3\!...xr^..x';-^
(') (Jn peut aussi se servir des relations entre les coefficicnls et les racines, en observant que le problème actuel est un cas particulier de celui qui a été traité à la fin du n- 'VIU.
PROPRIETES GENERALES DES EQUATIONS ALGEBRIQL'ES. sgT)
En continuant ainsi, nous obtenons le*; polynômes Do, T)\. ..., D/) i ; le polynôme D,- satisfaisant à la formule
de sorte que
fuis, divisons /par Di, nous avons Divisons D| par D;
D, Q,= pi = XA...X„;
et ainsi de suite. D'une manière générale,
et
Enfin, divisons Qi par Qo, puis Q-i par Q.3, etc.; nous avons
De là résulte la rcgie suivante :
Règle. — On prend les p. f:. c. d. entre f{T) et sa dérivée, puis entre le polynôme obtenu et sa dérivée et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un polynôme premier avec sa dérivée. On obtient ainsi une suite de polynômes dont f est le premier. On divise chacun d'eux par le suivant ^ ce qui donne une deuxième suite de polynômes. On divise enfin chacun de ceux-ci par le suivant, ce qui donne une troisième et dernière suite de polynômes, dont le premier admet les racines simples de f(x), le second les racines doubles, ..., le iièmc igg racines i"i''^^, ..., le dernier les racines pufies d'ordre maximum.
Remarques. — f. Chacun des polynômes X,- /l'admet que des racines simples.
II. Si une racine est seule de son ordre de multiplicité et que les coefficients de y soient entiers, elle est commensurable. En effet, les opérations précédentes étant toutes rationnelles, les |)olynomes X/ ont leurs coefficients commensurables. Dès lors, si l'un d'eux se rédiiil au premier degré, la racine correspondante est forcément rationnelle.
m. On peut simplifier un peu la recherche des polynômes D/, en remarquant que, d'a|)rès le n" 227, le p. g. c. d. entre un polynôme et sa dérivée est le même que le p. g. c. d. entre cette dérivée et la dérivée [xtr rapport et la variable d'homogénéité .
i230. Racines communes à deux équations. — Étant données deux équations
que nous supposons d abtnd quelconques, algébriques ou transcendantes, on peut se proposer de cherche/- si elles ont une ou plusieurs racines communes. Lorsqu on sait résoudre entièrement l'une d'elles, il suffit évidemment de substituer successivement toutes ses racines dans Vautie et de vérifier si, parmi les résultats obtenus, il j en a n\\ on plusieurs (pu soieni idenlupunnent nuls.
Ce cas simple étant écarté, le |)rol)lème n'est pratiquement possible que si les deux équations sont algébriques ou se ramènent à deux équations algébriques portant sur la même variable.
Su])posons donc doré'iiavanl (pie f{x) et g{x) soient des polynômes. S ils ont une ou plusieurs racines communes, ils sont tous deux divisibles par les facteurs linéaires correspondants et ont un p. g. c. d. (pii > aiiMiilc |)()ur ces racines communes, liéciproquement, si y et ^ (jiil lin |). :;. c. d. A non constant, il est manifeste (jue toute racine de A annule à la lois / ri g. Donc :
TuÉor.iiMK. — On a les racines communes à deux polynômes en annulant leur j). g. c. d.
La solution du jji'objciir' (pic nmii nous sommes p()S(' est donc ihéompicinciil Iri's simple (piiiiid on a allaire à deux ('-(pialions algébriques, i^lle I est encore |)iai iqiiement tant quil ne s'agit que d^ équations à coefficients numériques pas trop élevés. Mais il n^en \,i plii^ de Miénic lorh(pic ces derniers soiil lil!(''rau\ en totalité ou en partie, car la i(;(li('r(die du p. g. c d. devient ra|)ideinent très pénible
à cause de la complication cioissaiile des coefficients qui s'introduisent dans les divisions successives qu'on est obligé de faire. Néanmoins, si l'on a la persévérance de pousser les calculs jusqu'au bout, on finit généralement par obtenir un reste de division K indépendant de x, mais renfermant sous une forme plus ou moins compliquée les paramètres arbitraires qui figurent dans les coefficients des deux équations. De sorte que si l'on donne à ces paramètres des valeurs numériques quelconques, le reste R n'est pas nul; le p. g. c. d. est constant; il n'y a pas de racine commune. En égalant R à zéro, on obtient une relation entre les paramètres, qui est la condition nécessaire et suffisante pour Texisteace d'une ou de plusieurs racines communes. D'une manière plus précise, pour exprimer qu'il y a p racines communes^ on pousse les divisions jusqu^ au moment oit l'on a un diviseur de degré p; on écrit alors que le reste correspondant est identiquement nul, ce qui donne en général p conditions, puisque ce reste est de degré /jt — i et possède par conséquent/? coefficients.
231. Élimination par les fonctions symétriques. — Les considérations précédentes nous conduisent à étudier d une manière précise le problème suivant, d'il problème de l'élimination :
Etant dontiées deux équations algébriques (') dont les coejficients dépendent de certains paramètres arbitraires, trouver la condition nécessaire et su(fisante cjui doit lier ces paramètres pour fpie les deux équations aient au tnoins une racine commune.
Trouver cette condition, c'est ce qu'on appelle éliniiner l inconnue X entre les deux équations.
Nous venons d indiquer une première solution, qui a lavantage de donner du même coup la ou les racines communes ou, du moins, une équation les admettant comme racines. Mais, répétons-le, elle est rarement [ualique, à |)art toutefois le cas oit les coefficients sont presc^ue tous numériques, surtout ceux des puissances élevées de x., qui s'introduisent dès le début dans la recherche du p. g. c. d.
Nous allons maintenant développer une seconde méthode basée sur
(') On peut, si l'on veut, supprimer le mol algébriques: mais, pour des équations transcendantes, le problème est généralement insoluble; nous ne réludierons pas dans ce cas.
la tliéorie des fonctions sjmétriqnes et qui, si elle n'est souvent pas pins pratique que la précédente, a du moins l'avantage de se prêter très bien aux considérations théoriques.
Soient les deux équations
(2) /(a7) = Ao.r'«+ Ai.r'"-i-T-...^ A,„=o,
(3) g{x) = ^qXP -h hixP-^ — . . .— B/, =0.
Aj)pelons y.,, ao, ..., y.„i les racines de la première et ,3,, ^07 •••7 ^p celles de la seconde. I*our que les deux équations aient une racine commune, il faut et suffit que l'une des quantités g{^-i), g{^2)i •••■, g'{y-m) soit nulle ou, ce qui revient au même, que le produit
(4) P = ^'(a,)A'(ao)...^-(x„,)
le soit. Or, ce j)roduit est une fonction syjnétrique rationnelle des racines de (•-*); on peut donc le calculer par des opérations rationnelles, suivant une méthode qui a été exposée au Chapitre précédent. La condition P = o peut donc être considérée comme résolvant le problème. Mais il est évident que si cette solution est très simple en théoiie, elle doit conduire en pratique à des calculs qui deviennent tout de suite très longs dès que les degrés m el p sont un peu élevés. On ne f emploie couramment^ comme nous le verrons, que pour deux équations du second degré. Néanmoins, nous allons l'étudier davantage afin d'en tirer des eonsécjuences théoriques intéressantes. Observons tout d'abord (pion doit arriver au même résultat par la considération du produit
Au reste, il est très facile de le comparer au précédent. On peut, en eflet, écrire (n" 205)
f(x) = \o(x — ai)(;r — a,) . . . (.r — y.,n), g{x)^ ^o(x—'^^)(x—^.2)...{x~ (3/,,);
!• = B« ( a, - îi, ) ( a, - p., ) . . . (ai - ?.„ )
X Bo(a.,— '^^)...(cL.— '^,,)...B,(yi,„— p,;...ra,„- [3/,),
(6) P = B(;Va,-3,,i(a,-3.,)...(a„,-fi/,); Q = Ao(p, — a, )(p, — 7-2 ;...(£,— a,;,)
X Aç,(^^2 — 'y-i)---('ii— y-m)- ■ . Ao([ii/,— a,;...([3j„— 3t,„), (1) Q = A;V|3,- y.,)i'i,-'X.)...{'^,,-%,n).
l^es quantités -5-^^ et -— ; se présentent sous la lornie du j)roauit
de tnp facteurs, qui sont les mêmes, au signe près, pour les deux produits. On a donc
on
(8) PA^^=(-i)'"/'QB'J' = R (1).
La quantité R s'appelle le résultant des deux polynômes.
Thforème. — Pour que deux polynômes aient au moins une racine commune, il faut et il suffit cjue leur résultant soit nul.
Car l'équation R = o équivaut à P = o (ou Q ^ o).
23*2. Le théorème précédent peut sembler en défaut dans les circonstances suivantes. Imaginons que, pour certaines valeurs \q des paramètres X dont dépendent les coefficients, Aq et B,, deviennent nuls. On peut alors constater que le résultant s'annule. D'autre part, les degrés des équations s'abaissent et ces dernières peuvent très bien n'avoir aucune racine commune.
On lève cette objection parla considération i\e?, racines infinies. Admettons d'une manière générale que, pour X = Xq, les q premiers coefficients Aq, A], . . . , \q-i soient nuls, A^^ ne l'étant pas. L'équation (u) s'abaisse au degré rn — q et ne possède plus que m — q racines. IMais on démontre que, si les X tendent d'une manière continue vers les X(, et si les coefficients A sont des fonctions continues des X, parmi les ni racines de (2), il y en a g- qui deviennent infiniment grandes. On convient alors de dire que, pour X =: Xq, l'équation {1) possède q racines infinies.
Si nous revenons alors à l'hypothèse d'après laquelle Ao et Bq s'annulent simultanément pour X = Xq, nous voyons que les deux équations ont au moins une racine infinie commune. Comme leur résultant est en<;ore nul, le théorème ci-dessus est encoi'e vrai.
233. Propriétés du résultant. — La première expression du résultant R = A^'i,'(a, ) g{oL2)- . . g(y-„i) nous montre (|ue c'est un |>olynome homogène de degré /« par rapport aux coeflicienls B. La seconde nous montrerait de même que c'est un poljnome homogène de degré/? par rapport aux coefficients A.
Cherchons son poids (n° !22o) relativement à rensemble des coefli-
( ' ) Dans le cas où ni et p sont impairs, on voit que le signe de R n'est pas déterminé, ou plulot dépend de l'ordre dans lequel on considère les deux polynômes.
3oo niAPITRE MX.
cients A el B. ()n poiirrail, à cel ellel, se servir du théorème 111 du n" ti2o. 11 est iiii peu j)liis rapide d'employer l'arlifice suivant, (|ue nous empruntons à Leçons ( l. II, p. 364).
Imaginons qu'on multiplie loules les racines a el [^ par le même facteur arbitraire A, sans changer les coefficients Aq, B„. I)'a|)rès les formules ((3) et (8), R est manifestement multiplié par \"'p.
D'aulre part, les relations entre les coefficients et les racines (n" !2t20) nous ap|)rennent que chacun des coefficients A/, 13/ est multiplié par une puissance de Ad'exjjosant égal à son indice. Tout terme du polynôme K en A,, B, est donc multiplié par une puissance de A d'exposant égal à son poids. I^our que K soit multiplié par A"'/', quelle (|ue soit la valeur de A, il est nécessaire que tous ses termes aient pour |)oids /np. Donc :
Tm:oRi:.\iE. — Le résultant est un polynôme par rapport aux coefficients Ao, A,, .... A,„, B„, B,, ..., B^,, dont tous les ternies ont pour poids tu p.
Nous trouverons plus loin ( n" 238) une ap|ilicalion importante de cette j)roposition.
23i. Résultant de deux trinômes du second degré. — Il im|)orte de savoir former de ttiémoire le résultant de deux trinômes du second degré, car il est d'une application assez fréquente. Soient les deux équations
(lo) f{T)^ax--\-bx-\-c^o,
(il) gix) ^ a x"-r- b' X -^ c' = o.
On a
— = f^l^y-x) gict-i) = ( a' y.] ^ b' oi^-^ c' ){a' "xl-^ b' 7i,-\- c' ).
Déxeloppons et ordonnons sui\ant a\ l>' , c' :
— =:«'-( 7-1 'x-i)'- — ci b' 'J.\y.i('ï.x-T- OL<i) -{- a' c' ( ol\-\- 7.\)
b'-T.i'Xo-T- b' c'( 'Ji.\~ y-i) ■+■ c'-.
Oi
7., 7.2=-, 7) -i- 72 = . 7f -+- aj = ( «i -f- 79 j^ 9.7172= :
ÉLIMINATION. 3oi
d"où
R = a'^c^ — a' b'cb -\- a' c'{b- — lac) -^ b'^ca — b' c ba + c'-a-
= ia"^c- — -laca' c' -r- c'-a-) -f- ib'-a c'-\- b'-ac — bb' ca — bb' c' a).
Le lecteur vérifiera aisémenl que celte expression est identique à la suivante
(r;?) R = (ac— ca' )- — (ab' — ba)( bc' — cb').
C est sous celle forme (jii'il nous semljle le plus commode de retenir le résultant des deux irinomes. On peut encore l'écrire autrement; mais nous ne le ferons pas, car mieux vaut connaître bien une seule formule que de mal en connaître deux.
Du reste, on retrouve rapidement l'expression (i v. ) eu raisonnant comme il suit. Considérant les équations (loj et (i i) comme deux équations du premier degré par rapport aux deux inconnues x- el x\ nous avons, en supposant ab' — ba ^ o,
, „ „ bc' — cb' ca' — ac'
ab' — ba ab' — ba
Si les deux équations ont une racine commune^ cette racine est donnée par la seconde formule (i3) et son carré par la première; on a donc nécessairement
bc' — cb'
\ab' — ba' / ab' — ba'
OU
(14 ) (ac — ca' )- — ( ab' — ba')( bc' — cb' ) = o.
On relrouve bien la condition K = 0, avec la ibrme (^12) du résultant.
Notre raisonnement sujjpose ab' — ba'y^ o. Si ab' — ba'=o, les équations, considérées comme du premier degré en x- et J7, ne sont com|)alibles ( n" ^90) que si le déterminant caractéristique ac' — ca' est nul. (^est aussi la coiidilion que donne ( i4)- Dans ce cas, les deux équations ont leurs coefticients proportionnels et oui, par suite, les mêmes racines.
TnÉonioME. — Si le résultant de deux trinômes du second degré à coefficients réels est négatif, les deux trinômes ont leurs racines réelles et distinctes^ et se séparant mutuellement.
3o2 CHAPITRE MX.
En elFet. le produit g' {^-i)- g' {^-2) p^ii' exemple élani négatif, les nombres a, et ao sont nécessairement réels; car, s'ils étaient imaginaires, ils seraient conjugués (n" 24-9); donc aussi g{y-i) et g {'^-i)-, dont le j)roduit serait dès lors positif (n° 33).
On prouverait de même la léalité de ^) et (io-
Enfin, en vertu du théorème du n° SoO, les nombres a, et ao comprennent une racine et une seule de g{x)', de sorte que si Ton range les racines des deux trinômes par ordre de grandeur croissante, on obtient lune des dispositions (a,3,ao|^o) ou (^Ji^-i 1^2^-2)-
23S. Discriminant d'un polynôme. — On appelle discrimina ni du polynôme f{x) le tjuotient par Aq du résultant relatif à f{x) et /' (x).
Si ai,a2, .... y.„i «ont les racines def{x) et ^1, S^. ..., 3,„.i celles de f (x), on a donc (n" 2131 )
(i5) D = A--V'(^ij/'(«2).../'(a„,) = '«"'.n"-'/«l^i)/ai2).../(P,n-i).
La première expression peut se mettre sous une forme remarquable. De litlentité
fix) = Ao(a7— ai)(:r— aa) ... {x — a,„)
on déduit en effet
/'(y.,-) — Ao{3:/— a, ) . . l'a/— a,i )(a/— a,-^,) . . . ( a,— a,„).
Si Ion fait le produit des m quantités analogues, on voit que chacune des différences telles que a^ — a/, y figure deux fois, une fois dans/(ay, ) et une fois dans /'(a/.), mais alors précédée du signe — . Gomme il y a en tout
— différences distinctes, on voit que si l'on appelle A le produit des
carrés des différences des racines de f{x), on a
Le produit A s'annule lorsque deux des racines sont égales et dans ce cas seulement; donc, pjour qu'un polynôme ait une racine double, il faut et il suffit que son discrimiuant soit nul. (Cela résulte aussi du n" 226.)
On peut observer aussi que si le polyno/ne a toutes ses racines réelles, le discriminant est nécessairentent positif ou négatif, suivant que le nombre
m (m — 1 ) . . 1,1 • ,, /■,■ ■ ■ , est pair ou impair. IMais cette condition nécessaire n est pas
en général suffisante. Elle l'est néanmoins dans le ras de l'équation du troisième degré à coefficients réels.
Kn effet, supposons m = 3 et admettons qu'une seule racine aj soit léelle, les deux autres 7.0 et a., étant dès lors imaginaires conjugu/'os ( u" 2i'.) ). La
KI.IMINATION. 3o3
diiïérence a.^ — a;j est une imaginaire pure; son carré est négatif. Les difTérences oti — ao et a, — a^ sont imaginaires conjuguées; leur produit est positif, et a fortioriXe carré de ce produit. Donc, dans cette liypolhèse, A est nécessairement négatif.
bi Ion observe maintenant que =: 3 est impair, et, par conséquent, que D a le signe contraire à A, on voit que, pour qu'un polynôme du troisième degré à coefficients réels ait ses trois racines réelles, il faut et suffit que son discriniitiant soit négatif.
La seconde expression (i j) de D peut aussi se transformer. Appelons g {x) la dérivée par rapport à la variable d'homogénéité. On a (n" S'a?)
mfif^i) = g{^^)-
D'autre part, le résultant D' entrey'l a?) et ,.^ (ar) s'écrit
D'=(/»Ao)'"-'5-(?i)^(?2)...ft°-(|i,„-i); donc
Par conséquent, le discriminant d'un polynôme peut aussi s'obtenir en divisant par m'"-- le résultant entre la dérivée et la dérivée par rapport à la variable d' homogénéité.
Cet énoncé est intéressant en ce sens qu'il permet de simplifier un peu le calcul du discriminant. En particulier, il ramène le discriminant du polynôme du troisième degré a x^ -{- b x^ -]- c x -i,- d au résultant des deux trinômes du second degré "iax- ^ ibx -^ c et bx^-^ -icx -[-^d, ce qui donne, d'après les formules (isi) et (17),
(18) [)=l^\(c)ad— ic)2— 4(3rtc — 62)(3 6f/— c2)J.
Dans le cas du trinôme T-^^-px-\-q, cette expression devient
(19) D ^ 4p^-^?-qK
236. Méthodes pratiques d'élimination. — Dans la pratique, on ne forme pour ainsi dire jamais le résullaiil de deux polynômes de degré supérieur au second. Il arrive néanmoins quelquefois qu'on se trouve dans l'oljligation délimliier une inconnue entre deux équations du troisième et tnème du quatrième degré ('). On procède alors de la manière suivante.
(') Pour des degrés supérieurs, on n'élimine pas, à moins d'y être absolument contraint, ou à moins que les équations ne présentent des particularités susce|)tibles d'apporter des siniplilications évidentes dans les calculs.
3o4 CHAPITRE XIX.
Soil. dune manière i^énérale, les deux équations (■20) f{x) = o,
Si elles sont vérifiées siiuultanénienl pour une certaine valeur x^ de x^ il en est de même de l'équation
( 22 ) lf(x)-^iJ.^(.r)=zo,
où ), et ij. désignent deux facteurs quelconques pouvant très bien renfermer ^, pourvu (|ue ces facteurs restent finis pour .r = ^o- Pvéciproquement, si les équations (21) et (22) sont vérifiées simultanément pour :r = ^0, il en est de même de (20), à condition toutefois que A ne s'annule pas. Donc, on peiit^ au point de vue de l'élimination, remplacer réquation (20) par la combinaison linéaire (22); mais, après V élimination^ il faut bien vérifier que la racine commune à (21) et à (22) laisse \ et ^x-Jinis et n^annule pas X.
Au lieu de (20), on aurait pu remplacer (21) sous la condition a ^ G. On peut aussi introduire une deuxième combi/iaison linéaire :
(23) rf(x)^iJ.\^{x) = o,
et éliminer x entre (22) et (23), sous la condition 'l^jJ - \xK' ^ o^ moyennant la(|uelle le système (22), (2^) est ('■(piivalenl au système (20), (21).
Cela posé, on peut essayer de déterminer )., a, a', 'j.' de façon que les équations {9.1) et {"i.^^) soient plus simples que les équations proposées. Par exemple, si celles-ci sont du troisième degré, on peut choisir A et '^ pour éliminer le terme en x'-^ ; rcx|)ression (22) est alors du second degré. On peut ensuite choisir )/ et jj.' |)()ur éliminer le terme constant. Kn divisant par x ('), ré(|Uiili()n (20 ) s'ahaisse, elle aussi, au second degré. Si /.a' — 'p' 7^ <>? o" " ■' pl"*^ M" '' «ipp''" (pier la loimule (i 4)-
Si /est du troisième et i' du secoml degré, en pienant ). conslant et 'j. de la forme /. ./■ i /: ^ const.), on amèneia encore (22) à (-Ire du second degré et lOn prendra le lésultant de (21) et (22).
(') On siipprjsc que zéro n'esl p;is racine ccjMiiinino aux ('-(i nations ilcinrK'OS.
ÉLIMINATION. 3o5
On conçoit que, c|uels que soient les degrés des deux équations, on puisse, par des opérations analogues aux précédentes répétées un nombre suffisant de lois, se ramener toujours à deux équations du second degré. Mais les calculs se compliquent rapidement; déplus, rappelons quil faut prendre des précautions au point de vue de l équivalence du système proposé et des systèmes en lesquels on le transforme successivement.
1237. Résolution de deux équations à deux inconnues. — Soient les deux équations
OÙ l'on suppose ffue/ et g sont des polynômes en x et j*.
On appelle solution de ce système d' équations tout groupe de valeurs numériques qui. attribuées ci x et y, annulent identiquement f et g.
Soit (-^0? JKo) ^^'^^ telle solution. Les deux équations en x
/(^, JKoj = o, ^(.r,jKo) = o
admettent la solution commune ^o^ donc, leur résultant est nul. Les y des solutions du svstème vérifient donc l'équation
(26) R(jK) = o,
obtenue en éliminant x entre (24) et (2.5).
Réciproquement. soitVi une racine de cette équation. Les équations en X
(27) f{^,J'i) = o, g(x.yi, = o
admettent au moins une racine commune x,, puisque leur résultant est nul. Mais alors (.r,, y, ) est une solution du sAstème: d'où :
Règle. — Pour résoudre le système, on élimine x entre les deux équations qui le composent . On résout V équation en y obtenue et à chaque racine y ^ de celle-ci on associe la racine commune des deux équations en x que deviennent les équations proposées quand on y remplace y par y
Haag. — Cours, I. 20
3o6 CII.VIMTRE \l\.
238. Nombre de solutions — Soient m el p les degrés respectifs de f el g. En nous plaçant dans le cas le plus général, on peut
écrire
/(ar, y) = Aoa;'" + A,a"«-' h- . . . ^ A,,,, ff(x, y)~ Bqxp ■+■ Bj 37/^-1 ^.. .-H B/„
les coefficients A et B étant des polynômes en j' de degré égal à leur indice. Le résultant R ( J') est, nous le savons (n" 233), un polynôme en A et B, donc aussi en y. Le degré, par rapport îi y de tout monôme en An, A,, ..., B^ est visiblement égal à son poids par rapport à ces coefficients. Or, nous avons vu (n"233) que le poids du résultant était /np; donc, l'équation (2(3) est une équation algébrique de degré mp. Comme à chacune de ses racines correspond une .solution du svstème, on peut énoncer le théorème suivant, du à Bezont :
TnÉoiiiiMF. — Deux équations algébriques à deux inconnues^ de degrés m et p, admettent mp solutions.
11 convient de signaler les difficultés suivantes., qui peuvent surgir à propos de ce théorème. Dahoid, il peut arriver cpio les équations (2-) aient, non pas une, mais j)lusieurs racines communes, ce qui semblerait augmenter le nombre total des solutions. Mais on démontre que dans ce cas la racine y^ de (26) est multiple d'un ordre égal au nombre des racines communes précédentes et réciproquement, ce qui rétablit visiblement les choses.
Il peut se faire aussi que le degré 0 de li(.x) s'abaisse, cesl-à-dire soit inférieur à mp. Dans cette circonstance, on définit des solutions infinies en nombre égal à mp — 0. iMovennant (pioi, le théorème de Bezout est général.
239. Systèmes à plusieurs inconnues. — Si Ion a trois ('(jualions à trois juconnues .r,^', 5, on ('limine x entre la premièic el la deuxième, puis entre la |)remière el la troisième. On obtient un svsième en jk ^'t ^> qu'on résout comme ci-dessus. Si {y\. Cm) désigne une solulioii de ce svstème, on la porte dans \c> «'(piations proposées. On obtient trois équations en ./■, dont on sait que les deux premières ont au moins une solution commune, ainsi (pie la première el la troisième. Reste à voir si, parmi ces soIiiIkuis communes, il v en a une (pu \(M'ilic à la dus les trois équalioio. liemarcpions d ailleurs
que, si cela est, {j'i, :•{) devra annuler aussi le résultant de la deuxième et de la troisième équation.
Nous nous bornons à ces indications sommaires, qui permettront au lecteur de se tirer d'afl'aire dans les cas simples et qui se généralisent de manière évidente pour un système renfermant un nombre quelconque d'inconnues.
Observons toutefois^ pour terminer, que dans le cas où le système est symétrique par rapport à certaines des inconnues^ il peut être avantageux de substituer à celles-ci leurs fonctions symétriques élémentaires.
