V'IV

Or, f'{x) étant tic degré m — i, on a P';^V'; donc, a fortiori, d'après (3) et (4),

Mais P ne peut être égal à \ + i , à cause de i° : donc P ;: V .

CoROLLAiKE. — Le noiubrc des racines négatives est au plus égal au nombre des variations de /( — x) et., s^il en diffère^ c^esl par un nombre pair.

253. Si l'on appelle V et V les nombres de variations de f{x) et de f(^-x), le nombre total de racines réelles est au plus égal à V + V, en sup|)osant toutefois (piil n'v ail pas de racine nulle. C'est une conséquence évidente du théorème de Descailes et de son coi-ollaire. On est ainsi conduit assez naturellement à étudier les propriétés de la somme V + \ '.

IIaag. — Cours, I. 2i

THÉORKMr;. — Si m est le degré du polynôme et si f{o) ^ o, on a : \ -{-^ ' = m — 2K, K étant un entier positif ou nul.

En effet, supposons d'abord le polynôme complet. Les exposants de deux termes consécutifs quelconques difTèrent d'une unité et n'ont donc pas même parité. 11 en résulte que, si ces deux termes ont le même signe dans f{x), ils ont des signes opposés dansy'( — x), et inversement. Autrement dit, chaque couple de termes consécutifs fouinit une unité dans V H- V. Comme il y a en tout m semblables couples, on a ^ -f- V'= jyi.

Supposons maintenant le polynôme incomplet, mais possédant toutefois un terme constant. Complétons-le par des termes intermédiaires quelconques. Soient V) et V ', les nombres de variations relatifs au polvnome ainsi obtenu. On a V, -i- \\ = tn, d'après le cas examiné ci-dessus. D'autre part, le théorème du n° 251 nous apprend que V = ^, — 2À, V'= V, — 2X', ). et à' désignant deux entiers positifs ou nuls. Donc V + V' = V, + V', — 2). — 2 )/= /?« — 2K.

"loi. Théoukme. — ^S"/ f{3c) a toutes ses racines réelles, on a exactement

\ous pouvons, d'après une remarque déjà faite (n" 25!2), nous borner au cas où il n'y a pas de racine nulle. On a alors

D'autre [)arl, P H- ^<V^-V'^//^. Ces inégalités ne sont compalihlcs avec (6 ) que si l'on a

P -4- N == V + V, ou

Aucun des deux nondjres A — 1^ et V — ^ IN ne |jou\antélre négatif (n" î2oî2), ils sont tous deux nuU et le théorème est démontré.

!2oo. Racines comprises entre deux nombres donnés. — Le théorème de Descartes peiinel doblenir des renseignements sur le nombre des racines comprises entre deux noMd)res donnés a et h. Il suflil en

ÉQUATIONS A COEFFICIENTS REELS. 3a3

effet de faire la transformation homograpliique (ri° 244) r = 7-3 — ; i'

est manifeste que les racines de réqiialion j)roposée qui sont comprises entre a et Z> correspondent aux racines positives de l'équation transformée, à laquelle il suffit dès lors d'appliquer le théorème de Descartes. En particulier, si l'on sait que y"(^) a toutes ses racines réelles, comme il en est alors de même des racines enjK, on pourra calculer exactement le nombre des racines en x comprises entre a et b.

236. Limites des racines. — Proposons-nous de déterminer deux nombres positifs, aussi rapprochés que possible, entre lesquels nous puissions affirmer que sont comprises toutes les racines positives. Ces deux nombres seront aj)pelés limites supérieure et inférieure des racines positives. On a de même une limite supérieure et une limite inférieure des racines négati^'es.

On peut ramener la recherche de ces quatre limites à des recherches de limite supérieure de racines positives. En effet, pour avoir la limite inférieure des racines positives, il suffit de calculer une limite supérieure des racines positives de l'équation aux inverses. Pour ce qui concerne les racines négatives, on prendra l'équation transformée en — x.

Limite supérieure des racines positives. — Il existe dillerents procédés pour calculer cette limite. Les uns sont assez rapides, mais donnent une limite peu rapprochée de la plus grande racine; les autres donnent une limite avantageuse, mais exigent des calculs assez longs.

Nous supposerons, dans tout ce qui suit, que /'(.r) est ordonné suivant les puissances décroissantes de x et que son premier coejjicient est positif. Dans ces conditions, si a est une limite supérieuie des racines positives, f{-r) est positif dès que .r >> a. En effet, dans Tintervalle («, -f- oo), f {x) garde un signe constant, puisqu'il ne s y trouve pas de racine; de plus, /'(-f-cc) a le signe du premier coefficient, c'est-à-dire le signe -f-.

Cela posé, voici les règles qui nous semblent les plus pratiques.

257. Pii;GLE DE jNewton. — Si a est limite supérieure pour f (x) et rend /(x) positif', c^esl aussi une linule supérieure pour f{x).

En effel, si x croît à partir de «, /'{-r) reste positif, donc f{x) croi't; comme /'(«) ^ o, /(j") reste positif et ne ]>eut s'annider pour .r > «. c. Q. F. D.

l*our ;ippli(|iier cette règle, oq commence par chercher une limite supcrieiue des racines def'(x), soit A. Puis on substitue dans / (x) de::^ nombres simples croissant à |)artir de A jus(prà ce qu'on oi)tienne un résultai posilif. Le dernier nombre aiiiM subsliUié est la limite a cherchée. Si l'on ne sait pas trouver directement la limite supérieure relative à /'[x), on lui applicpie la même méthode, en introduisant y (j"); et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne un poljnome dont on sache trouver la limite sujx'neure des racines, ce (|iii Unit toujours par arriver, dùt-ou j)0usser juscprà la dérivée du pieuiicr degré.

Ce procédé donne des limites avantageuses, mais il est parfois un peu long. En voici deux autres qui reposent sur le théorème suivant :

!2o8. Théor f-:me. — Si /(x) ne présente qu'une variation, tout nombre positif <jul le rend positif est limite supérieure des racines.

Soit le polvnome

(;) /(./•; = A„,r"'-)- Ai.//"'-'+. ..

où les A sont tous positifs. On peut écrire

fi.r) = x"-'' ["( A„.//^^ A,.r/'-'^. . .+ Ap,,r) - f\,,^^^ ^" ' ") l

Sii|)|>o>ons (pic X croisse à partir de rt^o. La premiric paicnihèse croit. |)arcc cpie tous ses termes croissent; la seconde déci-oii parce que tous ses lernies décroissent; donc le crochet cioîl. Or, si /"(a)>>o, il part d'une valeur positive^ donc, il if>te j)osiiif. et par suite aussi /'(\2-'), piiisrpie JC"'~/' > o. Dès lors, f{x) n'a |)as de racine supérieure à a. «:. q. k. d.

Cela posé, nous avons les deux règles suivantes :

RkoLE DES GROUPEMEJNTs. — On décompose f{x) en une somme de polynômes 'j,i(x) -\- 's>.2(x) -{-.. .-\-'fp(x), dont chacun remplit les <'on(lilions préeédent<'s iA\i.^\v un premier (•oclficienl posilil et ne

ÉyUATIONS A COEFKICIENTS RÉELS. J'^-5

j)rf'senler qirune variation). On clierche pour chacun d euK ; un nombre qui le rende positif. Le plus grand de tous ces nombres, soit <7, est une limite su|)érieure pour f\x)\ car, pour ,r >«, chacun des polynômes 'j est positif, donc" aussi leur somme /"(.r).

Règle de Lagrange. — Soient \ la plus grande valeur absolue de coefficient négatif et p la différence entre le degré de j i^x) et le degré du premier terme négatif. Une limite supérieure des

racines est i -f- 1 / -;- •

V Ao

Ecrivons /(.r) en mettant en évidence le premier terme négatif,

/(./•) = Au.r"'-f- A,.r'"- >-(-. . .h- A ,,, :r '"-/'+' — ( X,,x"^-i>±. . .),

•les A étant tous positifs jusqu'à A^ inclusivement, les ternies non écrits dans la parenthèse avant des signes quelconques. En supposant .r >> o, nous augmenterons la parenthèse si nous remplaçons tous les coefficients par N, puisque nous augmenterons chaque terme. On a donc

:f{x) > Aoa;"'-+- Ai.r'«-i -+-...-+- A/j,a-'«-/'+i — N(if"'-/^-(-.r"'-/'-' -+-. ..-h:r + i)

et, a fo/-tio/i,

„ :r'«-/'-+-' — I . I\a"'«-/'+' N f{x) > AoJ-"' — N = Aox"' h

Si l'on suppose J? >- i , on |)eiit écrire, à plus forte raison,

f(x) > Aor'« ■ ■.

Dans ces conditions, / ( x) sera certainement positif si l'on a

Au.r'" >o;

ou, en se rappelant que .r et ^ — i sont positifs,

Ao x/'-i {X — \) — ^'> c,

inégalité entraînée par la suivante

3l6 CHAPITRE \XI.

OU

Comme le second membre est >> i, on peut affirmer que, dès que jc vérifie rinégalité (8), /*(x) demeure positif, et la règle est démontrée.

La règle de Lagrange est d'une application rapide, mais elle donne souvent une limite beaucoup trop élevée.

Remarque. — Quelle que soit la règle employée, on prend toujours des nombres simples pour la limite cherchée, tels que des nombres entiers ou des fractions ne présentant haut et bas qu'un chiffre significatif. 11 serait absurde en effet de calculer, par exemple, la limite de Lagrange avec un grand nombre de décimales, puisque cette limite est généralement peu approchée.

t2o9. Racines commensurables. '- — Etant donnée une équation à coefficients commensurables, on peut se proposer de rechercher si elle a des racines commensurables. C'est par cette question cpie nous terminerons ce Chapitre.

Observons d'abord qu'on peut toujours ramener V écpialion à avoir tous ses coefficients entiers^ en la multipliant par un entier convenable.

Soit donc I équation

(9) /(a") = AoJ:"'-h Aia7'«-i-v. ..+ A,n= o,

où les A sont tous entieis, Aq et A,„ étant supposés ^ o. Imaginons

(pu; la fraction irréductible -^ soit racine. On peut alors diviser /'(^^j:)

par X — - ô ou P'''!' I — ^-'"j suivant (pi on veut procéder suivant les

puissances d(;croissantes ou croissantes de x (n"' 1203 et!20i), ce (pii donne lieu aux deux, identités

(\o) /(^)= (•^— u) (ii<)^"'~^-+- Bi.r"'-2H-.. .-4- Ji„,-,),

i — -i^arj CB'„a: H- B'i .r-t- . . .-4- B'„,^x">-^ ),