G CII,\PITRE \MI

soil AB {fig- û()). Cet ai'C coupe Ox en un point imirpie C, dont l'abscisse est la racine cherchée.

Cela posé, imaginons qu'on remplace l'arc X^ par une droite A qui s'en rapproche le plus possible. Celte droite coupera 0:r en un point C, voisin de C et dont l'abscisse, donnée par une équation du premier degré, constituera une valeur approchée de la racine cherchée.

Suivant la manière de choisir la droiii^ A, on ol)tienl telle on telle méthode d'approximation.

267. Méthode des parties proportionnelles. — En remplaçant laïc AB par sa corde, on obtient la méthode des parties proportionnelles, ainsi nommée parce qu'elle re\ient à admettre (pie, (hins l'intervalle («, b), la fonction f{x) \arie proportionnellemciil à x. L'équation de la droite AB est (t. II)

y — fi a\x — a

j(b)-f(a) Ij-a

Faisons y = o, nous avons l'abscisse <bi poml C,. soit

( b — a )f{ a ) afi t> ) — Ij J\ a )

Plaçons-nous dans le cas de la figure 3(). Nous \ oyons ([ue Xx est une valeur ap|irochée de la racine dans le même sens que h (ici |)iir excès), mais plus approchée que b.

La parallèle à Oy menée par C, rencontre la courbe en B,. Si l'on joint AB,, on or)tient le point Co plus appro(;lié de G que C| ; l'abscisse x-2, de ce point, qui se déduit de (^9) par le changement de Xi en x^ et de b en JC|, est encore une valeur approchée de la racine dans le même sens que ^,, mais pins a|)pi()(li(''c (pic ./•, . Va\ rempla(;anl ensuite B, |)ar B^, on oblien(,liii une iroisième Nalcnr approchée J73 et ainsi de suite. La figure montre (pie les points C,, C^, C3, ... se rapprochent de plus en plus de C et l'on conçoit (pi on finisse, au bout d'un nombre suffisant d'o|)éiali()ns, p;ir obtenu- un point C„ aussi voisin qu'on le voudra du point (]. Aulremenl dit, V application suffisamment répétée de la for nui le de récurrence

af{x„^\) — T„-xf(a) (101 ^/j = -^ — r7 : 77 — ; — '

ÉylATIONS A COEKFICIENTS MMÉrUuUES. 337

finit par donner pour .r„ une valeur aussi aj)prochée de la racine qu'on le désire et dans le même sens que h.

268. Remarques. — I. Au lieu de faire jouer à 13, le rôle de B, on aurait pu vouloir lui fiiire jouer le rôle de A, c'est-à-dire joindre B,B et non B, A. iNJais le poiut C, qu'on aurait obtenu ne se serait plus trouvé du même côté de C que C| et il aurait même pu sortir du segment C|a (ce qui est le cas sur la figure).

Autrement dit, la deuxième valeur approchée n'aurait plus été approchée dans le même sens que la première et aurait [)u être moins approchée qu'elle. Ceci nous montre que c'est nécessairement au point A qu'on doit joindre les points successifs Bf^Bo,..-. On dit qu'o/i applique la méthode au point B, ou encore au nombre b.

II. Dans le cas de la (igure 4o? on voit que c'est au point A qu'il convient d'appliquer la méthode. Dans le cas de la figure /\\ , on rencontre des difficultés. ( kiel que soit le point auquel on applique la méthode, x-i n'est plus approché dans le même sens que a:, et l'on n'est pas certain qu'il soit plus approché.

Fis. Vi.

Il s'agit de savoir reconnaître analjtiquement ces diflerentes circonstances. A cet etlet, nous observons que sur la figure 09, l'arc AB tourne constamment sa concavité \ers le haut; donc (t. 11) f"{x) garde le signe -h dans tout rinteivalle (a, b). Pour la figure 4o, f"{x) garde an contraire le signe — . Dans les deux cas, on voit que le signe constant de/"(.r) est opposé au signe de l'ordonnée du point auquel on applique la méthode. Onarit à la figure 4ii elle nous montre qn"il v a un point dinilcxion ; donc, y"(x) s'annule dans lintervalle (a, b) et ciiange de signe. De cette discussiou. on jieiil induire bi rè^le suivante :

Pour que la méthode soit applicable à coup sûr dans l'inter-

IIaai;. — Cours, 1 . 22

ClIAPlTRi: WII.

valle (a, b)^ il faut que la dérivée seconde /"{x) y conser\'e un signe constant. S^ilen est ainsi, il faut appliquer la méthode à celui des deux nombres a et b qui, substitué dans f{x)^ donne un résultat de signe contraire à celui de f" [x).

Kig. 4i.

Celle règle vient d'êlre élablie d'une manière en quelque sorte empirique. Néanmoins, elle est entièrement rigoureuse, car on |ieul en donner une démonstration purement analytique, mais dont la place n'est jias dans cet Ouvrage.

269. Méthode de Newton. — La méihode de Newton consiste à remplacer l'arc AB par la tangente en Vune de ses extrémités. Sur la ligure 4-^, on voit que, pour être certain d'avoir une approxi-

l'ie. 42.

mation meilleure, \\ faut |)rendre la langcnle en A, ou, comme on dit, appliquer la méthode au point A ou au nonibre a. L'équation de la tangente en A est (t. II)

Faisonsjj^ = (), nous avons l'abscisse du poinl (>,, soil

ÉQVATIONS A TOEFFICIIiNTS NUMÉRIQUES. SSg

(]elte valeur est |)lus ai)|)rochée que a el dans le même sens. Remplaçons maintenant le point A par le point A, d'abscisse x^ ; cela laous donne une valeur x-^ plus approchée que x^ et dans le même sens; on la déduit de (ii) par le changement de x^ en x-^ el de a en .r,. En remplaçant ensuite A, par Ao, on obtiendra une troisième valeur approchée ^3 et ainsi de suite. La figure montre que les points C, Co, C;j, ... se rapprochent de plus en plus de C et peuvent en devenir aussi voisins qu'on le veut. Autrement dit, V application suffisamment répétée de la formule de récurrence

X II — Xii—\ ■

finit par donner pour x„ une valeur aussi approchée de la racine qu'on le désire et dans le même sens que a.

270. Remarque. — Sur les ligures 89 et 4o, on voit que la méthode actuelle s'applique à celui des points A et H auquel la méthode des parties proportionnelles ne s\ipplique pas.

Quant à la figure 43, elle montre que, dans le cas où la dérivée

Fig. 43.

seconde s'annule, la méthode ne s'applique à aucun des deux points et peut donner pour .r, une valeur beaucoup moins approchée que ne l'étaient les nombres a et b. D'où la règle suivante :

Pour que la méthode de Neivton soit applicable à coup sûr dans V intervalle (a, />), il faut que la dérivée seconde f" {x) y conserve un signe constant. S 'il en est ainsi, il faut appliquer la méthode à celui des deux nombres a el b qui., substitué dans /"(.r), donne un résultat de même signe que f" {x).

Comme celle du numéro précédent, cette règle, que nous venons d'établir empiriquement, est susceptible d'une démonstration analytique entièrement rigoureuse.

34o ClIAPITRb: Wll.

271. Limite ds l'erreur. — Quelle que soit la iiiélliode employée, il est nécessaire de savoir calculer une limite supérieure de l'erreur commise en adoptant telle ou telle valeur approchée de la racine. Une première façon de procéder consiste à appliquer simultanément les deux méthodes^ en remarquant quelles donnent des valeurs a|)])rocliées eu sens inverse. On obtient de la sorte deux suites convergentes de valeurs approchées, les unes par défaut, les autres par excès. La différence des derniers ternies calculés dans ces deux suites est évidemment une limite supérieure de Verreur commise.

Dansle cas de la méthode de Newton, il existe une autre manière de procéder, généralement plus avantageuse. Supposons qu'on applique la méthode au nombre a. Appelons a -\- k la racine exacte que nous cherchons. Nous voulons une limite supérieure de la diflérence z = a -{- /c — .^i. A cet effet, écrivons (|ue /(a-hk) est nul, mais en le développant par la formule de Taylor limiléc au troisième terme:

(i3) f(a^/c) = fia) -h A- fia)— — /"(« -^ OX) = o.

La méthode de Newton consiste en somme à supposer (pic /est assez ])etil |iour (pie le troisième terme soitnégligeable, car siTon fait abstracliou de ce dernier, 1 équation ( i 3) donne pour A' une valeur qui, ajoutée à rt, reproduit x^ [formule (i i)].

Nous aurons l'erreur commise en résolvant ( i 3 ) par ra|)j)()rl à A, mais sans négliger le troisième terme, en le traitant comme un terme connu; ce qui donne

f'ya) 1 fia) ' d'où

, , fia) k- f'ia^Ok)

( I 1 ) t = a — A — xi = a — fc — a -i- V; = —. — 77-

fia) -i f'(a)

1 elle e>l 1 cireur commise. Bien entendu, on ik; I,i connaît j)as, puisfju'on ne connaît pas k. Mais on peut avoir une limite supérieure de sa valeur absolue. Nous possédons en <'(l('l toujours un inlcr\alle, quind ce ne serait que (a, />), dans letpiel est certainement comprise la racine. Nous avons donc une limite sup(''ri(;ure assurée // de |/i|, [)ar exemple U := h — a. iJ'autre part, >()it M la plus grande \aleui'

ÉQUATIONS A COEK FICIENTS NUMÉRIQUES. 34 I

de |/"(.r)| dans rinlervalle dont il vient d'èlrc question. On a évidemment