ÉQUATIONS A COEFFICIENTS NUMÉRIQUES

!262. Dans les Chapitres qui précèdent, nous ne nous sommes jamais occupés de la résolution des équations que nous avons eu à considérer. C'est cependant là un point de vue tout à fait essentiel dans la pratique, que nous allons maintenant envisager.

Le lecteur connaît la résolution des «''(|ualions du premier et du second dei;ré. Pour cetle dernière, il existe, comme on sait, une formule toute faite qui donne les deux racines. On |)eut dès lors se demander si un tel résultat n'est pas généialisable. Cela est vrai pour le troisième et le quatrième degré ('), Mais, à partir du cinquième degré, ou ne peut, comme on dit, fésoudre l'équation par radicaux, c'est-à-dire calculer ses racines au moyen dun nombre fini d'additions, multiplications, divisions, extiaclions de racines; du moins tant que les coefficients sont queIcon(|ues. [*our certaines valeurs de ceux-ci, il peut se faire bien entendu cpion sache résoudre, comme cela arrive par exemple si l'on a découvert un nombre suffisant de racines commensurables. Mais les cas où il en est ainsi sont exceptionnels; en général, l'équation est, comme on dit, irréductible et n'est pas soliiblc par radicaux. iNous ne pouvons en dire davantage sur ce sujet, (jui constitue un des Chapitres les plus savants de TAIgèlire supérieure.

Le point de vue de la résolution par radicaux n ollre du reste aucun intérêt pratique, car dans les cas où elle est possible (équation du second degré exceptée), elle conduit à des (brmules lellemeni compliquées qu'elles sont généralement inutilisables. Même pour l'équation du second degré, la formule chissiqiic est peu commode

(') Cf. Exercices résolub n" 1 ( Chap. \\ Il I j, ir I i Chap. \\l } ; exf rcires proposes n"" \ et i:i (Cliap. XX).

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dès qu'on a affaire à des coefficienls un peu compliqués et la résolution lrigonométri(|ue est, comme on sait, bien préférable. ISous verrons (t. III) qu'il existe une méthode trigonométrique analogue pour ré(|uation du troisième degré. A part ces deux cas particuliers, il faut faire appel à des méthodes générales cV approximation^ qui permettent, théoriquement du moins, de calculer les racines de n'importe quelle équation numérique donnée, algébrique ou transcendante, avec une approximation aussi grande qu'on le désire. C'est en cela que consiste le véritable problème de la résolution des équations numériques.

i263. Séparation des racines. — Une opération préliminaire indispensable est celle de la séparation des racines. Elle consiste à chercher des nombres séparant les racines, c'est-à-dire partageant r intervalle ( — oc, + ce) en intervalles partiels à l'intérieur de chacun desquels se trouve une racine et une seule (').

Soit à séparer les racines de l'équation

f{x) désignant une fonction quelconque donnée, algébrique ou transcendante. La méthode générale consiste à étudier les variations de la fonction y =f[x). Cette élude conduit en effet à partager l'intervalle ( — 00, -f- oc) en intervalles partiels, à l'intérieur de chacun desquels /(^x) varie d'une manière continue et toujours dans le même sens. Dans un tel intervalle, la fonction ne peut s'annuler qu'une fois(-) et l'on l'econnait qu'elle s'annule effectivement à ce fait qu'elle prend des signes opposés aux deu\ extrémités de l'intervalle. D'où la règle suivante :

Règle. — On étudie les variations de la fonction f(x). On construit le tableau de variations. On détermine les signes (')

(') Bien eniendu, s'il n'y a pas de racines, ces inlervalles n'existent pas. Mais, dans ce cas, le problème de la séparation consiste précisément à prouver qu'il n'y a pas de racines.

(-) C'est là une propriété tout à fait intuitive. Dans le cas où f'{x) existe dans tout l'intervalle et ne s'y annule pas, on peut la déduire du tliéoréme de Holie ( n° 61 ), car si f{x) s'annulait deux fois, f'{x) s'annulerait au moins une fois.

(') Les signes seuls importent; il est donc inutile, lorsqu'on n'a pas d'autre raison pour le faire, de déterminer exactement les valeurs de/(.r) aux limites des intervalles, si l'on peut apercevoir leurs signes.