ciiAPirriE wii

de la fonction aux extrêniiiés des inlei-vallcs partiels qui fi i^urent dans ce tableau. Un intcr^'alle renferme une ou zéro racine suiia/il que les sig7ies aux extrémités so/it opposés ou identiques.

Il esl évident que ce procédé résout complètement le problème fjuc )i(tus nous étions |)Osé, mais à condition, bien entendu, rpi'on saclie élu(b'er les variations (\e fi^x)., c'est-à-dire en somme résoudre la dérivée /'{-v)., ou du moins reconnaître ses changements de signe (n" 66).

!26i. Remarques. — I. D'après la règle ci-dessus, il faut, à un moment donné, former les résultats de substitution dans /Y^) des racines éef'(x). Ce calcul peut être simplifié dans le cas où f{x) est un polynôme par ce (ail qu'on peut substitue/- soit dans le reste de division de /(x) par /' (x), soit dans la dérivée par /-f/pport à la variable dliomoi^énéité ( n" 227). Cela résulte en effet des identités de la division ou d Euler,

fix) ~ f(x) Q ^ R(a-), mj\x) = xf{x) + /;, dans iesrpielles on remplacerait x par une racine de /'(.r).

II. 11 arrive assez fréquemment qu'on ne sait pas étudier les variations de /(x), mais qu'on sait étudier les variations de la fonction obtenue en mullipli;int ou divisant /"(.r) par un facteur convenablement choisi. Ceci nous prouve qu il ne faut |)as toujours laisser à l'équâlion la forme sous laquelle elle esl donnée. Il faut, par un examen préliminaire rapide, se rendre compte des difficultés quon ■rencontrera dans l'élude des variations de son premier nien\bie et i'oir s'il n'est pas possible de faciliter celle-ci en multipliant ou divisant au préalable réquation par un facteur convencd)le. Bien entendu, on doit, le cas échéant, tenir coinpie des racines (pu |)<'iiveiit être inlroduiles ou supprimées parce fadeur.

]1I. On peut aussi quelquefois faciliter considérablemeni l'étude de l'équation en lui faisant subir une transformation convenable (Chap. XX) et discutant l'équation transformée. Par exemple, il peut être avantageux (ruiiliNci' IcNjualion aux inverses.

I\ . i.ors(pi on ne peut nutlre lé'ipialion >oiis iiiu- foi'mc lellc (pToii sache résoudre dune mailler*! éli-incnlairc rcqii,ilioii dériv(';e, on n'a

ÉgUATIONS A COEI-FICIEMS NUMliltlQUES. 333

plus qu'à appliquer à celte dernière la méthode actuelle, ce qui introduit la dérivée seconde. On peut, de la sorte, être aniené à discuter successivement plusieurs dérivées. Bien entendu, il faut pour chacune d'elles essayer les reniarcpies II et III.

•^ôo. Types classiques déquations discutables. — \ oici qiiel(|ues types d'équations {|u"il est bon de >-etenir, pour lesquelles on peut toujours mener jusqu'au bout le problème de la séparation des racines.

I. Equations trinômes. — x'" -{- px" -i- ij ^ o. — L'équation dérivée se ramène à une équation binôme; elle est donc résoluble. A ce type ap|:)artient V équation canonique du troisième degré

(■2) f{x) = x^^px-^q=o.

dont il faut connaître la discussion. La dérivée /' [x) ^ 3 X- -\- p ne change de signe que si /?< o. Siy?^ o, elle est essentiellement positive, y ( .r ) croît et na qu'une racine. Supposons maintenant y> <:^ o. Formons le tableau de variations

— oc

Pour qu il y ait une racine dans chaque intervalle, il faut et suflit que y, >■ o, f-><io. Ceci e\\ix,e f^f2<^^o; mais cette dernière contlition nécessaiie est aussi suffisante, car le tableau nous apprend (|ue fi^fi'i par suite, si J\ et /^ sont de signes contraires, c'est nécessairement y, qui est positif et /o négatif. Piappelons-nous maintenant qu'on peut rem|)lacery, et/'o |)ar g^ et «o, résultats de substitution dans g{x) =y^= ipx -\- Zq. On a donc la condition

Comme cette in'égalité exige nécessairement/; •< o, elle constitue l'(ini(jue condition de réalité des trois racines de ré(ju(ition [2).

334 CHAPITRE WII.

Si 4/^' -h ^ 77' > o, il n'y a qu'une racine; s'\ 4p-^ -{- 2- q-= o^ il V a une racine douhic égale à Tune des f|uanlilés ^ 1/ — rr » ou

mieux égale à ^ ('), et une racine sinijde coni|)rise entre h^ 1/ — t

et ni X,

II. .r"^ -{- /) x"'~" -\- g .t"'~-" -h i' = o. — J^"é([uation dérivée m.r"'-^ — ( m — /t)/5.r"'-"-i -f- i m — ■2.n)q x'"--"-'^ = o

s'écrit, après suppression des racines nulles.

m X-" -\- ( m — n) p x" -i- i /n — in)q = o et se ramène à une équation du second degré par la transformation

A ce type appartient V équation complète du troisième degré

(4) f(x)^^ax^-\-bx--^cx-~-d=^o,

que nous allons discuter. Prenons la dérivée

(5) f {x)=='iax'^-^- }.bx -^ c ^ o.

Si elle n'a pas deux racines réelles et distinctes, on n'a, comme tout à 1 heure, qu'une seule racine réelle. Plaçons-nous maintenant dans 1 livpollièse contraire et soient X(, x^ les racines dey'(^). Formons le tableau, en su|)posant, pour fixer les idées, Xi<:ix.2, et a >> o :

X \ — y. X\ Xo -i- 3C

f{x) I — / bi \ bo / -^

\in raisonnant comme pour l'équation canonique, on a, comme condition de réalité des trois racines, y, /o < <J? ou

en [)Osant

(7) /,'(x) = fy^ bx^^.>.cx -r-3d.

Or, g(x,)g( X-,) est, au facteur \)a- près, le résultant des tri- (' ) Car elle doit annulir /^..