TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS

"lïO. Transformations du premier ordre. — Soient une é<jiialion algébrique

el une fonction rationnelle donnée

Faire subi/- à l'équation (1) la transformation (2) c^est former V équation en y dont les racines r, ,^^25 •■•,yin sont les valeurs (fue prend es (.r) quand on y remplace x par les racines x,, x^, •••, x,„ de fix).

L'équation transformée

(3) gij) = o

(levant admettre /y* racines doit, a priori, être de degré m. On |)eut remar(|uer tout de suite que ses coefficients, fonctions symétriques élémentaires des j'/, sont des fonctions sjmétriques rationnelles des Xi el, comme telles, peuvent être calculées par des o|)éralions rai il)nn(•lll■■^. On arrive au même résultat en observant ([uc les //? paires de nombres (^j;,, yO> (-^ajJKa)? ■•i (^w, JK/«) ^onsliluenl les m solutions finies du système (i), (2) ; d'où il résulte (pie l' équation (3) peut être obtenue en éliminant x entre les étjuations (1) et (2) (n°237).

211. Utilité d^ une telle transformation. — Imaginons (pie l'on connaisse une racine j'' de l'équation (.j). Il lui correspond une ou

TRANSFORMATION DES ÉQr.VTIONS. J09

plusieurs racines de (i), solulions conitnuues des équalions (i) el(4) : (A) y = 'ii^)-

Ces solutions sont données par une équation algébrifpie qu'on |)eut former par des opérations rationnelles, par exemple par une recherche de p. g-, c. d. (n" 230). Leur nombre peut être prévu à l'avance : il est égal à Tordre de multiplicité dey' pour g'{j')- En effet, si J7,, ^2, ..., Xg sont ces racines, les q racines y,, jKa, •••; J'q de (3) doivent se confondre a.\ecy', qui est donc racine multiple d'ordre q. De là résulte la proposition suivante :

Théorîcme. — - Si l'on sait résoudre Véqualion (3), on peut décomposer i équation (i), et cela par des opérations rationnelles, en autant d'équations que l'équation (3) admet de racines distinctes, le degré de chaque équation partielle étant égal à V ordre de multiplicité de la racine correspondante de (3).

On conçoit dès lors toute l'utilité d'une telle transformation au point de vue de la résolution de l'équation proposée. En particulier, si l'équation transformée n'a que des racines simples et des racines doubles, on se ramène à la résolution d'un certain nombre d'équations du premier et du second degré.

Une autre application, de moindre importance, consiste en le Crt/cM^ de certaines fonctions symétriques des racines de f i-v). FI peut arriver, en effet, qu'une transformation convenable effectuée sur l'équation ramène la fonction symétrique proposée à une fonction symétrique beaucoup plus simple des racines de l'équation transformée, par exemple à une fonction symétrique élémentaire. C'est ainsi que, si l'on doit calculer o (:c, ) + œ {^-i) + • • • H- ^ {-^m)^ il suffira de faire la transformation fa) et de prendre la somme des racines de (3).

242. Transformations élémentaires. — Il existe trois transformations dites transformations élémentaires^ qui sont d'un usage fréquent. Ce sont les suivantes :

(II; y = kx,

(III) y=L.

Nous allons les étudier successivement.

ÔIO CHAPITRE X\.

(1). Dans le cas de la transformation (I), léquation transformée

s'écrit immédiatement

ce qu'on peut développer, si l'on veut, par la !"ormulc de Taylor (n" Mo).

L ne application importante de celle Iraiisformatiou est la suivante : Faire disparaître de Véquation transformée le terme en j'"'~'.

Rien n'est en effet plus simple. On veut que la somme

ri-+-JK2+ ... -^y„t

soit nulle. Or, elle est égale à a?, + 3:2 + . . . + x,n+ ffdi. Il faut donc prendre

m Ar

si Ton a posé, comme d'habitude,

/(ar) = Aoa7"'-i- A,a7"'-i -f-. . .+ A„,.

Dans le cas de V équation du troisième degré, cette simplification

est particulièrement importante. Elle ramène l'équation complète à la

forme

x^ -T- px -\- Cj = o,

(\'\Ve forme canonique et qui se prête, mieux que toute autre, à l'é'lude et à la résolution de l'équation.

(11). La transformation (II) ne donne lieu à aucune difficulté. Diins le cas où /■ est quelconque, elle est utilisée assez peu souvent ; nous en verrons ce|)endant une application au Chapitre suivant (n"!261). Pour l'instant, nous dirons seulement un mot du cas où /," = — I, c'est-à-dire jK = — ^' L'équation lr,insfoin)ée se forme immédiatement par le simple changement de x en — .c ; c'est pourquoi on l'appelle la transformée en — x de l'équation juoposée.

Une circonstance intéressante est celle où cette dernière ne renferme que des termes dont les exposants ont tous même parité. La transformation considérée ne change pas l'équation, dont les racines sont, par suite, nécessairement deux à deux oj)|)OS('es. Dans ce cas, on peut abaisser d'au moins moitié le degré de Térpialion. On commence par enlever la ou les racines nidics, s'il \ en a; après (|uoi il

Ao

Ao

Ai

Ao

TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. 3ll

n'y a plus au premier membre que des puissances paires de x. On fait alors la transformation évidente jk = ^- ('), que le lecteur reconnaîtra d'ailleurs pour l'avoir déjà rencontrée à propos de l'équation bicarrée.

(III). Enfin, la transformation (III) conduit à Véqiiatioa aux inverses de l'équation proposée. Elle s'écrit immédiatement, en conservant la lettre x pour désigner l'inconnue,

A „, x"> -4- A„, 1 .r"'-i + . . . -^- Ao = 0, et admet pour racines les inverses des racines de (i).

'2i3. L ne catégorie intéressante d'équations est celle des équations réciproques^ qui sont caractérisées par la propriété de coïncider avec leur équation aux inverses. Pour que l'éqiuition (i) soit réciproque, il faut et il suffit que l'on ait (n" 205)

Egalant les rapports extrêmes, nous avons

Aq = A,-„ ; donc

Ao = ih A ,„ .

Par suite, la valeur commune des rappfirts (5) est égale à ±1. Donc, pour quhine équation soit réciproque.^ il faut et il suffit que les coefficients équidistanls des extrêmes soient égaux ou bien qu'ils soient op/wsés.

Dans le deuxième cas, l'équation admet d'ailleurs forcément la racine i ; car, si l'on forme y (i), les termes équidistanls des extrêmes se détruisent. En divisant f{x) par une puissance convenable de X — I, on obtient une érpiation qui n'est plus satisfaite pour^= i et

(') On peut se demander comment il se fait que, contrairement à la théorie générale, l'équation en y n"ait pas même degré que l'équation en x. En réalité, l'équation transformée, si elle était formée régulièrement, par la méthode des fonctions

symétriques par exemple, devrait admettre — racines doubles obtenues en associant

les y, correspondant à des valeurs opposées des .r,. Elleserait de la forme [g, (j')]^ ==0, giiy) étant précisément le polynôme qu'on obtient en remplaçant x- par y dans

CllAPITKE \\.

qui a encore ses racines deux à Jeux inverses, puisque la racine i ne pouvait èlre quà elle-même sa proj)re inverse. Elle est donc récipro(|ue, les coefdcients équidislants des extrêmes étant égaux.

Si maintenant l'équation ainsi débarrassée des racines égales à i est de degré impair, je dis qu'elle admet la racine or = — i. En elTet, si Ion forme / ( — i), les termes équidislants des extrêmes se détruisent.

I^'inalement, on voit que toute équation réciproque est, (//>rès suppression des racines +1 et — \ , de la forme

(6) F(a7) = Ao.r2«-j- Aia"2-'-i-i-. . .

-+- A„i 3""+' -h A„ X" — A„, r" -1 -^ . . . — A , r — Ao = o.

Faisons-lui subir la transformation (')

Les racines x^ , x-,, . • . , x-^u étant deux à deux inverses, les racines j'jirj, . . . , y.2n ^ox\i deux à deux égales, puisque -)' ne change pas quand on change x en -. Par suite, l'équalion transformée doit être

de la forme

[GO-)]==o.

G(/) étant un polvnome de degré n.

On peut obtenir ce dernier par l'artifice suivant : l'écjuatinn (()) peut s'écrire, en divisant par a;",

(8) A„ [x-^ -^^j -r- A, (x"-^ 4- ^j +. . .+ A„, (^ ^ 1) + A„ = o. Calculons l'expression ^ />= xP -\ en fonction de )'. (Jn a

formule de récurrence (|ui permettra de cahnder, de |)r()(he en proche, V„= 2, V, ^y, ^ 2, N : ^^/.

('; On peut aussi f;iire la liaiisfornialioti y = ■■> (|iii coiuliiil .1 une cijiialiim

ne renfermant que des ternies de mùrne parité ( Cf. Leçons, n" 271 ).

TRANSFORMATION DES ÉOt'ATIONS. 3l3

Je dis que V^, est un poljnonie de degré p en y. Cela est déjà vrai pouryo=o et yo = i . Admettons maintenant que cela soit vrai jusqu'à une certaine valeui- de />, et montrons que cela sera encore vrai pour \y,,., . En efl'et, la formule (9) prouve d'abord, de façon évidente, que ^ pj^\ est un polynôme en )'. En outre, V^ étant de degré /?, y^ p est de degré /? + i ; comme V^, est de degré p — i , le terme de plus haut degré de l'V^ ne peut être détruit par celui de Vy,î ; donc V^ est bien de degré /) + i .

Il résulte de là que le premier membre de (8) est un polynôme de degré n en y : c'est le polynôme G (j').

Si l'on connaît une racine y' de G (jk), on en déduira deux racines inverses de F i^x') par la résolution de l'équation (^), ou

■r- — .ry -1-1 = 0.

On voit donc que la résolution de V équation (6) se ramène à celles d\inc équation de degré n et de n équations du second degré.

î24i. Transformation homographique . — Aux transformations élémentaires se rattache la transformation homograpJnque :

ex -^ a

où a, h, c, d désignent quatre constantes telles que ad — bc ^ o^ afin quejK dépende réellement de x. L'équation (10) est du premier degré par rajjport à x et donne

b-dy

cy — a

ce qui permet d'écrire immédiatement l'équation transformée et de calculer les racines en x quand on connaît les racines en y. Une propriété très importante est la suivante :

Théorf:mk. — Toute transfornuition homographique équivaut à une succession de transformations élénxentaires.

iJ'abord, si c est nul, l;i transformation est linéaire :

y z=i ax -\- b.

Elle é(pii\aul aux deux transformations élémentaires

z = ax, y = ^ -f- b.

3l4 CHMMTUE \\.

Si c^ o, en ilécomposaiit j- en élémenls simples i^Cliap. Wll), on peut écrire la formule (lo) sous la forme

jy = OL -, -^ — (a, y, Y = consL),

ce qui équivaut aux quatre transformations élémentaires

z = .V -r- '(, Il z= - , p = ji «, y = t' -I- a. .

!2io. Transformations du second ordre. — On peut étendre de la manière suivante la notion (Je transformation d'une équation. D'une manière générale, soit une fonction rationnelle de p variables

h-i) y = o(u,,i(.2, . . ., Uf,), (pi m).

Imaginons qu'on y remplace les ui successivement |)ar tous les arrangements p à /> des m racines .r,, .To, .. ., Xm de l'équation (^i). On obtient de la sorte A(,'^ valeurs numériques ('). L'équation en )' qui admet ces valeurs comme racines est ^\le transformée de V équation [i) par la transformation (12). Une telle transformation est dite du p'<''«^ ordre. Dans le cas où/? = i, on retombe sur les transformations considérées dans les numéros précédents, qui sont donc des transformations du premier ordre.

L'étude générale des transformations rationnelles d'ordre quelconque constitue un des Chapitres les plus importants et les plus savants de l'Algèbre supérieure, que nous ne pouvons aborder ici.

Contentons-nous d'observer que, pour avoir récjiiation eny définie par la transformation (12), on peut, en raisonnant comme au n" !240, éliminer u,, Uo^ . • • , Up entre (12) et

Lorsque p est voisin de m et que la fonction C3 présente quelque symétrie par rapport à certaines de ses variables, il jieut y avoir avantage à éliminer //,, u.,, ..., u,u entre (12) et les relations entre les eoefjlcienls et les racines, (^eci revient d'ailleurs à /■e^rz/v/r'/- Véqua-

('; Ces valeiii-s piruvent ne pas être toutes distinctes. En particulier, si la fonction » est symétrique par rapport à plusieurs des variables «„ il y a toujours abaissement du degré de l'équation transformée.

TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. 3l5

tioii (\i) comme une condition imposée aux racines de (i) et à appliquer la méthode i^énérale du n" !220.

En particulier, supposons p = /?? — i et la fonction 'i syniélrique. Soient 7,, 7o, . . . , a-,„i les fonctions symétriques élémentaires de Ui, Wo, ..., u„i,.\. On sait (n" 225) que ':> peut s'exprimer rationnellement au moven de ces cpiantités. D'autre part, si l'on applique les foinnules (i-) du n° 225, on voit que les ■s peuvent être calculés en fonction de la dernière racine u„i ; de sorte que finalement cp(?^|, /fo. . . ., Um-\) se présente sous la forme d'une fonction rationnelle de Uni- Donc :

Théorème. — Toute transformation rationnelle symétrique d' ordre m — i à effectuer sur une équation de degré m se ramène à une transformation rationnelle du premier ordre.

On rencontre assez fréquemment des applications de ce théorème pour l'équation du troisième degré.

jNous terminerons ce Chapitre en exposant quelques transformations particulières classiques du second ordre.

2i6. Équations aux sommes et aux produits des racines. — Soit (i4) y = «iH- Mo.

Au lieu d'appliquer la méthode générale, il est plus élégant de procéder comme il suit. Introduisons le produit

(l5) ^ = », Mo-

Les nombres Us et u^ sont les racines du trinôme x- — xy -{- z^ lequel doit divisery(.r) si U\ et u-^ sont racines de (i). Effectuons dès lors la division àe f{x) par x- — xy -\- z suivant les puissances décroissantes de x. Nous oljtenons un reste de la forme

l* et Q désignant deux polynômes en j- et z-. Les conditions de divisibilité sont

En éliminant z entre ces deux équations, on aura Téquation en y cherchée, ou équation aux sommes des racines prises deux à deux.

3l6 CH^PITRi; W. — TRANSFORMATION" DES ÉOIATIONS.

En éliminant 1-. on aurait au contraire l'écjiialion aux j)roduils des racines prises deux à deux.

!2i7. Équations aux demi-sommes et aux demi-dififérences. — On

peut aussi ellectuer la transfoimalion (14) eu associant à la somme u, -+- u-2 l'i ilillérence //, — ?/.j. Posons

Ecrivant que u^ et u^ vérilicnt (i), nous avons

Suivant qu'on élimine 3 ou j', on ohlitMil V équation aux deiniso/nmes ou l'érjualion aux demi-différences des racines prises deux à deux.

L'élimination donne lieu à la remarque suivante : les deux équations peuvent s'écrire ( n° 115)

f(.y^ — ^f(y) + -f"(y) - hf"'o') -^ v^f (y) + ■■■ = (>.

Un obtient deux équations jilus sinq)les en les combinant |)ai- addition et soustraction

en enle\ant la solution é\idenle et sans inlérèl ; = o. Ceci montre (pie 1 élimination é[(t y conduit nécessairement à une ('-quation cpii ne

renferme :: que [>ar son carré ; de sorte qu'(jn |)onrra poser j-= -■,

de façon à obtenir i' équation aux carrés des difféi-enccs des racines.

ÉOUATIONS A COEFFICIENTS RÉELS.

2-i8. Les équations que nous avons considérées jusqu à présent pou\aient être à coefficients complexes quelconques et nous n'avons fait aucune distinction entre les racines réelles et les racines imaginaires. Nous allons dorénavant nous placer au point de \ue, particulièrement important dans la pratique, des équations à coefficients réels, en envisageant spécialement la recherche des racines réelles.

t2-49. Racines imaginaires conjuguées. — Théorème. — Si une équation algébrique à coefficients réels admet une racine imaginaire., elle admet aussi la racine imaginaire conjuguée au même ordre de multiplicité.

En etfet, reprenons le polynôme y (c-) du n' 109. en supposant tous ses coelficient réels. Nous avons

/(.c + ri) = P(^, JK) -^ iQ(j", 7)

et

f{x-yi) ES P(^, y) - t Q(x, y),

car, les coefficients de /étant réels, les calculs ûe f(x-\-yi) et f(x — yi) portent sur des nombres imaginaires conjugués et donnent, par suite, des résultats conjugués (n" 30, remarfjue II). Dès lors, si a -j- 3/ est une racine, comme on a à la fois

on a aussi

/(a— !îi,) = o.

En second lieu, si Ion applique ce résultat aux dérivées successives, qui, elles aussi, ont leurs coeflicienls réels, il est manifeste que

3l8 CHAPITRE \\1.

la première dérivée qui ne s'annule j)as a le même ordre, soil qu'on substitue a +• j3/, soit qu'on substitue a — '^i. Donc, en vertu du théorème II du n° !2!26, les deux racines ont même ordre de multiplicité.

Décomposition d'un polynôme en facleiirs premiers réels. — S l'on applique la formule (aj) du n° 205 à un polynôme à coefficients réels, les facteurs linéaires sont soil réels, soit deux à deux imaginaires conjugués. En groupant ces derniers, on obtient manifestement une décom|)osilion de la forme

0) f{x) = Au( j: — .r, )*.(ar - .z,y. . . .(.r - .r^)*r

X {j^^ -}- pi X -h q \ }?i . . . ( -r- -h ps -r -+- g-^jP-,

OÙ x^ , X-i, . . . , Xri p\, c/i. . • . , ps, Çs sont des nombres réels, les trinomes ayant en outre leurs racines imaginaires. Tous les facteurs de ce produit sont premiers, si l on exclut tout di\iseur imaginaire. La décomposition n'est possible que d'une seule manière, comme celle qui nous a servi de point de départ.

2o0. Résultats de substitution. — Thkokè.mk. — Si dans un polynôme à coefficients réels on substitue deux nombres réels qui ne soient pas racines, les résultats de substitution sont de même signe ou de signes contraires suivant que les deux nombres comprennent un nombre pair ou un nombre impair de racines réelles, chacune de celles-ci étant comptée un nombre de fois égal à son ordre de multiplicité.

Soit à conq)arer les signes de f{a) et /{b), en supposant poiiifixer les idées a <; b. Imaginons que. 2^ croisse d'une manière continue de a d b. La fonction f(x) étant continue, on sait qu'elle ne peut changer de signe qu'en s'annulant (n° 59, II), c'est-à-diie lorsque x traverse une racine. Oi-, je dis que toutes les fois cpie x tra\erse une racine o^o, /{^) change de signe ou non suivant (pu; l'ordre de multiplicité de celte dernière est impair ou pair. En ellet, soil p cet ordre ; on a

(2) f(x)~(.r — .r^)i>ff(.i-) \ff{.ro)^o].

.Si X est très voisin de x„, g(x) est très voisin de g(x„) el garde, pai' ^uilc, un signe constant. |)iii>(|iie g (x„)nes[ pas nul. Il en lésidtc

KQIATIOXS A COEFFICIENTS RÉELS. SlQ

quef(x) change de signe en même temps (jue(T — X(,)p, c'est-à-dire dans le seul cas où p est impair.

Cela posé, lorsque x croît de a à b, f{x) change de signe un nombre de fois égal au nombre des racines traversées qui ont un ordre impair. Doncy'(rt) eif[b) sont de même signe dans le seul cas où ces racines d'ordre impair sont en nombre pair. Or, le nombre total des racines réelles comprises entre a et 0, nombre compté comme l'explique l'énoncé, a évidemment même parité que le nombre des racines d'ordre impair. Finalement le théorème est démontré.

Corollaire. — Toute équation de degré impair possède au moins une racine réelle.

Cary(+ oc) et/(— :c) ont des signes opposés.

2ol. Théorème de Descartes. — Le théorème de Descartes a pour but de donner des renseignements sur le nombre des racines positives. \vanl de l'établir, il nous est nécessaire de donner quelques définitions.

Soit une suite quelconque de nombres réels a. 6, . . . , /. Deux termes consécutifs présentent une permanence ou une variation suivant qu ils ont même signe ou non. En comparant successivement tous les termes consécutifs et comptant les variations, on obtient le nombre de variations de la suite.

Théorème. — Si dans une suite on supprime un ou plusieurs termes intermédiaires, le nombre des variations ne cliange pas ou diminue d'un nombre pair.

En effet, imaginons qu'on supprime par exemple le terme f. Considérons les deux termes voisins e et g. Les seules variations qui peuvent être modifiées sont évidemment celles du groupe efg. Or, si e et g sont de signes contraires, eg présente une variation ; mais il en était de même de e/g., car /a forcément le signe d'un des termes e, g et le signe contraire à l'autre. Si e et g ont même signe, eg ne présente pas de variation; tandis que efg en présente o ou 2, suivant que y a le signe commun de 2, g., ou le signe contraire.

De toute façon, on voit que la suppression àe f enlève o ou 2 variations. La suppression d'un nombre quelconque de termes intermédiaires enlève donc o ou un nombre pair de variations.

Corollaire. — Le nombre des variations cV une suite est pair ou impair suivant que les ternies extrêmes sont de même signe ou de signes contraires.

Il suffît, pour le voir, de supprimer tous les termes intermédiaires.

2o!2. On ii|)pelle variations d'un polynôme à coefficients réels les variations préseiilées par ses coeffîcienls lorsque le polynôme est ordonné suivant les puissances décroissantes (ou croissantes) de X.

Théouème de Descartes. — Le nombre des racines positives d un polynôme est au plus égal au nombre de ses variations et. s'il en diffère, c'est par un nombre pair.

On a donné de ce théorème diverses démonstrations. Celle que nous allons reproduire est empruntée à Leçons^ tome II, pages ^oS et 4o4-

Observons d'abord qu'on peut se l)orner à considérer le cas où le polynôme a un terme constant, car on peut toujours se ramener à cette hypothèse en le divisant par une puissance convenable de x., ce qui ne modifie ni les racines positives, ni les variations. Cela posé, nous a\ons deux parties à démontrer.

i" Le nombre des racines positives a même parité que le nombre des XHiriations. — ■ En efTet, le premier nombre, pour l'évaluation duquel on doit compter chaque racine un noml)re de fois égal à son ordre de multiplicité, est pair ou impair suivant que /(o) ety( + 00) ont ou non le même signe (n° 2o0). Or, ces signes sont ceux du dernier et du premier coefficient (n"I23). Dès lors, on est ramené au corollaire du numéro précédent.

1° Le nombre V des racines positives ne peut dépasser le nombre V des variations. — (î'est évident pour une équation du premier degré, pour hupirlle on a \ isiblemciil I* = W . Rarsonnoiis maintenant par récurrence et prouvons que, si la propriété est exacte pour les polynômes de degré m — i, elle l'est aussi pour les polynômes de degré m.

V.n effet, soient .T,, x.i-, ..., Xp les racines |)Osilives distinctes du

KQL'ATIONS A COEFFICIENTS HÉEI.S. 3-21

polynôme f{x)^ supposé de degré m, el y.i, a^, . .., v.p leurs ordres respectifs de nuxitipllcilé. On a

Considérons mainlenant la déri\ée f (^x). D'après le théorème I (\v\ n" !2!26, elle admet les racines x^, .r-i, ■ .., Xp aux ordres a, — i, a^ — I , . . ., 7.^, — I . En vertu âv^ théorème de RoUo (n" 61 ), elle a au moins une racine dans chacun des/> — i in ter\ ailes (j") , a?-.. ),(j:oj '^s)» ••••> (j7^,, Xp). Le nombre total P' de ses racines positives est donc au moins égal à (a, — i) + (a^ — i) + ... + (a,,— i) + (/> — i) = P — i . On a donc linégalité

En second lieu, les coefficients de f'{x) se déduisent de ceux de f(x) en les multipliant par des nombres positifs, sauf pour le terme constant de f{x), qui est supprimé. Il s'ensuit évidemment que les variations âe f'(x) sont en nomijre V égal à V ou à V — i, suivant que les deux derniers termes de f(x) présentent une permanence ou une variation. En tous cas, on a