ÉQUATIONS A COEFFICIENTS RÉELS

les coefficients B et B' se calculant par la règle de la page 262. On a d'ailleurs enlre eux des relations telles que la suivante :

Cfr étant le coefficient de j:'""^^' dans le polvnome „ De là.

' ■ px — a

nous allons déduire que les C/, sont tous entiers.

En elTet, si l'on se reporte à la règle de division par or — -a. on constate que les B sont obtenus par des opérations cpii ne comportent

que des additions et des multiplications par r,' Comme le premier

coefficient Byi^Ao est entier, les suivants ne peuvent, s'ils sont fractionnaires, renfermer en dénominateur que des facteurs premiers de |3. De même, les B' ne peuvent renfermer en dénominateur que des facteurs premiers de a. Dès lors, si C^ était fractionnaire, son dénominateur ne pourrait contenir rpse des facteurs premiers

appartenant a p, parce cpie Lia= -^> et appartenant a a. parce que

Ca= "'"'''• Comme a et 3 n'ont pas de facteurs communs,

puisque ^ a été supposée irréductible, tous les C/f sont nécessairement des nombres entiers, ainsi cjue nous l'avions affirmé.

Il revient au même de dire que tous les B doivent être entiers et divisibles par ^ et tous les B' entiers et divisibles par a.

En particulier, Bo= Aq doit être divisible par ^, et B^ = A;„ doit l'être par a. Donc:

ThéorIîme. — Si une fraction irréductible est racine, son numérateur doit diviser le ternie constant et son dénominateur doit diviser le coefficient de la plus haute puissance de x.

Nous pouvons maintenant énoncer la règle suivante pour la recherche des racines commensurables de /'(x) :

Règle. — On forme le tableau des diviseurs de Aq et le tableau des diviseurs de A,„. Puis, on divise les seconds par les premiers en les associant de toutes les manières possibles. Les fractions ainsi formées sont réduites à leur plus simple expression; puis, précédées du signe -+- et du signe — , elles constituent la liste des fractions à essayer.

-328 CHAPITRlî \M.

Poîff essayer une f faction ^) on divise, suivant la règle de la page 2()2. J {x) par x — û ou par i — - x. Dès qu on obtient un

coefficient fractionnaire ,^ ou bien entier mais non divisible par '^j dans le premier cas, par a dans le second, on peut rejeter la fraction. Si. au contraire, la division se poursuit jusqu'au bout et

donne un reste nul. ^ est racine.

'200. Siniplifications diverses. — I. l^oi\squ'un essai réussit, il faul bien reniai(|iier qu'on a, du nièuie couj). le (|uotient de f{x)

par ;r — ^. C'est siii' ce quotient qu'il convient de continuer les

recherches, parce qu'il est |)lus simple que /"(.r), comme avanl un degré moindie. Va\ parlicnlicr, il pcul arriver (pie tous les coefflcienls de ce quolient soierit divisibles pai- un mènie facteur. Ajant supprimé ce facteur, il v aura lieu de rajer du tableau des Iracllons à essayer toutes celles dont le numérateur ou le dénominateur ne divisent pas le dernier ou le premier coefliciertt du quotient ainsi simplifié.

II. On peut diminuer le noml)re des essais en cherchant les limites dés racines, comme il a été expliqué plus liaul; et aussi quel- (jiiefois en applupiant le théorème de Descartes.

m. On |)eiit cnliii supprimer également certains essais eu se servant de la règle suivante, connue sous le nom de

Ri;oLR d'kxclcsion. — J\)ur que j^ soit racine de /{x), il faut que J i I ) !ioit divisible par a — Jj et /"( — i ) par a 4- ,3.

JMi cllcl, nous ;i\ons \u que \v (iiiotient -4-^ est un polynôme

dont les coellicicnls C/, sont tous entiers. Si Ton v rem|)lacc x par

un nombre cntici', (Ui doii donc obtenir un rc'snlta t cnl K'r. I{n parti-

entier, j^ et - — r- (loivcnt être entu-rs, ce (ini (iemonire la

règle.

Il est à ieniar<pier que les nombres /(i) ci /( — 1), (pi'on calcule une fois j)Our toutes, sont (oui simplement la soninie des coenicicnts dey"(:r) ou è\v.f( — :r)el, par suite, > obtiennent très rii|»ideinenl.

KQIATIONS A COKFP'ICIKNTS RKELS. 3"29

1\ . l'oiir fyirc un essai, on a ie clioix enlie la division par ^ — -

ou par I — -.r. Il y a avanlage à adopter la première ou la seconde

niélliode suivant que ^ est plus grand ou plus petit que a, de façon à avoir plus de chances d obtenir rapidement un coefficient

fractionnaire dans le cas où ^ ne serait pas racine.

261. Racines entières. — Si Ao=i, /f-^) ne peut avoir comme racines comniensurables que des racines entières, puisque le dénominateur d'une telle racine doit diviser Vo- Oi'» "" peut aisément se ramener toujours à ce cas particulier. Si l'on fait en etlet subir à l'équation la transformation r == A .r, l'équation transformée s'écrit

Prenons /,• ^ Vq ; nous pourrons diviser par Aq et nous seions bien ramenés à une équation à coefficients entiers, de premier coefficient égal à l'unité. On peut donc dire que la recherche des racines comniensurables d'une équation à coefficients entiers peut toujours être ramenée à la recherche des racines entières dune autre équation à coefficients entiers.